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2024-2025 学年四川省成都市郫都区高一下学期 7 月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 i = 1 2i，则 的虚部为( )
A. B. C. 1 D. 1
2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是 4 的立方体，将其分割成棱长为 1 的小立体，则两面是红色的
小立方体的个数为( )
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
3.已知 cos( + ) = 15 , cos( ) =
3
5，则 tan tan =( )
A. 1 12 B. 2 C. 2 D. 2
4.如图，在 中， 是边 上一点，且 = 2 ，点 是 的中点．设 = ， = ，则 可以表
示为( )
A. 1 + 1 B. 1 + 1 C. 12 6 6 2 2
1 1 1
6 D. 6 2
5 4π π.将函数 = cos 2 + 5 的图象上各点向右平移2个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸
长为原来的 4 倍，则所得到的图象的函数解析式是( )．
A. = 4cos 4 π5 B. = 4cos 4 +
π
5
C. = 4sin 4 + 4π5 D. = 4sin 4 +
4π
5
6.如图，圆 内接边长为 1 的正方形 , 是弧 (包括端点)上一点，则 的取值范围是( )
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A. 1, 4+ 2 B. 1, 2+ 24 2 C. 1,
1+ 2 2
2 D. 4 , 1
7.在三棱锥 中，底面 为斜边 = 2 2的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为
的中点．若 = 2， 为线段 上的一个动点，则 + 的最小值为( )
A. 6 + 2 B. 2 3 C. 2 3 + 1 D. 2 3 1
8 .锐角 的内角 , , 所对应的边分别为 , , ，若 2 = 2 + ，则 的取值范围是( )
A. (0,2) B. 2, 2 C. 2, 3 D. 3, 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的是( )
A. sin15ocos15o = 14 B. 2sin
222.5o 1 = 22
C. cos26ocos34o + sin26osin34o = 1 D. tan71° tan26°2 1+tan71°tan26° = 1
10.如图正方体 1 1 1 1的棱长为 1，则下列四个命题中正确的是( )
A.正方体被面 1 分割成两部分的体积比为 1: 5
B.点 到平面 1 1的距离为
2．
2
C.四面体 1 1的外接球体积为
3
2 π
D.二面角 1 的大小为 60°
11.已知 中角 , , 所对应的边分别为 , , ，下列命题正确的是( )
A.若 为锐角三角形，则 sin > cos
B.若 2tan = 2tan ，则 是等腰三角形
C.若 = cos cos ，则 为直角三角形
D. π若 = 2, = 3, = 6，则此三角形有两解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = 2， = 3， + = 19，则 与 的夹角为 ．
13.sin40 (tan10 3) = ．
14.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 是棱 的中点， 是侧棱 1上的动点，直线 1 交平面
于点 ′1 1 ，则动点 ′的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知函数 ( ) = sin2 cos2 + 2 3sin cos
(1)求 ( )的单调增区间和对称中心；
(2) π 2 5若 0 < < 3， ( ) = 5 ，求 cos2 的值．
16.(本小题 15 分)
如图是一个正四棱台 1 1 1 1的铁料，上、下底面的边长分别为 20 和 40 ，高 30 ．
(1)求四棱台 1 1 1 1的表面积；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 , , 的对边分别为 , , ，已知 sin = 2sin , 2 = 2 2 + 2．
(1)求 cos 的值；
(2)若 的面积为 7，求 的值；
(3) 1 1 14若角 的平分线交 于点 ，且 + = 4 ，求 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 为正方形， , 分别为 , 的中点，设
平面 ∩平面 = ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求证： // ；
(3)若 ⊥ ，二面角 的大小为 30°，求 与底面 所成角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
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π
如图，设 ∈ 0, π ，且 ≠ 2，当∠ = 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系．在 的斜坐标系中，任意
一点 的斜坐标这样定义：设 1， 2分别为 , 正方向同向的单位向量，若向量 = 1 + 2，记向量 =
( , ). π在 = 3的斜坐标系中．
(1)若向量 = (3,2)，求 ．
(2)已知向量 = 1, 1 ， = 2,
1
2 ，证明： = 1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ．
(3)若向量 ， 的斜坐标分别为 sin2 , 3cos2 和(1, 1)， ∈ ，设函数 ( ) = ， ( ) = e + e ，
( ) = ln , 0 < ≤ 2 ( 2), > 2．
①若 ( ) + ( π8 +
π
6 ) = 0, ∈ (0,2026)的从小到大依次为 1, , ，求 ．
π 5
②比较 (sin 4 1)与2的大小，并说明理由．(参考数据：e = 2.71828 ，ln2 = 0.69314 )
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.π3
13. 1
14.3 2 35 或5 2
15.解：(1)因为 ( ) = cos2 + 3sin2 = 2( 32 sin2
1
2 cos2 ) = 2sin 2
π
6 ，
π π π π π
由 2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，得 6 + π ≤ ≤ 3 + π, ∈ Z，
