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第十四章 全等三角形
14.1 全等三角形及其性质
基础提优题
1.下列图标中，不是由全等图形组合成的是( )
2.如图,若△ABC≌△CDA,且∠BAC=28°,∠D=132°,则∠ACB的度数是( )
A.18° B.20° C.28° D.30°
3.榫卯结构是我国古代建筑、家具及其他木制器械的主要结构方式.如图，将两块全等的木楔(△ABC≌△DEF)水平钉入长为10cm的长方形木条中(点B,C,F,E在同一条直线上).若CF=2cm,则BC的长为____________.
4.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(-3,0),(0,2),△OA'B'≌△AOB,若点A'在x轴的正半轴上，则位于第四象限的点B'的坐标是________.
5.如图,已知AD⊥BC于点D,△ABD≌△CFD,CF的延长线交AB于点E.
(1)求证:CE⊥AB;
(2)若BC=7,AD=5,求AF的长.
6.如图,A,D,E三点在同一条直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)求证:BD=CE+DE;
(2)当∠BAC满足什么条件时,BD∥CE 并说明理由.
综合应用题
7.如图,将△ABC绕点A旋转后得△AEF,则下列结论:①AC=AF;②∠FAC=∠EAB;③EF=BC;④∠EAB=∠EFB.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
8.一个三角形三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形三条边的长分别是.若这两个三角形全等,则的值为 ( )
A.7 B. C.8 D.或7
9.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是( )
A.150° B.160° C.180° D.200°
10.如图,△ABC≌△A'B'C,∠A'=40°,交边AB于P(点P不与点A,B重合),BO,CO分别平分∠CBA,∠BCP.若,则的值为( )
A.20 B.40 C.60 D.100
11.如图，△ABC的每条边长都为1cm,D,E分别是AB,AC上的点,将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点A′处,且点A'在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_____________cm.
12.如图①,数轴上从左至右依次有B,O,M,A,N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为0，4.如图②，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转90°，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转90°，连接BM，MN.若△OBM和△AMN全等,则点N表示的数为______________________.
13.如图,△ABC≌△ADE,BC的延长线交DA于点F,交DE于点G.
(1)过点C作CM⊥AB于点M,过点E作EN⊥AD于点N,求证:CM=EN;
(2)若∠AED=105°,∠CAD=16°,∠B=30°.
①△ADE可以经过图形的变换得到△ABC，请你描述这个变换；
②求∠BGD的度数.
创新拓展题
14.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3cm/s,设运动时间为t.
(1)当t=________s时,△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分；
(2)如图①,当t=__________s时,△APC的面积等于△ABC面积的一半；
(3)如图②,在△DEF中,∠E=90°,DE=4cm,DF=5cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.
参考答案
1.C 2.B 3.4 cm
4.(3,-2)【点拨】∵A(-3,0),B(0,2),∴OA=3,OB=又∵点B'位于第四象限，∴B'(3,-2).
5.(1)【证明】∵△ABD≌△CFD,∴∠BAD=∠FCD.
∵AD⊥BC,∴∠B+∠BAD=90°.∴∠B+∠BCE=90°.∴∠CEB=90°.∴CE⊥AB.
(2)【解】∵△ABD≌△CFD,∴AD=CD=5,BD=DF.
∵BC=7,∴BD=BC-CD=7-5=2.∴DF=2.∴AF=AD-DF=5-2=3.
6.(1)【证明】∵△BAD≌△ACE,∴BD=AE,AD=CE.∵AE=AD+DE,∴BD=AD+DE=CE+DE.
(2)【解】当∠BAC=90°时,BD∥CE.理由如下:
∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠CAE=90°.
∵△BAD≌△ACE,∴∠ABD=∠CAE,∠ADB=∠AEC,∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ADB=90°,∴∠BDE=90°,∠AEC=90°,
∴∠BDE=∠AEC,∴BD∥CE.
7.D
8.D【点拨】分两种情况讨论：解得
,解得∴.综上所述,的值是或7.
9.C【点拨】如图,由图形可得∵三个三角形全等,∴易知∠4+∠9+∠6=180°.又∵∠5+∠7+∠8=180°,∴∠1+∠2+的度数是180°.
10.B【点拨】∵△ABC≌△A'B'C,∴∠A=∠A',∠CBA=∠CB'A'.
∵∠A'=40°,∠CB'A'=60°,
∠CBA=180°-40°-60°=80°.
∵BO,CO分别平分
∠ACP.∴∠ACP=2∠BOC-220°.
∵P点在AB边上且不与A,B重合,∴,∴.故选B.
11.3【点拨】由折叠的性质,得AD=A'D,AE=A'E,∴阴影部分图形的周长=
或【点拨】依题意，知∵△OBM和△AMN全等,∠O=∠A=90°,∴分两种情况讨论:①若△OBM≌△AMN,则AN=OM=OA-AM,∴AN=4-,∴,点N表示的数是②若△OBM≌△ANM,则点N表示的数是综上所述，点N表示的数为或
13.(1)【证明】∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,S△ABC=S△ADE.
(2)【解】①∵△ABC≌△ADE,∠B=30°,∴∠D=∠B=30°.
∵∠AED=105°,∴∠DAE=180°-∠D-∠AED=45°.
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=45°+16°=61°.
∴将△ADE绕点A顺时针旋转61°可以得到△ABC.
②∵△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE.
由①得∠CAE=61°,∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD=∠CAE=61°,即∠BAD=61°.
在△DGF和△BAF中,∠D=∠B,∠DFG=∠BFA,∴∠BGD=∠BAD=61°.
14.【解】(1)6【点拨】∵BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,∴△ABC的周长=AC+BC+AB=36cm,∴△ABC的周长被线段AP平分为相等的两部分时，点P运动的路程为36÷2=18(cm).又∵点P的速度为3cm/s,∴运动时间t=18÷3=6(s).
(2)或【点拨】分两种情况讨论：如图①,当点P在BC上时,∵△APC的面积等干△ABC面积的一半，4.5cm,
如图②,当点P在AB上时,∵△APC的面积等于△ABC面积的一半,∴AP=BP=7.5cm,
综上所述，当t为时，△APC的面积等于△ABC面积的一半.
(3)设点Q的运动速度为xcm/s，分两种情况讨论：
如图③,当点P在AC上,点Q在AB上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,
∴4÷3=5÷x,解得
如图④,当点P在AB上,点Q在AC上,△APQ≌△DEF时,AP=DE=4cm,AQ=DF=5cm,
∴点P运动的路程为9+12+15-4=32(cm),点Q运动的路程为9+12+15-5=31(cm),
∴32÷3=31÷x,解得
综上，点Q的运动速度为或
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