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第十四章 全等三角形
14.3 角的平分线
第2课时 角的平分线的判定
基础提优题
1.在正方形网格中，∠ACB的位置如图所示，则到∠ACB两边距离相等的点是 ( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
2.小王同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线，如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小王说：“射线OP就是∠BOA的平分线”.这样做的依据是( )
A.平行线之间的距离处处相等
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
3.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠C=60°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N.若OM=ON,则∠BOM的度数是____________.
4.如图，点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等,OD⊥BC于点D,OD=3,△ABC的周长是36,则△ABC的面积为_____________.
5.如图，在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等.(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程)
6.如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD是△ABC的角平分线.
综合应用题
7.如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
8.如图,在△ABC中,AB9.如图,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,且B,O,C在一条直线上,∠AOB=∠COD,连接AC,BD交于点M,连接OM.求证：点O在∠CMB的平分线上.
10.如图,∠B=∠C=90°,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:AE是∠DAB的平分线;
(2)已知AE=4,DE=3,求四边形ABCD的面积.
创新拓展题
11.【问题提出】
(1)如图①,点N在BC的延长线上,∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，求证：∠BAC=2∠D;
【拓展探究】
(2)如图②,点N在BC的延长线上,∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.连接AD,求证:AD平分∠CAM;
【学以致用】
(3)如图③,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,2∠ACD+∠ACB=180°,若∠BDC=20°,求∠DAC的度数.
参考答案
1.A 2.D
3.75°【点拨】∵∠A=90°,∠C=60°,∴∠ABC=30°.∵ON⊥BC,OM⊥AB,OM=ON,∴BO是∠ABC的平分线.∴∠ABO=∠ABC=15°.∴∠BOM=90°－∠ABO=75°.
4.54【点拨】∵点O在△ABC的内部，且到三边的距离相等，∴点O为△ABC的三条角平分线的交点.如图,过点O作OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,则OE=OF=OD=3.
∵△ABC的周长为36,∴AB+BC+AC=36.36×3=54.
5.【解】如图，点P即为所作.
6.【证明】∵D是BC的中点,∴BD=DC.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴DE=DF.
∴AD平分∠BAC,∴AD是△ABC的角平分线.
7.D 8.①③④
9.【解】∵∠AOB=∠COD,∴∠AOB+∠AOD=∠COD+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.
在△AOC和△BOD中,∴∠OCA=∠ODB.
如图,过点O分别作OG⊥MC于点G,OH⊥MB于点H,则∠OGC=∠OHD=90°.
在△OCG和△ODH中,∴△OCG≌△ODH(AAS),∴OG=OH,
∴MO平分∠CMB,∴点O在∠CMB的平分线上.
10.(1)【证明】如图,过点E作EF⊥AD于点F,
∵∠C=90°,DE平分∠ADC,∴CE=EF.
∵点E是BC的中点,∴BE=CE,∴BE=EF.
又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE平分∠DAB.
(2)【解】∵CE=EF,ED=ED,∠EFD=∠C=90°,
∴Rt△EDF≌Rt△EDC(HL),
∵EF=EB,AE=AE,∠AFE=∠B=90°,∴Rt△EAF≌Rt△EAB(HL),
即∠AED=90°.
4=12.
11.(1)【证明】∵∠ABC的平分线与∠ACN的平分线交于点D,∠DCN=∠ACN.∵∠ACN=∠BAC+∠ABC,∠DCN=∠D+∠CBD,
∴∠BAC+∠ABC=2∠D+2∠CBD,∴∠BAC=2∠D.
(2)【证明】如图①,过点D作DP⊥BM于点P,DQ⊥AC于点Q，
∵DE⊥BC,BD平分∠ABC,CD平分∠ACN,
∴DP=DE,DQ=DE,∴DP=DQ,∴AD平分∠CAM.
(3)【解】如图②,过点D分别作DP⊥BA交BA的延长线于点P,DQ⊥AC于点Q,DE⊥BC交BC的延长线于点E.
∵2∠ACD+∠ACB=180°,∠ACB+∠ACE=180°,∴∠ACE=2∠ACD,∴CD平分∠ACE.
又∵BD平分∠ABC,∴由(1)得∠BAC=2∠BDC=40°.
由(2)得AD平分∠CAP,
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