故 ( ) π π的单调增区间为 6 + π, 3 + π ∈ Z ．
π 1
由 2 6 = , ∈ Z，得 = 12 + 2 π, ∈ Z，
故 ( ) π 1的对称中心为 12 + 2 π, 0 ∈ Z；
(2)因为 ( ) = 2sin 2 π = 2 5 π 56 5 ，即 sin 2 6 = 5 ，
因为 0 < < π π < 2 π < π3，所以 6 6 2，
所以 cos 2 π = 2 56 5 ，
cos2 = cos 2 π + π π π所以 6 6 = cos 2 6 cos 6 sin 2
π π
6 sin 6
= 2 5 3 5 1 2 15 55 × 2 5 × 2 = 10 ．
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16.解：(1)在正四棱台 1 1 1 1中，分别取上、下底面的中心 1, ，连接 1 ，则 1 = 30，
分别取 1 1, 的中点 , ，连接 1 , , ，过 作 ⊥ 于 ，
因为在正四棱台 1 1 1 1中， 1 1 = 20, = 40， 1 = 30，
所以 = 1 = 30,
1 1
1 = 2 1 1 = 10, = 2 = 20，
在 中， = 2 + 2 = 302 + 102 = 10 10，
所以正四棱台的表面积为：
= 202 + 402 + 4 × 12 × (20 + 40) × 10 10 = 2000 + 1200 10(
2)；
(2)若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为
正四棱台的高，
则圆台 1 的上底面半径为 1 = 10cm，下底面半径为 2 = 20cm，高 1 = 30 ，
1
所以圆台 的体积为 = × × (102 + 2021 1 3 + 10 × 20) × 30 = 7000 (
3)，
1
因为正四棱台的体积为 = 3 × (20
2 + 402 + 202 × 402) × 30 = 28000( 3)，
所以削去部分的体积为 2 = 1 = 28000 7000 ( 3)，
28000 7000 4
所以削去部分与圆台的体积之比 7000 = ．
17.解：(1)由正弦定理及 sin = 2sin ，得 = 2 ，
因为 2 = 2 2 + 2，所以 2 = 2 2，所以 = 2 ，
2+ 2 2 3 2 3
所以由余弦定理，得 cos = 2 = 4 2 = 4．
(2)由 cos = 34 , ∈ (0, π)，所以 sin =
7
4 ，
1 7
由 的面积为 7，得 = 2 sin = 8 = 7，所以 = 8．
又 = 2 ，所以 = 4, = 2，
故 = 2 = 2 2．
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(3) cos = 3 1 2sin2 = 3因为 4，所以 2 4，
又 ∈ (0, π) ，所以2 ∈ 0,
π 2
2 ，所以 sin 2 = 4 ，
1 1 1 由 = + ，得2 sin = 2 sin 2 + 2 sin 2，
所以 7 = 2 ( + )，
所以 = 72 ×
= 14 1 + 2 × 1 1 = 2．
+
18.解：(1)因为底面 为正方形，所以 ⊥ ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又因为 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)取 的中点 ，连接 ， ，
因为点 , 分别为 , 的中点，
1
所以 // ，且 = 2 = ，
因为 // ，所以 // ，
所以四边形 为平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ．
又因为 平面 ，平面 ∩平面 =
所以 // ．
(3)因为 ⊥平面 ， 、 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ，
∠ 是二面角 的平面角，所以∠ = 30°，
设 = 2,则 = 1, = 3，连接 ， = 2 + 2 = 6，
因为 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，
平面 ∩平面 = ， 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，所以∠ 即为 与底面 所成角，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
所以 = 2 + 2 = 1+ 6 = 7，
1 7
所以在直角三角形 中，sin∠ = = 7 = 7 ．
7
所以 与底面 所成角的正弦值为 7 ．
19.解：(1)因为向量 = (3,2)，所以 = 3 1 + 2 2，
1
又因为 1 2 = 2 , 1
2 = 2
2 = 1，
2 2
所以 = 3 1 + 2 22 = 9 1 + 12 1 2 + 4
2
2 = 13 + 6 = 19，
所以 = 19；
(2)证明：因为向量 = 1, 1 , = 2, 2 ，
所以 = 1 1+ 1 2, = 2 1+ 2 2，
所以 = 1 1 + 1 2 2 1+ 2 2 = 1 2 1
2 + 1 2 + 2 1 1 2 + 1 2 2
2
1
化简得 = 1 2 + 1 2 + 2 1 2 + 2 1 ；
→ →
(3)由(2)得 ( ) = = sin2 3cos2 + 12 3cos2 sin2 ，化简得 ( ) = sin 2
π
3 ，
π + π = sin 2 π + π π π所以 8 6 8 6 3 = sin 4 ，
则方程 ( ) + π8 +
π π
6 = 0 的根等价于 ( ) = sin 4 的根，
π
如图所示，在 = sin 4 的一个周期内，方程根的个数为 3，
因为 2026 ÷ 8 = 253 2，
则当 ∈ (0,2026)，根的个数 = 253 × 3 + 1 = 760，
② sin π 54 1 < 2，理由如下：
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π
令 ( ) = ln + sin 4 , ∈ (0,2)
1 π
，则 2 = ln2 + sin 8，
sin π又因为 8 < sin
π
6 =
1 1 1 1 1
2 , ln2 = 2 ln4 > 2 lne = 2，所以 2 < 0，
又因为 (1) = 2 12 > 0，所以 2 (1) < 0
1
，由零点存在定理可得 1 ∈ 2 , 1 ，
由(1) π 1 1可知 sin ln ln 4 1 = ln 1 = e
1 + e 1 = + 1在 1 ∈1 2
, 1 上单调递减，
1
所以 + 1 ∈ 2,
5
2 ，即 sin
π 5 π 54 1 ∈ 2, 2 ，所以 sin 4 1 <1 2
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