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2024-2025 学年河北省邢台市高一下学期 7 月期末测试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一次比赛中，五位评委给甲选手的打分分别为 87,92,90,89,94，则甲选手得分的第 30 百分位数为( )
A. 88 B. 89 C. 90 D. 92
2 2 .复数3+2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，则“ > ”是“0 < cos < cos ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 1.已知两个单位向量 , 的夹角的余弦值为 3，则 2 +
=( )
A. 11 B. 22 33 333 2 C. 5 D. 3
5.如图， ′ ′ ′是 的直观图，若 ′ ′ = 2, ′ ′ = 10，则 =( )
A. 8 B. 4 C. 4 2 D. 2 2
6.不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球.设事件 为“至少有
一个黄球”，事件 为“至少有一个红球”，则( )
A. 与 互为对立事件 B. 与 互斥但不对立
C. 与 相互独立 D. = 23
7.如图，在直三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1是正方形， 是 1的中点， = = 3， 1 = 4，
则异面直线 与 1所成角的余弦值为( )
A. 4 5 B. 8 5
25 25
C. 4 13 D. 8 13
65 65
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8.已知非等腰三角形 的内角分别为 , , ，若 sin4 = sin4 ，则下列结论一定不正确的是( )
A. sin = 22 B. sin = cos C. cos =
2
2 D. sin2 = sin2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. 1 = 1,2 , 2 = 2,1 B. 1 = 4,2 , 2 = 6, 3
C. 1 = 2,5 , 2 = 3, 1 D. 1 = 7,3 , 2 = 0,0
10.五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点
数 1 的是( )
A.平均数为 3，中位数为 2 B.平均数为 3，极差为 4
C.平均数为 4，方差为 2 D.中位数为 3，众数为 4
11.如图，正四面体 的四个顶点都在球 的表面上，且球 的表面积为 24 ，则( )
A. = 4
B.四面体 的体积为 16 2
C.过点 且平行于平面 的平面截四面体 9 3所得的截面面积为 4
D.过 , , 三点的平面截四面体 所得的截面面积为 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知(3 + )(2 )为纯虚数，则实数 = ．
13.已知 , 为互斥事件，且 = 0.6, = 0.2，则 ( ) = ．
14.如图，正方形 的边长为 4， 是 的中点， 是正方形 边上的一动点， 是以 为直径的半
圆弧上一动点，则 的最大值为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1 1 2
甲 乙 丙三人独立地作答一道试题，且甲 乙 丙答对该道试题的概率分别为3 , 2 , 3．
(1)求无人答对该道试题的概率；
(2)求至少有两人答对该道试题的概率．
16.(本小题 15 分)
如图，在正四棱柱 1 1 1 1中， 是 1的中点，且 1 = 2 ．
(1)证明： 1 //平面 ．
(2)证明： 1 ⊥平面 ．
17.(本小题 15 分)
的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 = 3, cos + 3cos = 9．
(1)求 的值；
(2) = 2 若 3，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长(单位：分钟)，将所得数据
按 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60 分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动
时长在 30,40 , 40,50 , 50,60 的频率之比为 3: 2: 1，且运动时长在 50,60 的频数为 7．
(1)求被调查的学生总人数；
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(2)求被调查的学生运动时长的平均数与中位数(结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区
间的中点值作代表)；
(3)按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在 30,40 , 40,50 , 50,60 内的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中
任选 3 人，求运动时长在 30,40 , 40,50 , 50,60 内的各有 1 人被选中的概率．
19.(本小题 17 分)
如图 1，在 中， = 3 = 3, ∠ = 90 , = (0 < < 1)，如图 2，将 沿着 翻
折至 ，使得平面 ⊥平面 ．
(1) 1若 = 2，求三棱锥 的体积；
(2) = 1若 4，求二面角 的正切值；
(3)求 取得最小值时 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.0.2## 15
14.4 5 + 4
