2024-2025学年北京市通州区高一年级下学期期末考试数学试题(含答案)

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2024-2025学年北京市通州区高一年级下学期期末考试数学试题(含答案)

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北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试
数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知向量,,若,则实数( )
A. B. C.2 D.4
2.已知复数,则下列说法正确的是( )
A.复数的虚部是 B.
C. D.在复平面内,复数对应的点在第二象限
3.已知一组样本数据16,,14,15,13的平均数为15,则该组样本数据的方差为( )
A.2.0 B.2.1 C.2.2 D.2.4
4.一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的分位数是( )
A.31 B.33 C.34 D.35
5.某市为了减少水资源浪费,为确定一个比较合理的标准,从该市随机调查了200户用户居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,则用水量小于1.5立方米的用户数为( )
A.20 B.30 C.50 D.60
6.已知平面向量为单位向量,,且与的夹角为,则( )
A. B.2 C. D.3
7.已知平面,为两个不同的平面,直线为内一条直线,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.如图,在正方体中,点,,分别为,,的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术·商功》.如图1,把一块长方体分成相同的两块,得到两个直三棱柱(堑堵).如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开,得到四棱锥和三棱锥各一个,其中四棱锥称为阳马,三棱锥称为鳖臑.则在图2中,下列说法正确的个数为( )
①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形
②鳖臑的四个面均为直角三角形
③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍
④堑堵的体积是鳖臑的体积的2倍
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图,在长方体中,,,点,分别为,的中点,点为长方形内一动点(含边界),若直线平面,则点的轨迹长度为( )
A.2 B. C. D.
二、填空题
11.已知复数的共轭复数为,则 .
12.天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6,乙地的降雨概率为0.7,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则在这段时间内两地都不降雨的概率为 .
13.陀螺是中国民间的娱乐工具之一,早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成,如图所示,已知一木制陀螺模型,其中圆柱的高是圆锥的高的2倍,圆锥的底面半径与圆锥的高相同,若圆柱的高为6cm,则该圆柱的侧面积为 cm2;该陀螺的体积为 cm3.
14.在中,,,点在线段上,若,则 ;若,当取得最小值时, .
15.如图1,正方形中,,为的中点,,.将沿翻折到,沿翻折到,连接,如图2.给出下列四个结论:
①平面平面;
②当时,三棱锥的体积为;
③设二面角的平面角为,当时,;
④设直线与平面所成角为,当时,则.
其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题
16.如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点,分别为,的中点.
(1)平面;
(2)平面.
17.在中,角所对的边分别为,,,.
(1)若,,求及的值;
(2)若,再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得存在,求的面积.
条件①:;
条件②:;
条件③:
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
18.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区间,从中随机抽取了40名学生的测试成绩,绘制得到频率分布直方图,如图所示.

(1)求图中的值;
(2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法,从和的学生中抽取7人组成宣讲团.
(ⅰ)求应从和学生中分别抽取的学生人数;
(ⅱ)从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲,求至少有1人测试成绩位于区间的概率.
19.如图,在五面体中,四边形是正方形,平面平面,,,.
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)求证:.
20.如图,在四面体中,,,,点为的中点,点为上一点,且,四面体的体积为.
(1)求证:平面平面;
(2)若,恰为二面角的平面角,求的面积.
21.在中,角,,所对的边分别为,,,点为内的一点,且.
(1)当时,
(ⅰ)求角;
(ⅱ)若,,求的值;
(2)若,且,,求的最小值.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D C C B C B C
11.
12./
13.
14. 3
15.①②③
16.(1)如图取的中点,连接,
因为是的中点,是的中点,
根据三角形中位线定理,在中,,且,
又因为底面为矩形,是的中点,
所以,且,
由此可得,且,
所以四边形是平行四边形,
那么,
因为平面,平面,
所以平面;
(2)因为平面,平面,
所以,
又因为底面是矩形,所以,
而,、平面,
又平面,
所以平面.
17.(1)解:由余弦定理可得:,
所以;
由正弦定理可得,
所以
(2)解:选①:,
则,
所以此时不存在;
选②:,
由正弦定理可得,
解得;
由余弦定理得,
即,
解得或;
所以或;
选③:,
则,
由正弦定理可得,
解得,
由余弦定理得,
即,
解得或(舍);
所以.
18.(1)由频率分布直方图可得,
解得;
(2)(ⅰ)由图可得和这两组的频率之比为,
故应从学生中抽取的学生人数为(人),
应从学生中抽取的学生人数为(人);,
(ⅱ)设从中抽取的5人为,从学生中抽取的2人为1,2,
则这个试验的样本空间为

共有21个基本事件;
事件“至少有1人测试成绩位于区间”,事件的个数有11个,
即,
故.
19.(1)由正方形,得,
又∵平面,平面,∴∥平面,
∵平面,平面平面,

(2)由正方形,得,
∵平面平面,平面平面,平面,
∴平面,
又∵平面,∴,
由(1)知,∴,,
又,平面,
∴平面;
(3)取的中点,连接,则,
又,所以四边形是平行四边形.
∴,∴.
由,得,,∴.
∵,,平面,
∴平面.
∵平面,∴.
由正方形,得∥,∴,
∵,平面,∴平面,
∵平面,∴
20.(1)证明:由题意可得为等腰直角三角形,斜边,
所以,
又因为,
所以,
所以,
又因为点为的中点,
所以,
又平面,,
所以平面,
又因为平面,
所以平面平面;
(2)解:因为,,
且平面,,
所以平面,
所以为四面体的高,
所以四面体的体积,
解得,
又因为,
所以,
又因为恰为二面角的平面角,
所以,
所以,
又因为,
解得,
所以,
又因为,
所以.
21.(1)(ⅰ)由正弦定理边化角得,
因为,
所以,
即,
因为,所以,
即,因为,
所以,得;
(ⅱ)因为,所以,
记,
则,即,
又,所以,
所以,
由余弦定理得,
所以.
(2)记,则,
在中,由余弦定理得:
,,

因为,所以,,
所以,
所以,所以,整理得,
根据题意,所以,
记,则,解得(舍去)或,
当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页

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