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2024-2025 学年福建省百校高二下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 π.“ 为锐角”是“ < 2”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知函数 ( )在 = 1 处可导，且 lim (1+ ) (1)4 = 2，则
′(1) =( )
→0
A. 1 B. 18 4 C. 4 D. 8
3.设随机变量 ～ 3, 2 ， ( ≤ 5) = 0.8，则 (1 ≤ ≤ 3) =( )
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
4.在等比数列 中，若 23 = 8 2且 1 = 1，则 5 =( )
A. 64 B. 32 C. 16 D. 8
5.已知一道解答题共有两小问，某班 50 个人中有 30 个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，
解答出第二问的概率为 0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7，则解答出第二问
的概率为( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
6.若函数 ( ) = 2 + ln + 1 在其定义域内的区间(2 1,2 )内有极值点，则实数 的取值范围为( )
A. 2 , 33 4 B.
1
3 ,
1
2 C.
1 , 3 1 32 4 D. 2 , 4
7.从编号 1 10 的 10 张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件 ：“第一次抽到的卡片编号数字为 5 的
倍数”，事件 ：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则 =( )
A. 23 B.
13 7 17
18 C. 9 D. 18
8.在一个具有五个行政区域的地图上，用 6 种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色
方法共有( )
A. 1450 种 B. 1480 种 C. 1520 种 D. 1560 种
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.曲线 ( ) = 3 + 3 在点 处的切线平行于直线 = 2 1，则点 的坐标可能为( )
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A. (1,3) B. (0,3) C. (2,9) D. ( 1,3)
6
10 1.关于 2 的展开式，下列说法中正确的是( )
A.各项系数之和为 1 B.第二项与第四项的二项式系数相等
C.常数项为 60 D.有理项共有 4 项
11.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，则( )
A. ( ) = 4π的图象关于直线 3对称
B. ( ) π的图象向左平移3个单位长度后得到函数 ( ) = 3cos2
C. π12
5π 11π
的单调递增区间为 12 + π, 12 + π ( ∈ )
D.若方程 ( ) = 32在(0, )上有且只有 6
10π
个根，则 ∈ 3π, 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 cos2 = 12，则sin
2 = ．
13.已知圆台的上、下底面半径分别为 ，2 ，高为 6 2 ，则圆台体积的最大值为 ．
+ 1, 为奇数,
14.已知数列 的前 项和为 ，且 = 1

1 ， +1 = 则 20 =____ ．
+ 2, 为偶数,
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 sin 3 cos = 0．
(1)求 ；
(2)若 = 13， 的面积为 3，求 的周长．
16.(本小题 15 分)
在等差数列 中， 6 = 6， 7 = 3．
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(1)求 通项公式及其前 项和 的最小值；
(2)若数列 为等比数列，且 1 = 9， 2 = 11，求 的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 2 + 在 = 2 取得极值为 2．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若 > 0，求函数 ( )在区间[0, ]上的值域．
18.(本小题 17 分)
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试.笔试共有 2 道专业理论题
与 2 道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数(考生能够正确作答的概率)均为 (0 < < 1)，每道岗位实
践题的难度系数均为 (0 < < 1)，考生至少答对 3 道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有 5 道问
1
答题，由考官逐一提问作答，累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束.已知甲笔试得满分的概率为16，笔
试和面试各题是否答对相互独立．
(1) 2当 = 3时，求 ；
(2)求甲能够进入面试的概率 ( )的最小值及相应的 值；
(3)已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是(2)中求得的 值，令甲面试结束时的答题数为 ，
求 的分布列与数学期望．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = e ．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 ( ) ≥ 0，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( )有且仅有两个零点 1， 2，且 2 > 1，证明：5 1 + 6 2 > 11．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.34
13.56π3
14.300
15.解：(1) ∵ sin 3 cos = 0，
∴ sin sin 3sin cos = 0，
又 ∈ 0, π ，∴ ≠ 0
∴ sin 3cos = 0，即 tan = 3．
又 ∈ 0, π ，∴ = π3．
(2) ∵ = π3， 的面积为 3，
∴ 12 sin = 3，即 = 4．
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 13 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
又 = 4，∴ + = 5．
∴△ 的周长为 5 + 13．
16.解：(1)设等差数列 的公差为 ．
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因为 6 = 6, 7 = 3

，所以 1
+ 5 = 6 1 = 21
1 + 6 = 3
，解得 = 3 ,
所以 = 1 + ( 1) = 3 24．
3 15
2
675
所以 1+ (3 45) 2 4 = 2 = 2 = 2 ．
因为 ∈ ，所以当 = 7 或 = 8 时 取得最小值，
且最小值为 7 = =
(3×8 45)×8
8 2 = 84．
(2)由(1)可得： 1 = 9 = 3， 2 = 11 = 9，
9
所以等比数列 的公比为 = 2 = 3 = 3，1

