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第十四章 全等三角形
专题 构造全等三角形的常用方法
类型1 连“公共边”法
1.如图，一个风筝的形状是四边形ABCD，其中AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD的中点E,F处挂两根彩线EC,FC.证明:EC=FC.
类型2 延长法
2.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上的一点,且AE垂直于BD交BD的延长线于点E，证明:BD是∠ABC的平分线.
类型3 作垂线法
3.如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,过点D作DE⊥AC交BC于点E.若DE=BC,AC=4,S△CDE=6,求CE的长.
类型4 倍长中线法
4.如图,AD是△ABC的中线,点E在BC的延长线上,CE=AB,∠BAC=∠BCA,证明:AE=2AD.
类型5 截长补短法
5.如图,已知AC∥BD,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E.证明:AB=AC+BD.
参考答案
1.【证明】如图,连接AC.
在△ABC和△ADC中,∴△ABC≌△ADC(SSS).∴∠EAC=∠FAC.
∵E,F分别是AB,AD的中点,AB=AD,∴AE=AF.
在△AEC和△AFC中,∴△AEC≌△AFC(SAS).∴EC=FC.
2.【证明】延长AE,BC交于点F.
∵∠ACB=90°,AE⊥BE,∴∠BCD=∠AEB=∠FEB=∠ACF=90°.
又∵∠CDB=∠ADE,∴易得∠CBD=∠CAE.
又∵BC=AC,∴△BCD≌△ACF.∴BD=AF.
又∵
又∵∠AEB=∠FEB=90°,BE=BE,∴△BAE≌△BFE.
∴∠ABE=∠FBE,即BD是∠ABC的平分线.
3.【解】过点D作DH⊥BC于点H,则∠EHD=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠EHD.
∵AB⊥AC,DE⊥AC,∴AB∥DE.∴∠B=∠DEH.
在△ABC和△HED中,∴△ABC≌△HED(AAS).∴AC=HD=4.
∵S△CDE=6,∴CE·HD=6×2.∴CE=3.
4.【证明】如图,延长AD至点M,使DM=AD,连接CM.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.
又∵∠ADB=∠MDC,AD=DM,∴△ABD≌△MCD(SAS).
∴AB=MC,∠B=∠MCD.
∵AB=CE,∴CM=CE.
∵∠BAC=∠BCA,∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD=∠ACM.
∵∠ACE=∠B+∠BAC,∴∠ACM=∠ACE.
又∵AC=AC,CM=CE,∴△ACM≌△ACE(SAS).∴AM=AE.
∵AM=2AD,∴AE=2AD.
5.【证明】如图,延长AE,BD交于点G.
∵AC∥BD,∴∠CAE=∠G.
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠EAB.∴∠EAB=∠G.
∵BE平分∠ABG,∴∠EBA=∠EBG.
又∵BE=BE,∴△EBA≌△EBG.∴AB=BG,AE=EG.
在△ACE和△GDE中,∴△ACE≌△GDE(ASA).∴AC=DG.
∵BG=DG+BD=AC+BD,∴AB=AC+BD.
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