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2024-2025 学年河北省廊坊市高一下学期期末测试数学试题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 3 3在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在平行四边形 中，点 为 的中点，则 + + =( )
A. 2 B. 1 C. D. 1 2 2
3.一个口袋中装有 20 个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，
小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出 1 个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述
过程 900 次，共摸出红球 400 次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是( )
A.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”
B.事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”
C.事件“点数之和不小于 8”与事件“点数之和不大于 7”
D.事件“点数之积不小于 7”与事件“点数之积不大于 8”
5.已知圆台的上、下底面直径长分别为 2，8，侧面积为 25 ，则该圆台的体积为( )
A. 84 B. 68 C. 28 D. 68 3
6.已知平面向量 、 满足 = 1, 3 ， = 3， = 3，则 在 上的投影向量为( )
A. 2 33 , 2 B.
1
2 ,
3 2 2 3
2 C. 3 , 3 D. 1, 3
7.如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽 在同一垂直平面内的两个观测点 ， ，利用无人机
在点 处测得河岸点 的俯角为 ，河岸点 的俯角为 ，无人机沿 方向飞行 千米到达点 ，测得河岸点
的俯角为 ( > > )，则 =( )
A. sin( )sin( ) sin sin( )sin sin 千米 B. sin( )sin 千米
C. sin( )sin sin sin( )sin sin( ) 千米 D. sin( )sin 千米
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8.如图，正方形 和正方形 的边长均为 2，且它们所在的平面互相垂直，点 在线段 上运动，
点 在正方形 内运动， = 2，且始终保持 ⊥ ，则 的最小值为( )
A. 2 1 B. 2 2 2 C. 22 D.
3
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为 8.3,8.4,8.4,8.7,9.2,9.4,9.5，9.9,10.1,10.1，则( )
A.该组数据的极差为 1.8
B.该组数据的众数为 10.1
C.该组数据的 75％分位数为 9.9
D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 = 2 3 ， = 3，则△ 的外接圆的面积为 4
B.若 = 3， = 4， = 3，则满足条件的三角形有两个
C.若△ 为锐角三角形，则 sin + sin > cos + cos
D.若 > ，则 tan > tan
11.在棱长为 4 的正方体 1 1 1 1中，点 ， ， 分别为棱 ， 1， 1的中点，则下列说法正
确的是( )
A.直线 ， 1 是异面直线
B.直线 1 与 1
2
所成角的余弦值为5
C.三棱锥 1 1
81 3
的内切球的体积为 16 π
D.平面 1截正方体所得截面的面积为 18
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.用斜二测画法作出水平放置的正方形 的直观图 ′ ′ ′ ′如图所示，则正方形 与直观图
′ ′ ′ ′的周长之比为 ．
13.已知 , 是相互独立事件，且 ( ) = 0.18， ( ) = 0.3，则 ( ∪ ) = ．
14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个
内角均小于120 ，费马点是三角形内部对三边张角均为120 的点；如果三角形有一个内角大于或等于120 ，
费马点就是该内角所在的顶点.已知 中，角 , , 所对的边分别为 , , ， 为费马点.若 = 7, =
→ → → → → →
1, = 3，则 + + 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设复数 = 1 + ( ∈ )．
(1)若(2 ) 是实数，求 的值；
(2) 1+ 若 是纯虚数，求复数 的共轭复数 ．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (2 1,1)， = (4, + 1)， = (1,2)．
(1)求 + 的最小值；
(2)若 与 共线，求 与 的夹角．
17.(本小题 15 分)
记锐角三角形 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2， cos = 2sin2 ．
(1)求 ；
(2)求 3 1 + 2 的最大值．
18.(本小题 17 分)
用分层随机抽样从某校高一年级 1000 名学生的数学成绩(满分为 100 分，成绩都是整数)中抽取一个样本容
量为 100 的样本，其中男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个.再将 40 个男生成绩样本数据分为 6 组：
[40,50), [50,60)，[60,70), [70,80)，[80,90), [90,100]，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
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(1)由频率分布直方图，求出图中 的值；
(2)为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取 5 人，再从中抽取 2 人，求这 2 人中
男生女生各 1 人的概率；
(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为 71 和 187.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为
66 和 40，求总样本的平均数和方差．
19.(本小题 17 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ， 是边长为 2 的等边三角形， = 2 3， = 4，
点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若 = ，求二面角 的余弦值；
(3)若直线 与平面 5 13所成角的正弦值为 26 ，求线段 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.43
13.0.426
14. 32
15.解：(1)由题知(2 ) = (2 )(1 + ) = (2 + ) + (2 1) ，
若(2 ) 是实数，则 2 1 = 0，解得 = 12；
(2) 1+ = 1+ = (1+ )(1 ) = (1+ )+(1 ) 由题知 1+ (1+ )(1 ) 1+ 2 ，
1+ 1 + = 0
若 是纯虚数，则 1 ≠ 0，解得 = 1，
所以 = 1 ， = 1 + ．
16.解：(1)由 = (2 1,1)， = (4, + 1)，可得 + = (2 + 3, + 2)，
2 2
则 + = (2 + 3)2 + ( + 2)2 = 5 2 + 16 + 13 = 5 + 85 +
1
5，
8 2
故当 = 5时， +
1取得最小值5，即 =
8
5时， +
5取得最小值 5 ．
(2) = (5 2 , )， = (1,2)，
由 与 共线可得 = 2(5 2 )，解得 = 2，
则 = (3,1)， = 3 × 1 + 2 = 5， = 10， = 5，
设 与 cos = 5 2的夹角为 ，所以 = 10× 5 = 2 ，
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因为 0 ≤ ≤ π = π，所以 4．
17.解：(1)因为 cos = 2sin2 ，所以 cos = 2 2sin cos .