15.(1) 1 1 2 1依题意，无人答对该道试题的概率为(1 3 ) × (1 2 ) × (1 3 ) = 9．
(2) 1 × 1 2 1 1至少有两人答对该道试题的概率3 2 × 3 + 3 × 2 × (1
2 1 1
3 ) + 3 × (1 2 ) ×
2
3+ (1
1
3 ) ×
1 2 1
2 × 3 = 2．
16.(1)在正四棱柱 1 1 1 1中，连接 ∩ = ，连接 ，则 为 中点，
而 是 1的中点，则 // 1 ，又 平面 ， 1 平面 ，
所以 1 //平面 ．
(2)四边形 1 1是正四棱柱 1 1 1 1的对角面，则四边形 1 1为矩形，
在正方形 中， = 2 = 1，则矩形 1 1为正方形， 1 ⊥ 1，而 // 1 ，
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因此 ⊥ 1，又 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，又 ⊥ ，
1 ∩ = , 1, 平面 1 1，于是 ⊥平面 1 1，而 1 平面 1 1，
因此 ⊥ 1，又 ∩ = , , 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
2
17.(1) = 3, cos + 3cos = 9 9 = +
2 2 2 2+ +
2
在 中，由 及余弦定理，得 2 2 = ，
所以 = 9．
(2)由余弦定理，得 81 = 2 = 2 + 2 2 cos 2 3 =
2 + 9 + 3 ，即 2 + 3 72 = 0，
而 > 0，解得 = 3 33 32 ，
= 1 sin = 1 × 3 × 3 33 3 × 3 = 27 11 9 3所以 的面积为 2 2 2 2 8 ．
18.(1)由运动时长在[30,40), [40,50), [50,60]的频率之比为 3: 2: 1，运动时长在 50,60 的频数为 7，
得运动时长在[30,40), [40,50), [50,60]的频数分别为 21,14,7，
由频率分布直方图，得运动时长在[30,40), [40,50), [50,60]的频率和为 0.7，
21+14+7
所以被调查的学生总人数为 0.7 = 60．
(2)由(1)，得数据在 10,20 , 20,30 , 30,40 , 40,50 , 50,60 7 7内的频率依次为 0.1,0.2,0.35, 30 , 60，
7 7
所以被调查的学生运动时长的平均数 = 15 × 0.1 + 25 × 0.2 + 35 × 0.35 + 45 × 30 + 55 × 60 ≈ 35.67；
中位数 ∈ (30,40)，( 30) × 0.035 = 0.2，解得 ≈ 35.71，
所以被调查的学生运动时长的中位数约为 35.71．
(3)抽取的 6 人中，运动时长在[30,40), [40,50), [50,60]内的人数分别为 3,2,1，分别记为 1, 2, 3， 1, 2， ，
任取 3 人的样本空间 = { 1 2 3, 1 2 1, 1 2 2, 1 2 , 1 3 1, 1 3 2, 1 3 , 2 3 1, 2 3 2,
2 3 , 1 1 2, 1 1 , 1 2 , 2 1 2, 2 1 , 2 2 , 3 1 2, 3 1 , 3 2 , 1 2 }，共 20 个，
运动时长在[30,40), [40,50), [50,60]内的各有 1 人被选中的事件 = { 1 1 , 1 2 , 2 1 , 2 2 , 3 1 , 3 2 }，
共 6 个，
( ) = 6所以 20 = 0.3．
19.(1)当 = 1 1 12时，由 = 2 ，得 = 2 ，即 是 的中点．
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∵ = 3, = 1, ∠ = 90 , ∴ = 2, = = 1,
取 的中点 ，连接 , .则 ⊥ ， = 32 ．
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
1 1 1 1 1 1 3 1
所以，三棱锥 的体积 = 3 = 3 × 2 = 3 × 2 × 2 × 3 × 1 × 2 = 8．
(2)由(1) 知在 中， = 2, ∠ = 3．
若 = 1 14时， = 4 =
1
2， =
3
2．
1 3
过 作 ⊥ ，垂足为 ，则 = 4 = 4 ．
2
∴ 2 = 2 + 2 2 cos = 1 + 1 2 × 1 × 1 × 1 = 33 2 2 2 4，∴ =
3
2
3 1
由 2 + 2 = 4 + 4 = 1 =
2得∠ = 90 .即 ⊥ ．
在三棱锥 中， ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
又∵ ⊥ ，∴ ∠ 即为二面角 的平面角．
3
在 中，tan∠ = 2 = 3 = 2 3.
4
所以，二面角 的正切值为 2 3.
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(3)在 中，设∠ = , ∈ 0, 2 ，则∠ = 2 ，
过 作 ⊥ ，垂足为 ，则 = sin ， = cos ，
在 中，由余弦定理，得
2 = 2 + 2 2 cos 2 = 3 +
2 2 3 cos sin ．
在三棱锥 中， 2 = 2 + 2 2 cos 2 = 3 +
2 2 3 cos sin
平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面
∴ ⊥平面 ．
∵ 平面 ，所以 ⊥ ，
在 中， 2 = 2 + 2 = 3 + 2 2 3 cos sin + 2
= 4+ cos2 3sin2 = 4 + 2cos 2 + 3 ．
由 ∈ 0, 4 2 ，得 2 + 3 ∈ 3 , 3 ，
2 + 当 3 = ，即 = 3时， 取得最小值， min = 2．
此时， 1 1是等边三角形， = 1 = 2 ， = 2．
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