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第十四章 全等三角形
专题 三角形全等基本模型
模型1 平移模型
模型解读：把△ABC沿着某一条直线l平移，所得到的△DEF与△ABC全等.
基本模型 常见模型
1.如图,在△ABC与△DEF中,BE=CF,有下列三个条件:①AB=DE,②AC=DF,③∠ABC=∠DEF.请你在上述三个条件中选择两个作为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法).
(1)你选的条件为__________和_________，结论为_________________;
(2)证明你的结论.
模型2 对称模型
模型解读：将两个三角形沿着某一条直线折叠后，直线两边的三角形能够完全重合，这两个三角形称为对称型全等三角形，此类图形中要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.
基本模型 常见模型
2.如图,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥DC,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)连接BD交AC于点E,求证:AC⊥BD.
3.如图,在△ABC与△DCB中,AC与BD交于点E,且∠A=∠D=90°,AB=DC.求证:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)BE=CE.
模型3 手拉手模型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型全等三角形.识别旋转型全等三角形时，涉及对顶角相等、等角加(减)公共角相等等条件.
基本模型 常见模型
4.如图,点D在BC上,AB=AD,∠BAD=∠CAE.
(1)添加条件：______________________(只需写出一个)，使△ABC≌△ADE;
(2)根据你添加的条件，写出证明过程.
5.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,点B,D,E在同一条直线上,BD=CE,且∠BAC=52°.
(1)求证:△ABD≌△ACE;
(2)求∠BEC的度数.
模型4 半角模型
模型解读：半角模型中的重要元素：(1)半角；(2)邻边相等.半角模型中经常通过旋转将分散的条件集中起来，进而通过证明两三角形全等进行解题，半角模型求解中一般涉及两次全等证明，一次旋转型全等，一次对称型全等.
正方形含半角 等腰直角三角形含半角
等边三角形含半角(∠ACB=60°)
6.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠ACB=45°,D,E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,若BD=3,CE=4,S△ADE=15,求△ABD与△AEC的面积之和.
7.【尝试探究】
(1)如图①，已知在正方形ABCD中(四边相等，四个内角均为90°),点E,F分别在边BC,DC上运动,当∠EAF=45°时,探究DF,BE和EF的数量关系，并加以证明；
【模型建立】
(2)如图②，若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且∠B=∠D=90°,点E,F分别在边BC,DC上运动,且连接EF.试猜想(1)中的结论还成立吗 请加以说明；
【拓展应用】
(3)如图③，已知△ABC是边长为8的等边三角形(三边相等,三个内角均为60°),BD=CD,∠BDC=120°,∠DBC=∠BCD=30°,以D为顶点作一个60°角，使其角的两边分别交边AB,AC于点E,F,连接EF,直接写出△AEF的周长.
模型5 一线三等角模型
模型解读：三个相等的角在同一直线上，称为一线三等角模型(若相等的角为直角则可称为一线三垂直模型)，利用三等角关系可找到三角形全等所需的角相等的条件(如∠1=∠2).
锐角一线三等角 钝角一线三等角 一线三垂直
8.(1)如图①，直线m经过等腰直角三角形ABC的直角顶点A,过点B,C分别作
BD⊥m,CE⊥m,垂足分别是D,E.求证:BD+CE=DE;
(2)如图②,直线m经过△ABC的顶点A,AB=AC,在直线m上取两点D,E,使∠ADB=∠AEC=α,补充∠BAC=_____________(用含α的代数式表示),线段BD,CE与DE之间满足BD+CE=DE,补充条件后并证明;
(3)在(2)的条件中，将直线m绕着点A逆时针方向旋转一个角度到如图③的位置，并改变条件∠ADB=∠AEC=____________(用含α的代数式表示).通过观察或测量，猜想线段BD，CE与DE之间满足的数量关系，并予以证明.
参考答案
1.(1)①;②;③(答案不唯一)
(2)【证明】∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE,即BC=EF.
又∵AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.∴∠ABC=∠DEF.
2.【证明】(1)∵AB⊥BC,AD⊥DC,∴∠ABC=∠ADC=90°.
在Rt△ABC和Rt△ADC中,∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).
(2)∵Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠BAC=∠DAC.
又∵AB=AD,AE=AE,∴△ABE≌△ADE,∴∠AEB=∠AED.
