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2024-2025 学年河南省信阳市高一下学期期末质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.已知复数 与2+i互为共轭复数，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. i C. 1 D. i
2.下列命题中正确的是( )
A.若直线 上有无数个点不在平面 内，则 //
B.若直线 //平面 ，则直线 与平面 内的任意一条直线都平行
C.若直线 //直线 ，直线 //平面 ，则直线 //平面
D.若直线 //平面 ，则直线 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
→ →
3.设平面向量 = (4,2), = ( , 1)，若 与 不能作为平面向量的一组基底，则 =( )
A. 2 B. 10 C. 6 D. 0
4.如图，在 中，点 是 的中点， = 3 ，则 =( )
A. 2 1 2 1 3 + 3 B. 3 + 3
C. 5 3 8 + 8
D. 5 3 8 + 8
5.已知两条不同的直线 ， ，两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 /\ !/ B.若 /\ !/ ， /\ !/ ， /\ !/ ，则 /\ !/
C.若 ⊥ ， /\ !/ ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， /\ !/ ， /\ !/ ，则 ⊥
6.数据 1, 2, 3 , 210的平均数为 = 4，方差 = 6.4，现在增加两个数据 2 和 6，则这组新数据的标准差
为( )
A. 0.8 B. 6 C. 6.4 D. 6
7.将一个直角边长分别为 3，4 的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥
内切球的体积为( )
A. 9 2 B. 9 C. 25 D. 27
8.已知非零向量 ， 的夹角为锐角， 为 在 方向上的投影向量，且 = 2 = 2，设 + 与 的夹角
为 ，则 cos 的最小值为( )
A. 32 B.
2 3 2 6
5 C. 5 D. 10
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 + i( ∈ )， 1 = 1 + i ，则下列说法正确的是( )
A.若 1在复平面对应的点位于第二象限，则 > 2
B.若 1为纯虚数，则 = 2
C. | |的最小值为 2
D.存在 ∈ ，使 1与 互为共轭复数
10.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1， 为线段 1 1上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 2点 到平面 1 的距离为 2
B.平面 1 与底面 的交线平行于 1
C.三棱锥 1 的体积为定值
D. 二面角 1 的大小为4
11.在锐角 中，设 ， ， 分别表示角 ， ， 对边， = 1， cos cos = 1，则下列选项正确的有
( )
A. = 2
B. 的取值范围是 2, 2
C. 3 2 7当 = 2时 的外接圆半径为 7
D.若当 , 3变化时，sin 2 sin2 存在最大值，则正数 的取值范围为 0, 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知正六边形 的边长为 2，则 = ．
13.已知函数 ( ) = log ( 1) + 3 的图象经过定点 ，且幂函数 ( )的图象过点 ，则 (2) = ．
14.在四棱锥 ⊥ = = 2 = 4 ∠ = 中，平面 平面 ， ， ， ， 3，∠ =
2
3，

若二面角 为4，则四棱锥 外接球的表面积为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1, ), = (2 + 3, ) = ( 3,5), ∈ R．
→ →
(1)若 // ，求|2 |的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, π < < π)的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式及单调递增区间；
(2)将函数 = ( ) 5π的图象向左平移12个单位长度后得到函数 = ( )图象，若不等式 ( ) ≤ 4 对任意
∈ [0, π4 ]成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着 的开源，促进了 技术的共享和进步．某
网站组织经常使用 的人进行了 知识竞赛．从参赛者中随机选出 100 人作为样本，并将这 100 人
按成绩分组：第 1 组[50,60)，第 2 组[60,70)，第 3 组[70,80)，第 4 组[80,90)，第 5 组[90,100]，得到的
频率分布直方图如图所示．
(1)求 ；
(2)求样本数据的中位数与第 35 百分位数；
(3)已知直方图中成绩在[80,90)内的平均数为 85，方差为 10，[90,100]内的平均数为 95，方差为 15，求成
绩在[80,100]内的平均数与方差．
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18.(本小题 17 分)
在 , , 1中，角 ，所对的边分别为 ， ， ， sin + sin sin = 2 sin ．
(1)求 cos∠ ；
(2)已知 = 2 ， = 10，求 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， 是边长为 6 的等边三角形， // ， = 2 ，
点 在棱 上，且 = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)已知 ⊥ ．
①若二面角 的正切值为 2，求三棱锥 的体积；
②若∠ = π π，设直线 与平面 所成的角为 ，若4 ≤ ≤ 3，求 tan 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.3
