2024-2025学年河南省驻马店市高一下学期7月期末质量监测数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025学年河南省驻马店市高一下学期7月期末质量监测数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年河南省驻马店市高一下学期 7 月期末质量监测
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.tan2025 =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
2 1+ .1 的实部为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D.不存在
3.如图,平行四边形 的对角线相交于点 ,则与 共线的向量是( )
A. + B. C. + D. +
4 cos 2.已知 4 = 3,则 sin2 =( )
A. 19 B.
5
9 C.
5
9 D.
1
9
5.直线 //平面 , ∈ ,那么过 且平行于 的直线( )
A.只有一条,不在平面 内 B.有无数条,不一定在平面 内
C.只有一条,且在平面 内 D.有无数条,一定在平面 内
6 .将函数 = sin2 + 2cos2 的图象沿 轴向右平移6个单位后得到的图象关于原点对称,则实数 的值
为( )
A. 2 3 B. 2 3 2 33 C. 3 D. 2 3
7.已知 1 1 1 1为平行六面体, 为棱 1的中点,则
①过点 有且只有一条直线与直线 1 1和 都相交;
②过点 有且只有一个平面与直线 1 1和 都平行;
③过点 有无数条直线与直线 1 1和 都垂直;
④过点 与直线 1 1和 的夹角均为 60 的直线至少有两条.
其中正确的命题个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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8.已知向量 , , 满足 = 2 = 2, = 1, + 2 = 2,则 的最大值为( )
A. 2 7 B. 2 77 7 + 1 C. 1 D. 2
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9. 中,若 > ,则( )
A. sin > sin B. tan > tan C. cos2 < cos2 D. sin > cos
10.正三棱台 1 1 1中, = 2 1 = 2 1 1 = 4, 为棱 的中点,则( )
A. 11 ⊥ 1 B.直线 1与 夹角的余弦值为2
C. 4 6 14 2到平面 1 1的距离为 3 D.棱台 1 1 1的体积为 3
11 1.已知实数 2 2 2 21, 2, 1, 2满足: 1 + 1 = 1, 2 + 2 = 1, 1 2 + 1 2 = 2,则( )
A. 1 + 2 + 1 + 2 的最小值是 2
B. 1 2
3
2 1 = 2
C. 1 2 + 1 2 的取值范围是 1, 2
D.存在实数 20241, 2, 1, 2,使得 1 2 + 2 1 = 2025
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12.已知复数 = 1 3 , 为 的共轭复数,则 = .
13.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已知在阳马
中,侧棱 ⊥底面 , = = 2 = 2,则三棱锥 的外接球的表面积为 .
2 2 2
14. + 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且 2 cos + + cos + 2 cos = 0,则 + 2
的取值范围为 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

在平面直角坐标系中,已知角 的顶点为坐标原点,始边与 轴非负半轴重合,终边经过点 3, ,且 sin = 5.
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(1)求实数 及相应 cos 的值;
sin + +cos +5
(2)当 > 0 时,化简 2 并求值.sin 2 cos +3
16.(本小题 15 分)
平面直角坐标系中 轴、 轴正方向上的单位向量分别记为 , ,已知向量 = , = 2,1 .
(1)若 // ,求实数 的值;
(2)若 , 为锐角,求实数 的取值范围;
(3)当 = 3 时,求 在 方向上的投影向量的坐标.
17.(本小题 15 分)
已知 , , 分别为 三个内角 , , 的对边,且 cos + 3 sin = 0.
(1)求 ;
(2)若 = 4,且 的面积为 3,求 的外接圆半径.
18.(本小题 17 分)
如图,菱形 所在的平面与矩形 所在的平面相互垂直.
(1)证明:直线 //平面 ;
(2)若平面 ⊥平面 ,求 的值;
(3)在(2)条件下,求平面 与平面 夹角的余弦值.
19.(本小题 17 分)
已知函数 = sin + + ( > 0, > 0, < ) 5 5 12 的图象上两点 3 , 2 , 6 , 2 及部分图象如
下.
(1)求函数 的解析式;
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(2) 若 1, 2 ∈ 0, 2 ,且 1 = 2 = 3,求 cos 2 1 的值;
(3)将 = 的图象沿 轴向左平移6个单位,再沿 轴向下平移 1 个单位得到 = 的图象.试讨论关于
的方程 + 4 2 sin2 6 = 0 > 0
3
在区间 8 , 8 上解的个数.
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参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
12.4
13.9
14. 1 34 , 8
15. (1) 【详解】 根据三角函数的定义得 sin = = ,解得 = 0 或 =± 4,
32+ 2 5
当 = 0 时, 3,0 ,cos = 1,
当 =± 4 时,cos = 3 = 3 = 35.32+ 2 32+42
(2)由 > 0 可知 = 4,此时 sin = 4 35,cos = 5,
sin + +cos +52 sin +cos +
4
= = 2 sin sin sin 原式 5 4
sin cos cos +
= cos +cos = cos = 3 = 3.
2 cos +3 5
16.【详解】(1)由 = 得 = , 1 ,
由 // ,则 1 2 × 1 = 0,即 2 2 = 0,
解得 = 1 或 = 2;
(2)由 , 为锐角,则 > 0 且 , ≠ 0,
即 > 0 且 与 不同向共线,也即
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> 1解得 3且 ≠ 2;
(3)当 = 3 时, = 3, 1 , = 2, 2 ,