∵∠AEB+∠AED=180°,∴∠AEB=∠AED=90°.∴AC⊥BD.
3.【证明】(1)在Rt△ABC和Rt△DCB中,
(2)在△ABE和△DCE中.∴△ABE≌△DCE(AAS).∴BE=CE.
4.(1)AC=AE(答案不唯一)
(2)【证明】∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.
又∵AB=AD,AC=AE,∴△ABC≌△ADE(SAS).
5.(1)【证明】在△ABD和△ACE中,AB=AC,AD=AE,BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
(2)【解】∵△ABD≌△ACE,∴∠ABD=∠ACE.
设AC与BE的交点为F,
在△ABF和△ECF中,∠ABF=∠ACE,∠AFB=∠EFC,∴∠BAF=∠FEC.
∵∠BAF=52°,∴∠BEC=52°.
6.【解】由题知AB=AC,∠BAC=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF,如图,连接EF,
则AD=AF,∠BAD=∠CAF,∠ABD=∠ACF=45°,CF=BD=3,△ABD≌△ACF,∴S△ABD=S△ACF.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,∴∠BAD+∠CAE=45°.
∴∠CAE+∠CAF=45°,即∠FAE=45°.
在△ADE和△AFE中,∴△ADE≌△AFE(SAS).
∴S△ADE=S△AFE.∴S△AFE=15.
∵∠ECF=∠ACB+∠ACF=90°,即△CEF是直角三角形.
∴,+6=21,
即△ABD与△AEC的面积之和为21.
7.【解】(1)DF+BE=EF.
证明:如图①,把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG,可使AB与AD重合,易知AF=AG,DF=BG.∵∠ABC=∠D=90°,∴∠EBG=180°,点E,B,G共线,易知∠FAD=∠GAB,∴∠EAG=∠BAE+∠GAB=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF=45°,∴∠EAF=∠EAG.
在△AEF和△AEG中,
∴△AEF≌△AEG(SAS),∴EF=EG.
∵EG=EB+BG=EB+DF,∴DF+BE=EF.
(2)成立.
如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数,此时,AD与AB重合,
由旋转,得BG=DF,∠1=∠2,AG=AF,∠ABG=∠D=90°,同(1)可得点G,B,E在同一条直线上.
∵∠EAF=∠BAD,∴∠BAE+∠FAD=
又∵AG=AF,AE=AE,∴△GAE≌△FAE(SAS),∴EG=EF.
∵EG=BG+BE=DF+BE,∴DF+BE=EF.∴(1)中的结论还成立.
(3)△AEF的周长为16.【点拨】∵△ABC是边长为8的等边三角形,∴AB=AC=8,∠ABC=∠ACB=60°.∵∠DBC=∠BCD=30°,∴∠ABD=∠ACD=90°.由题知BD=CD,∠BDC=120°,将△DCF绕点D逆时针旋转120°,得到△DBG,如图③,此时CD和DB重合,∠DBG=∠DCF=90°,BG=CF,DG=DF,∴∠EBG=∠EBD+∠GBD=180°,∴E,B,G三点共线,同(2)可得△GDE≌△FDE,∴EF=EG=BE+BG,∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+BG=AE+AF+BE+CF=AB+AC=16.
8.(1)【证明】∵BD⊥m,CE⊥m,∴∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠DBA+∠DAB=90°,∠ECA+∠EAC=90°.
∵∠BAC=90°,∠DAB+∠EAC=90°,∴∠DAB=∠ECA.
又∵∠ADB=∠CEA,AB=BC,∴△ADB≌△CEA(AAS).∴BD=AE,DA=EC.
∴DE=DA+AE=EC+BD,即BD+CE=DE.
(2)【解】α
证明:∵D,A,E三点共线,且∠ADB=∠BAC=∠CEA=α,
=180°-α,∴∠DAB=∠ECA.
又∵∠ADB=∠CEA,AB=AC,∴△ADB≌△CEA.∴AD=CE,BD=AE.
∵DE=AD+AE,∴BD+CE=DE.
(3)【解】180°-α
数量关系为DE=CE-BD.
证明:∵∠ADB=∠AEC=180°-α,∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=α,∠BAD+∠EAC=α,∴∠ABD=∠CAE.
又∵AB=AC,∴△BAD≌△ACE,
∴AD=CE,BD=AE,∴DE=AD-AE=EC-BD.
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