资源简介

2024-2025学年河北省秦皇岛市部分学校高一下学期7月期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.投掷两枚质地均匀的骰子，记事件为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则( )
A. 为必然事件 B. 为不可能事件
C. 与为互斥但不对立事件 D. 与互为对立事件
2.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知，复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知，是两个互相垂直的平面，，是两条互相平行的直线，且，，则( )
A. B.
C. D.
5.若复数是关于的一元二次方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
6.如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，若是边长为的等边三角形，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.已知点在点的正西方向，为了测量两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且两点之间的距离为米，则两点之间的距离为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.已知向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. B. C. D. 的虚部为
10.不透明的袋子中装有两个分别标有数字，的红球和四个分别标有数字，，，的黄球，这些球除颜色和数字外完全相同，从袋子中随机取出两个球，则( )
A. 这两个球颜色相同的概率小于颜色不同的概率
B. 至少有一个红球被取出的概率为
C. 这两个球上的数字相同的概率为
D. 这两个球上的数字之和为偶数的概率为
11.已知的内角的对边分别为，是分别线段上的两点不包括端点，，且，下列结论正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据，，，，，，的第百分位数为 ____．
13.如图，在中，，若，则 ．
14.在直三棱柱中，，则该三棱柱外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了提高学生的消防安全意识，某地计划从当地万名中学生中随机选取人参加消防安全知识测试，将他们的得分满分：分分组为，，，，，，并按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图．

求的值；
在参加了消防安全知识测试，且得分在和内的中学生中，按比例采用分层随机抽样的方法抽取人，求抽取的得分在内的学生人数；
若规定得分不低于分的学生的评级为优秀，以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在正三棱柱中，为的中点，．
证明：．
证明：平面．
证明：平面．
18.本小题分
不透明的袋子中装有红球、绿球、黄球各个，黑球个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出个球，且每次黑球被取出的概率为．
求的值；
若进行两次取球，求这两次取出的球的颜色不同的概率；
若进行三次取球，求取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率．
19.本小题分
如图，在中，，是线段上一点，且将沿着翻折至，得到如图所示的三棱锥，记二面角的大小为．
当时，求直线与平面所成角的正切值．
当时，在翻折的过程中：
求点的运动轨迹的长度；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由图得，解得．
参加了消防安全知识测试的中学生中，得分在内的频率为，
则学生人数为，
得分在内的频率为，则学生人数为，
故抽取的得分在内的学生人数为人
参加了消防安全知识测试的中学生中，得分不低于分的频率为，
以参加了消防安全知识测试的中学生为代表，估计当地中学生评级为优秀的人数为人

16.解：因为，所以．
又，所以，
则，因为，所以，
即．
由，可得．
因为的面积为，所以，得．
由余弦定理可知，
则，
所以，故的周长为．

17.解：因为为正三角形，为的中点，
所以，因为平面，平面，
所以因为平面平面，
，所以平面．
因为平面，所以．
连接，设与交于点，则为的中点．
连接因为为的中点，所以为的中位线，则．
又平面平面，所以平面．
易得，则，
所以．
由可知平面，所以．
因为平面，平面，，所以平面．

18.解：由题可知，，解得．
若第一次取出的是红球，则这两次取出的球的颜色不同的概率，
若第一次取出的是绿球，则这两次取出的球的颜色不同的概率，
若第一次取出的是黄球，则这两次取出的球的颜色不同的概率，
若第一次取出的是黑球，则这两次取出的球的颜色不同的概率，
故这两次取出的球的颜色不同的概率为．
若黑球被取出两次，则取出的球至少有两种不同的颜色的概率，
若黑球被取出一次，取出的球至少有两种不同的颜色的概率，
故取出的球至少有两种不同的颜色，且有黑球被取出的概率为．

19.解：由，可得平面平面，
过点作，并与交于点因为平面平面，
所以平面连接，则即为直线与平面所成的角．
在题图中，由，，可得，
，则，则，
从而，
即直线与平面所成角的正切值为．
在翻折的过程中，由题可知，点的运动轨迹是以为圆心，
为半径的圆上的弧因为．
所以点的运动轨迹的长度为．
如图，当时，记点在平面内的投影为，
则，
过点作，并与交于点，则，
，
，
因为，所以，
则，从而的取值范围为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