在 方向上的投影向量为 × = 2

且 = 3 × 2 + 1 × 2 = 8, = 32 + 1 2 = 10,
8 4
从而可得 = = ,
2 10 5
因此
4
在 方向上的投影向量为 2 = 5 =
12 4
5 , 5 .
17. 【详解】(1)由正弦定理sin = sin =

sin = 2 ( 为三角形外接圆半径),
则 cos + 3 sin = 0 可化为 sin cos + 3sin sin sin sin = 0,
又因 sin = sin + = sin cos + cos sin ,
则 3sin sin cos sin = sin , sin > 0,

也即 3sin cos = 2sin 6 = 1,0 < < ,
6 = 6, = 3;
(2) = 4 1由 及三角形面积 = 2 sin = 3,可得 = 1,
根据余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ,得 = 13,

又由正弦定理sin = 2 ( 为三角形外接圆半径),
则 = 13 392sin = 3 = 3 .
18.【详解】(1)因为四边形 为矩形,则 // ,
因为 平面 , 平面 ,所以 //平面 ,
又因为四边形 为菱形,则 // ,
因为 平面 , 平面 ,所以 //平面 ,
又因为 ∩ = ,且 , 平面 ,所以平面 //平面 ,
因为 平面 ,所以 //平面 .
(2)由菱形 所在的平面与矩形 所在的平面相互垂直,
且平面 ∩平面 = , ⊥ , ⊥ , , 平面 ,
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所以 ⊥面 , ⊥面 ,
因为 , 平面 ,所以 ⊥ , ⊥ ,
则 2 + 2 = 2, 2 + 2 = 2,
又由 = , = ,则 = .
同理可得: = .
取 中点为 ,记 ∩ = ,则 // 且 = ,
所以 ⊥ , ⊥ ,所以∠ 为二面角 的平面角,
1
因为平面 ⊥平面 ,则∠ = 90 ,且 = 2 ,所以 =
1
2 ,

可得 = 2.
(3)记面 ∩面 = ,
因为 // , 平面 ,所以 //平面 ,
且 平面 ,所以 // ,则 // // ,
因为 ⊥ , ⊥ ,从而 ⊥ , ⊥ ,
所以∠ 即为平面 与平面 所成的角,
在(2)条件下, = 2 = 2 ,所以 为等腰直角三角形,所以∠ = 45 ,
cos45 = 2 2可得 2 ,即平面 与平面 夹角的余弦值为 2 .
19.【详解】(1)由图可知 max = 4, min = 2,
1
因此 = 2 max min = 3, =
1
2 max + min = 1,
由 , 点在 = 3sin + + 1 图象上,
3sin 3 + + 1 =
5
2 3 + =
5
6 + 2 则
3sin 5
,由图解得 ∈ ,
6 + + 1 =
1 5
2 6 + =
11
6 + 2
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11 5
可得 = 6
6 2
5 = 2,得 = 2,则 + 3 =
5
6 + 2 ∈ ,
6 3

从而可得 = 6,综上 = 3sin 2 + 6 + 1.
(2)由 = 3sin 2 + 6 + 1,令 2 +

6 = 2 + ∈ ,解得 = 6 + 2 ∈ ,

则函数 的对称轴为直线 = 6 + 2 ∈ ,
由 1, ∈ 0,

2 2 ,且 1 = 2 = 3,
则 3sin 2 1 +

6 + 1 = 3

,且 1 + 2 = 2 × 6 = 3,
因此 2

1 = 3 2 1 = 2 2 1 +

6 ,
cos = cos 2 + = sin 2 + = 2从而 2 1 2 1 6 1 6 3.
(3) 根据题意得 = + 6 1 = 3sin 2 + 2 = 3cos2 ,
4 = 3cos 2 4 = 3sin2 ,
从而原方程可整理为 3 sin2 + cos2 6 sin2 cos2 6 = 0
不妨记 = sin2 + cos2 3 , ∈ 8 , 8 ,
则 = 2sin 2 + ∈ , 3 4 在 8 8 上单调,
且得到 ∈ 0, 2 , 2 = 1 2sin2 cos2
因此原方程等价于 2 1 2 = 0 即 2 = 0 在 ∈ 0, 2 内解的情况.
1 1
也即 = + , ∈ 0, 2 解的情况.
+ 1因为 ≥ 2,当且仅当 = 1 时等号成立,结合图像
因此:当 0 < 1 < 2
1
,即 > 2时,原方程无解;
1 1 1
当 = 1 时, + = 2 = , = 2时,原方程有唯一解;
2 1 3 2 2 1
当 ∈ 2 , 1 ∪ 1, 2 时, ∈ 2, 2 , ∈ 3 , 2 时,原方程有两个不等实根,
∈ 0, 2 1 ≥ 3 2 ∈ 0, 2当 2 时, 2 , 3 时,原方程只有一个不等实根,
2
综上所述:当 ∈ 0, 3 或 =
1
2时,原方程只有一个不等实根;
∈ 2 1 1当 3 , 2 ,原方程有两个不等实根;当 > 2时,原方程无解.
第 8页,共 9页
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