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第十四章 全等三角形
章末复习
【核心考点整合】
考点1 全等三角形的性质
1.如图,△ABC≌△A'BC',过点C作CD⊥BC',垂足为D,若则∠BCD的度数是( )
A.25° B.35° C.45° D.15°
2.如图,点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,4),若在y轴右侧有一点C使得△BOC与△BOA全等,则点C的坐标为____________.
考点2 全等三角形的判定
3.如图，已知△ABC，小慧同学利用尺规作出△A B C 与△ABC全等,根据作图痕迹请判断小慧同学的全等判定依据是( )
A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA
4.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E.
求证:△CEB≌△ADC.
考点3 全等三角形的判定与性质的综合应用
5.如图,点A,C,B,D在同一条直线上,BE∥DF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°,∠A=80°,则∠DBE的度数为( )
A.110° B.100° C.80° D.70°
6.如图,AB∥CD,BC∥AD,BE=DF,图中全等的三角形的对数是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
考点4 角平分线的性质
7.如图,在△ABC中,以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点G，交AC于点H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径作弧，两弧交于点O；连接AO并延长交BC于点D.点P是AD上的一点,过点P分别作PE∥AB,PF∥AC,分别交BC于点E,F,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,交PE于点K,PF于点L.下列线段的数量关系正确的是( )
A.DE=DF B.PE=PF C.DM=2DL D.MK=NL
8.如图,在△ABC中,AB=5,AC=8,E为BC中点,AD为△ABC的角平分线,△ABC的面积记为S ,△ADE的面积记为S ,则为( )
A.13 B. C. D.
考点5 角平分线的判定
9.如图，有一块三角形空地，若想在该空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点.(保留画图痕迹，不写作法)
10.在△ABC中,∠BAC=120°,BE,CF是△ABC的角平分线,它们相交于点I.
(1)如图①,连接AI,求证:点I在∠BAC的平分线上；
(2)如图②,延长AI交BC于点D,过点F作FT⊥BC于点T,FL⊥AD于点L.求证:FT=FL.
【思想方法整合】
思想1 建模思想
11.新考法项目式学习如图，课外拓展活动上，老师带领社团成员在不涉水的情况下测量校内一条小河的宽度(该段河流两岸互相平行)，具体操作过程如表：
序号 操作过程
① 在河流一岸B点，选对岸正对的一棵树A为参照点，使AB⊥河岸
② 沿河岸向左走6m有一棵树O，继续向左走6m到达D处(BO=DO)
③ 从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被O树遮挡住的C处时停止行走(A，O，C三点共线)
④ 测得CD的长为7.5m
请根据上述过程，解答下列问题：
(1)河流AB的宽度为m;
(2)请你根据所学知识，解释该做法的合理性.
思想2 分类讨论思想
12.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8.点P从点A出发沿A—C—B路径向终点B运动；点Q从点B出发沿B-C-A路径向终点A运动.点P和Q分别以每秒1个单位长度和每秒3个单位长度的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于点E,QF⊥l于点F.问:点P运动多少时间时,△PEC与△QFC全等
参考答案
1.A【点拨】∵△ABC≌△A'BC',∴∠ABC=∠A'BC',∠ABA'=65°.∵CD⊥BC',∴∠BDC=90°,∴∠BCD=
2.(2,0)或(2,4)【点拨】∵点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(0,4),∴OA=2,OB=4.由题易知,存在两种情况:如图①,若△BOC≌△BOA,则OC=OA=2,∴点C的坐标为(2,0);如图②,若△OBC≌△BOA,则∠OBC=∠AOB=90°,BC=OA=2,∴点C的坐标为(2,4).综上所述,点C的坐标是(2,0)或(2,4).
3.B
4.【证明】∵AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠CEB=∠ADC=90°.∴∠DCA+∠DAC=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠DCA+∠ECB=90°.∴∠ECB=∠DAC.
又∵AC=BC,∴△CEB≌△ADC(AAS).
5.A【点拨】∵BE∥DF,∴∠D=∠EBA.在△BAE和△DFC中,(∴△BAE≌△DFC(ASA),∴∠E=∠FCD=30°,∴∠DBE=∠A+∠E=110°.
6.C【点拨】∵AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.∵BD=DB,∴△ABD≌△CDB(ASA);∵△ABD≌△CDB,∴AD=BC,AB=CD.∵∠ABE=∠CDF,BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS);∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵BE=DF,∴BE+EF=DF+EF,∴BF=DE.又∵AD=CB,∴△ADE≌△CBF(SSS);∵AB=CD,∠ABF=∠CDE,BF=DE,∴△ABF≌△CDE(SAS);∵AF=CE,AD=CB,DF=BE,∴△ADF≌△CBE(SSS);∵AE=CF,EF=FE,AF=CE,∴△AEF≌△CFE(SSS),∴图中共有6对全等三角形.
7.D【点拨】根据作图可知AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴DM=DN.∵PE∥AB,PF∥AC,∴∠EPD=∠BAD,∠FPD=∠CAD,∴∠EPD=∠FPD.∵PE∥AB,DM⊥AB,∴DM⊥PE.同理DN⊥PF,∴DK=DL,∴DM-DK=DN-DL,即MK=NL,故选项D正确;当L为DN中点时,DM=DN=2DL,故选项C错误;无法证明DE=DF,PE=PF,故选项A,B错误,故选D.
8.B【点拨】如图,过点D作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,
∵AD为△ABC的角平分线,∴DM=DN.S△ACD=AC·DN,
∴S△ABD:S△ACD=AB:AC=5:8,
∵E是BC中点,∴S△ABE=
9.【解】如图，点P即为所求点.
10.【证明】(1)如图①,过点I作AB,AC,BC的垂线段,垂足分别为M,N,K,
∵BE,CF是△ABC的角平分线,∴IK=IM,IK=IN,∴IN=IM,∴点I在∠BAC的角平分线上.
(2)如图②,过点F作FG⊥CA交CA的延长线于点G,
∵CF是△ABC的角平分线,FT⊥BC,∴FT=FG.
∵∠BAC=120°,∴∠GAF=180°-∠BAC=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠GAF,∴AF是∠GAL的平分线,
∴FL=FG,∴FT=FL.
11.【解】(1)7.5
(2)由操作过程知AB⊥BD,CD⊥BD,BO=DO,∴∠ABO=∠CDO=90°.
在△ABO和△CDO中.∴△ABO≌△CDO(ASA),∴AB=CD=7.5m.
12.【解】设运动时间为ts.由题意易得当△PEC与△QFC全等时,斜边CP=CQ.
有三种情况:①点P在AC上,点Q在BC上,此时CP=6-t,CQ=8-3t,∴6-t=8-3t.
∴t=1;
②点P,Q都在AC上,易知此时点P,Q重合,CP=6-t,CQ=3t-8,∴6-t=3t-8.
∴t=3.5;
③点Q在AC上,点P在BC上.∵点P运动到点C需要6÷1=6(s),点Q运动到点A需要∴点P在BC上时,点Q与点A重合.
故此时CQ=6,CP=t-6.∴6=t-6.∴t=12.
综上,点P运动1s或3.5s或12s时,△PEC与△QFC全等.
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