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第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
第5课时 斜边及一条直角边证全等(HL)
基础提优题
1.如图,BF=CE,AE⊥BC,DF⊥BC,根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还要添加的条件是( )
A.∠A=∠D B.AB=DC C.∠B=∠C D.AE=DF
2.如图,AB⊥BC于点B,AD⊥DC于点D,若CB=CD,且∠1=30°,则∠ACD的度数是 ( )
A.90° B.60° C.30° D.45°
3.两个同样大小的直角三角尺按如图所示的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于点M，另一直角边BE,CD分别落在∠PAQ的边AP和AQ上,且AB=AC,作射线AM,则在说明AM为∠PAQ的平分线的过程中，证全等的依据是( )
A.SAS B.ASA C.HL D.SSS
4.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE之间的关系是( )
A.∠ABC=∠DFE B.∠ABC>∠DFE
C.∠ABC+∠DFE=100° D.∠ABC+∠DFE=90°
5.如图,∠A=∠D=90°,AB=DE,AC∥DF,BC=EF,求证:BC∥EF.
6.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,点D是EF上一点,AE⊥EF,CF⊥EF,垂足分别为点E,F,且AE=CF.求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
综合应用题
7.如图,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,BE与CD交于点O,连接AO,OB=OC，则图中全等的直角三角形共有( )
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
8.如图,在△ABC中,AB=BC,AB⊥BC,点B的坐标为(0,2),点C的坐标为(2,-2),则点A的坐标为( )
A.(-2,0) B.(-3,0) C.(-4,0) D.(-5,0)
9.如图,已知∠ADB=∠ACB=90°,AC=BD,AC，BD相交于点O，给出下列五个结论：①AD=BC;②∠DBC=∠CAD;③AO=BO;④AB∥CD;⑤DO=CO.
其中正确结论有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
10.如图,CA⊥AB,垂足为点A,AB=12cm,AC=6cm,射线BM⊥AB,垂足为点B,一动点E从点A出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着点E运动而运动，且始终保持ED=CB,当点E离开点A后,经过_______s时,△DEB与△BCA全等.
11.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,连接对角线AC,且AC=AD,点E在边BC上,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,若AB=AF.求证:
(1)∠DAC=∠FAB;
(2)DF=CE+EF.
创新拓展题
12.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接CE并延长交BD于点F.
(1)求证:△ACE≌△ABD.
(2)若∠BAC=∠DAE=49°,求∠BFC的度数.
(3)过点A作AH⊥BD于点H,请探究EF,DH，HF三条线段的数量关系，并给出证明.
参考答案
1.B 2.B
3.C【点拨】由题意得∠ABM=∠ACM=90°.
在Rt△ABM与Rt△ACM中,∴Rt△ABM≌Rt△ACM(HL),
∴∠BAM=∠CAM,∴AM是∠PAQ的平分线.
4.D
5.【证明】设BC与DF的交点为G.
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF.∴∠C=∠F.
∵AC∥DF,∴∠C=∠DGB.∴∠DGB=∠F.∴BC∥EF.
6.【证明】连接BD.
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL),∴AD=CD.
∵AE⊥EF,CF⊥EF,∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
7.B【点拨】∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠BDO=∠ADO=∠AEO=∠CEO=90°.
在△DOB和△EOC中,∴△DOB≌△AEO(AAS)，
∴OD＝OE,BD=CE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴AD=AE,∴易得AB=AC.
在Rt△ADC和Rt△AEB中,∴Rt△ADC≌Rt△AEB(HL).
∴共有3对全等的直角三角形.
8.C【点拨】如图,过点C作CM⊥y轴于点M.
∵B(0.2),C(2,-2),∴OB=CM=2,OM=2,∴BM=OB+OM=4.
在Rt△AOB和Rt△BMC中，∴Rt△AOB≌Rt△BMC,
∴AO=BM=4,∴A(-4,0).
9.D【点拨】∵在Rt△ADB和Rt△BCA中,AB=BA,AC=BD,∴Rt△ADB≌Rt△BCA(HL).∴AD=BC,故①正确;∵Rt△ADB≌Rt△BCA,∴∠DAB=∠CBA,∠DBA=∠CAB.∴∠DBC=∠CAD,故②正确;在△AOD和△BOC中,∠ADO=∠BCO,∠DOA=∠COB,AD=BC,∴△AOD≌△BOC(AAS).∴AO=BO,DO=CO,故③⑤正确;在△ACD和△BDC中,AC=BD,AD=BC,CD=DC,∴△ACD≌△BDC.∴∠ACD=∠BDC.∵∠CDO+∠DCO+∠COD=180°,∠ACD=∠BDC,∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∠ABD=∠BAC,∠COD=∠AOB.∴∠ACD=∠BAC,∴AB∥CD,故④正确.∴以上结论都正确.
10.3或9或12
11.【证明】(1)∵AF⊥DE,∴∠AFD=90°.
在Rt△AFD和Rt△ABC中,∴Rt△AFD≌Rt△ABC(HL).
∴∠DAF=∠CAB,∴∠DAF+∠CAF=∠CAB+∠CAF,即∠DAC=∠FAB.
(2)如图,连接AE,易知∠AFE=90°.
在Rt△AEF和Rt△AEB中,∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL),∴EF=BE.
∵Rt△AFD≌Rt△ABC,∴DF=BC.
∵BC=CE+BE=CE+EF,∴DF=CE+EF.
12.(1)【证明】∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE,即∠CAE=∠BAD.
在△ACE和△ABD中,∴△ACE≌△ABD(SAS).
(2)【解】∵△ACE≌△ABD,∴∠AEC=∠ADB,∴∠AEF+∠AEC=∠AEF+∠ADB=180°,∴易知∠DAE+∠DFE=180°.又∵∠BFC+∠DFE=180°,∴∠BFC=∠DAE=49°.
(3)【解】EF+DH=FH.证明:如图,连接AF,过点A作AJ⊥CF于点J.
∵△ACE≌△ABD,∴S△ACE=S△ABD,CE=
AH,∴AJ=AH.
在Rt△AFJ和Rt△AFH中,∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),∴FJ=FH.
在Rt△AJE和Rt△AHD中,∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),∴EJ=DH,
∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.
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