又 为锐角三角形，故 cos ≠ 0，则sin = 2 2 = sin .
因为 = 2，所以 sin = 22 ．
π π
又 ∈ 0, 2 ，故 = 4．
(2) 由正弦定理得sin = sin = sin = 2 2，
则 = 2 2sin ， = 2 2sin .
π 3π
由(1)知 = 4，则 = 4 ．
所以 3 1 + 2 = 2 2 3 1 sin + 4sin
3π
= 2 6 2 2 sin + 4sin 4
= 2 6sin + 2 2cos = 4 2sin + π6 ，
因为 为锐角三角形，
0 < < π2 π π
所以 ，所以 < < ，
0 < 3π π 4 24 < 2
5π π 2π
所以12 < + 6 < 3，
+ π π π所以当 6 = 2时，即 = 3时， 3 1 + 2 取得最大值 4 2．
18.解：(1)由图形可得 10(0.01 + 2 + 0.03 + 0.025 + 0.005) = 1，
解得 = 0.015；
(2)男生成绩数据 40 个，女生成绩数据 60 个，
按性别采用分层随机抽样的方法抽取 5 人，
40
则抽取男生人数为 5 × 100 = 2，女生人数为 3 人，
设男生为 , ，女生为 , , ，
抽取两人的情况为： , , , , , , , , , ，共 10 种，
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这 2 人中男生女生各 1 人的情况为： , , , , , ,
所以这 2 人中男生女生各 1 3人的概率概率为5；
(3)设男生成绩样本平均数为 = 71，方差为 2 = 187.75，
女生成绩样本平均数 = 66，方差为 2 = 40，总样本的平均数为 ，方差为 2，
= 40100 +
60
100 = 0.4 × 71 + 0.6 × 66 = 68，
2 40 60 = 100
2
+ 2 + 2 2100 +
= 40100 187.75 + (71 68)
2 + 60 2100 40 + (66 68) = 105.1，
所以总样本的平均数和方差分别为 68 和 105.1．
19.解：(1)证明：取 的中点 ，连接 ，因为 是边长为 2 的等边三角形，
所以 ⊥ ，又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
在 中， = 2, = 2 3, = 4，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)取 的中点 ，连接 ，因为 为线段 的中点，
1 1
所以 // ， = 2 = 2 ×
2 2 = 1 × 22 12 = 32 2 ，
由(1)知， ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，所以 ⊥ ．
过点 作 ⊥ ，垂足为 ，连接 ， ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角．
因为 ⊥平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，
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又 = ，所以 = 2 + 2 = 22 + ( 3)2 = 7，
所以 sin∠ = =
3 = ，即 7 3 ，解得 =
3 21
14 ．
2
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
2 2
又 // 3 21 3 2 21，所以 ⊥ ，所以 = 2 + 2 = 14 + 2 = 7 ，
3 21

所以 cos∠ = = 14 = 3 2 21 4，
7
3
即二面角 的余弦值为4．
(3)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 是边长为 2 的等边三角形，点 是棱 的中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ．
显然点 不同于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，又 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，所以直线 与平面 所成的角为∠ ．
设 = (0 ≤ < 2 3)，所以 = 2 + 2 = 2 + 1， = 2 3 ，
在 中， = 2 + 2 = 13，
sin∠ = = 1 所以 ，即 13 = 2 3 ，
2 3
= 2 3 sin∠ = = 13 = 2 3 = 5 13所以 13 ，所以 2+1 13 2+13 26
，
解得 = 33 或 =
23 3 3
21 (舍)，即 = 3
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