14.49 /493 3
→
15. →(1)若 /\ !/ ，则有 1 × ( ) (2 + 3) = 0，解得 = 0 或 = 2．
①当 = 0 时， = (1,0), = (3,0)，2 = ( 1,0)，
所以|2 | = 1；
②当 = 2 时， = (1, 2), = ( 1,2)，2 = (3, 6)，
所以|2 | = 32 + ( 6)2 = 3 5．
所以|2 |是 1 或 3 5；
(2)若 与 的夹角是钝角，则 < 0，且 与 不共线，
1 × ( 3) + 5 < 0
，解得 < 3且 ≠ 5，
1 × 5 + 3 ≠ 0 5 3
5 5 3
即 的取值范围为 ∞, 3 ∪ 3 , 5 ．
16.(1) = 3 2π 1由图象可知， ， × 4 =
7π π12 3，得 = 2，
= 7π 7π π 2π当 12时，2 × 12 + = 2 + 2 π， ∈ Z，得 = 3 + 2 π， ∈ Z，
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因为 π < < π，所以 = 2π3，
所以 ( ) = 3sin 2 2π3 ，
π令 2 + 2 π ≤ 2
2π
3 ≤
π
2 + 2 π， ∈ Z，
π + π ≤ ≤ 7π得12 12 + π， ∈ Z，
π 7π
所以函数的单调递增区间是 12+ π, 12 + π ， ∈ Z；
(2) ( ) = 3sin 2 + 5π 2π12 3 = 3sin 2 +
π
6 ，
当 ∈ 0, π4 时，2 +
π ∈ π 2π6 6 , 3 ，
则 3sin 2 + π ∈ 36 2 , 3 ，
若不等方式 ( ) ≤ 4 ∈ [0, π对任意 4 ]成立，则 3 ≤ 4，
得 ≥ 1．
17.(1)由( + 0.015 + 0.020 + 0.003 × 2) × 10 = 1，得 = 0.005
(2)前三组频率之和为 0.05 + 0.15 + 0.030 = 0.5，
所以样本数据的中位数为 80；
前两组频率之和为(0.005 + 0.015) × 10 = 0.2
则样本数据的第 35 百分位数落在第三组，设第 35 百分位数为 ，
则( 70) × 0.03 = 0.35 0.2 = 75；
(3)由题意，成绩在[80,90), [90,100]内的人数分别为 30，20．
设[80,90)内数据的平均数为 ，方差为 2 ，
[90,100]内数据的平均数为 ，方差为 2 2 ，总平均数为 ，方差为 ，
= 85 = 95 2 = 10, 2 = 15 = 85×30+95×20依题意， ， ， ，则 50 = 89，
2 = 30 250 +
2 + 20 2 2 350 + = 5 10 + (89 85)
2 + 25 15 + (89 95)
2 = 36．
所以，成绩在[80,100]内的平均数为 89，方差为 36．
18.(1) 1解：因为 sin + sin sin = 2 sin ，
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由正弦定理， 2 + 2 2 = 12 ，
2 2 2 1
所以 cos∠ = + 2 =
2 1
2 = 4．
(2)解：由 = 2 ，
得 = + = + 2 = + 2 = 1 + 2 3 3 3 3 ，
所以 2 = 1
2
9 + 2
= 1 2 29 + 4 + 4 ×
1 1 2 2
4 = 9 + 4 + = 10，
由基本不等式，10 = 1 2 + 4 2 + ≥ 1 2 29 9 4
2 + = 59 ，
所以 ≤ 18，当且仅当 = 2 ，即 = 3， = 6 时等号成立．
1
由 cos∠ = 4， ∈ 0, π ，
15
所以 sin∠ = 4 ，
所以 = 12 sin∠ ≤
1 15 9
2 × 18 × 4 = 4 15．
故 9 15面积的最大值为 4 ．
19.(1)连接 交 于点 ，连接 ，
∵ // ， = 2 ，由相似三角形的性质，可得 = 2 ，
又 = 2 ，所以 // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)①取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
则 // 1， = 2 ，
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，
∵ 是边长为 6 的等边三角形，则 = 3 3， ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ∩ = ， , 平面 ，∴ ⊥平面 ，
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∵ 平面 ，∴ ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角．
Rt 3 3在 中，tan∠ = = = 2．
3 3
∴ = 2 = 2 = 3 3
在 Rt 中， = 2 2 = 36 27 = 3，
1 = 2 =
1
2 × 3 × 3 3 =
9 3
2 ，
∴ = 1 = 1 × 9 3 27 3 3 2 × 3 3 = 2．
②过 作 /\ !/ 交 于 ，连接 ，由于 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
则∠ 为 与平面 所成角，即∠ = ，tan = ．
点 在棱 上，且 = 2 ．
由 = 13 = 3， =
1
3 = 1， = 6cos ，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos = 6cos 2 + 12 2 × 6cos × 1 × cos
= 24cos2 + 1，
∵ π4 ≤ ≤
π 1 2 1 1
3，∴ 2 ≤ cos ≤ ， ≤ cos
2
2 4 ≤ 2，∴ = 24cos
2 + 1 ∈ 7, 13 ，
3 39 21
∴ tan = = ∈ 13 , 7
故 tan 39 21的取值范围为 13 , 7 ．
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