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第十四章 全等三角形
专题 全等三角形中的动点问题
类型1 以U型框为背景的动点问题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点D在边AC上,且AD=6cm,过点A作射线AE⊥AC(AE与BC在AC同侧),若动点P从点A出发,沿射线AE匀速运动，运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为ts.连接PD,BD.
(1)如图①,求证:当PD⊥BD时,△PDA≌
(2)如图②,当PD⊥AB,求此时t的值.
类型2 以三角形为背景的动点问题
2.如图,AE与BD相交于点C,AB∥DE,AC=EC,AB=12cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动,点Q从点D出发,沿D→E方向以1cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts.
(1)求证:BC=DC;
(2)请直接写出线段AP的长(用含t的式子表示)；
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时,求t的值.
类型3 以四边形为背景的动点问题
3.如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为ts,当t的值为多少时,△ABP和△DCE全等
4.如图，已知四边形ABCD中，AB=10cm,BC=8cm,CD=12cm,∠B=∠C,点E为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后,△BPE与△CQP是否全等 请说明理由.
(2)当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等
参考答案
(1证明】∵∠C=90°,AE⊥AC,PD⊥BD,∴∠PAD=∠PDB=∠C=90°,
∴∠ADP+∠CDB=∠CBD+∠CDB=90°,∴∠ADP=∠CBD.
∵BC=6cm,AD=6cm,∴AD=BC.
在△PDA和△DBC中∴△PDA≌△DBC(ASA).
(2)【解】∵PD⊥AB,∠PAD=90°,∴∠PAB+∠APD=∠PAB+∠CAB=90°,
∴∠APD=∠CAB.
在△APD和△CAB中,∴△APD≌△CAB(AAS),
∴AP=AC=8cm,∴t=8÷1=8.
2.(1)【证明】∵AB∥DE,∴∠A=∠E,∠B=∠D.又∵AC=EC,∴△ABC≌△EDC(AAS),∴BC=DC.
(2)【解】当0≤t≤4时,AP=3tcm;当4【点拨】∵AB=12cm,点P从点A出发,沿A→B→A方向以3cm/s的速度运动,∴当点P运动到点B时所用的时间为12÷3=4(s),∴当0≤t≤4时,AP=3tcm;当4(3)【解】由题知DQ=tcm.如图,由(1)得∠A=∠E,△ABC≌△EDC,
∴ED=AB=12cm.∴EQ=DE-DQ=(12-t)cm.
在△ACP和△ECQ中,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ.
当0≤t≤4时,3t=12-t,解得t=3;
当4综上所述，当线段PQ经过点C时，t的值为3或6.
3.【解】由题意得,当点P在线段BC上时,BP=2t,
∵四边形ABCD为长方形，∴CD=AB=4,BC=AD=6,∠B=∠DCB=90°,
∴∠DCE=90°=∠B.此时有△ABP≌△DCE,
∴BP=CE,∴2t=2,解得t=1;
当点P在线段AD上时,∠BAP=∠DCE=90°,AP=16-2t,此时有△ABP≌△CDE,
∴AP=CE,∴16-2t=2,解得t=7.
综上,当t的值为1或7时,△ABP和△DCE全等.
4.【解】(1)△BPE与△CQP全等.理由如下:运动1s后,BP=CQ=3cm,
∴PC=BC-BP=8-3=5(cm).
∵E为AB的中点,且AB=10cm,∴BE=5cm,∴BE=PC.
在△BPE和△CQP中,∴△BPE≌△CQP(SAS).
(2)∵∠B=∠C,△BPE与△CQP全等,∴分两种情况:
△BEP≌△CQP或△BEP≌△CPQ.设运动时间为ts,则BP=3tcm,∴CP=(8-3t)cm.
当△BEP≌△CQP时,则BP=CP,CQ=BE=5cm,∴3t=8-3t,解得
∴点Q的运动速度
当△BEP≌△CPQ时,由(1)可知t=1,∴CQ=BP=3cm,
∴点Q的运动速度=3÷1=3(cm/s).
综上，当点Q的运动速度为或3cm/s时,△BPE与△CQP全等.
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