所以 = 1 = 3
1 3 1 3 3
1 ，所以等比数列 1 的前 项和 = 1 = 1 3 = 2 3 1 ．
(2) = 8 4 + = 2
17.解：(1)由 ′( ) = 3 2 2 ，有 ,
′(2) = 12 4 = 0
解得 = 3， = 2，故 = 3， = 2．
(2)由(1)有 ( ) = 3 3 2 + 2， ′( ) = 3 2 6 = 3 ( 2)，
令 ′( ) > 0 有 < 0 或 > 2，可得函数 ( )的减区间为(0,2)，增区间为( ∞,0)，(2, + ∞)，
又由 (0) = 2， (2) = 2，令 3 3 2 + 2 = 2 可得 = 0 或 3，
①当 0 < ≤ 2 时， ( )max = (0) = 2， ( )min = ( ) = 3 3 2 + 2，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为 3
3 2 + 2,2 ．
②当 2 < ≤ 3 时， ( )max = (0) = 2， ( )min = (2) = 2，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为[ 2,2]．
③当 > 3 时， ( )min = (2) = 2， ( ) 3 2max = ( ) = 3 + 2，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为
2, 3 3 2 + 2 ．
综上所述：当 0 < ≤ 2 时，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为 3 3 2 + 2,2 ；
当 2 < ≤ 3 时，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为 2, 3 3 2 + 2 ；
当 > 3 时，函数 ( )在区间[0, ]上的值域为 2, 3 3 2 + 2 ．
18.解：(1)由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为 2 2 = 1 116，则 = 4，
2 1 3 3
又 = 3，所以 = 4 × 2 = 8．
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(2)由题意，甲至少答对 3 道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率 ( ) = C1 2 12 (1 ) + C2 (1 ) 2 + 2 2，
1 1
由(1)知 = 4，则 = 4 ，
则 ( ) = 2 (1 ) 116 2 + 2
1
4 1
1 2 2 1
4 + 16 2，
( ) = 1 + 3整理得 8 2 16，
因为 0 < < 1，0 < < 1，
( ) = 1 3 1 3 1 3 5所以 8 + 2 16 ≥ 2 8 × 2 16 = 2 16 = 16，
1 1
当且仅当8 = 2，即 = 2时，等号成立，
5 1
所以甲能够进入面试的概率 ( )的最小值为16，相应的 值为2．
(3) 1由(2)知，面试时每道题的难度系数是 = 2，则甲答对每道面试题的概率 =
1
2，
由题意，甲累计答对 3 道题或答错 3 道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数 的可能取值为 3，4，5，
1 3 3
当 = 3 时， ( = 3) = 2 + 1
1
2 =
1
4，
= 4 ( = 4) = C2 1
2 1 1 1 1 2 1 3
当 时， 3 2 ×
1
2 × 2 + C3 2 × 2 × 2 = 8，
当 = 5 时， ( = 5) = 1 ( = 3) ( = 4) = 38，
所以 的分布列为：

3 4 5
1 3 3
4 8 8
数学期望为： ( ) = 3 × 14+ 4 ×
3
8 + 5 ×
3
8 =
33
8．
19.解：(1)由 ′( ) = e ，
①当 ≤ 0 时，有 ′( ) > 0，函数 ( )单调递增；
②当 > 0 时，令 ′( ) > 0，有 > ln ，可得函数 ( )的减区间为 ∞, ln ，增区间为 ln , + ∞ ．
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(2)①当 = 0 时，由 ( ) = e > 0，符合题意．
< 0 1
1 1
②当 时，由 = e ×
1

= e 1 < 1 1 = 0，不合题意．
③当 > 0，若 ( ) ≥ 0，有 ln = ln ≥ 0，可得 0 < ≤ e，
由上知，若 ( ) ≥ 0，则实数 的取值范围为 0, e ．
(3)由(1)知，当 ≤ 0 时，函数 ( )单调递增，最多只有一个零点，可得 > 0，

又由e 1 = ，e 1 2 = 2，有 =
e 2 e 1
，2 1
要证：5 1 + 6 2 > 11，只需要证 5 1 + 6 2 > 11 ，
11 e 2 e 1 5e 1+6e 2 11
只需要证：5e 1 + 6e 2 > ，只需要证： e 2 e 1 >2 1 2
，
1
5+6e 2 1 11
只需要证： e 2 1 1 > ，2 1
= ( > 0) 5+6e
11
令 2 1 ，上述不等式可化为 e 1 > ，
只需证：(6 11)e + 5 + 11 > 0，
令 ( ) = (6 11)e + 5 + 11( ≥ 0)，有 ′( ) = (6 5)e + 5，
令 ( ) = (6 5)e + 5( ≥ 0)，有 ′( ) = (6 + 1)e > 0，
可得函数 ( )单调递增，有 ( ) ≥ (0) = 0，
可得函数 ( )单调递增，有 ( ) ≥ (0) = 0(当且仅当 = 0 时取等号)，
5+6e > 11可得不等式 e 1 ( > 0)成立，由上知 5 1 + 6 2 > 11．
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