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阶段性测试题
角的平分线的性质和判定
[时间:45分钟 分值:100分]
一、选择题(每题6分，共36分)
1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是( )
A.2.5 B.10 C.5 D.4
2.如图，在直角坐标系的x轴负半轴和y轴正半轴上分别截取OA,OB,使OA=OB,再分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N，若点N的坐标为,则n的值是( )
A.2 B. C.3 D.4
3.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分∠ABC,则△BCD的面积为( )
A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定
4.如图,BM是∠ABC的平分线,点Q,D分别在BA,BM上,点P为直线BC上的一个动点,如果BQ=6,△BDQ的面积为9,那么线段DP的长不可能是( )
A.2 B.3 C.4 D.5.5
5.如图①，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图②是其侧面结构示意图.现量得托板长AB=16cm，支撑板顶端C恰好是托板AB的中点，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的距离是( )
A.3cm B.5cm C.6cm D.8cm
6.如图,AE,BD是△ABC的角平分线,AE,BD交于点O,OF⊥AB,∠C=60°,以下结论错误的是( )
A.∠AOB=120° B.OD=OE
C.AD+BE=AB D.若△ABC的周长为m,OF=n,则S△ABC=mn
二、填空题(每题6分，共24分)
7.如图,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,且DE=DF,若∠DBC=50°,则∠AB______°.
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧,分别交AC,AB于点M,N;②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O;③作射线AO,交BC于点D.若点D到AB的距离为1,则CD的长为___________.
9.如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD至E,使AD=DE,连接BE,△BDE的面积为10,△ABC的面积是13，则的值为___________.
10.如图,∠BAC的平分线AD与BC的垂直平分线DG相交于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,AB=11,AC=5,则BE的长为____________.
三、解答题(共40分)
11.(10分)如图所示，为促进全民健身活动开展，某镇计划在张村与李村之间建一个娱乐健身场所.张村、李村坐落在两条相交的公路内，健身场所到两条公路的距离相等，并且到两村的距离之和最短，请你通过作图确定健身场所的位置.
12.(14分)如图,在△ABC中,已知∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,点F在AC上,且BD=DF.
(1)求证:Rt△FCD≌Rt△BED;
(2)请判断AE，AF与BE之间的数量关系，并说明理由.
13.(16分)【问题提出】
如果一个四边形的四条角平分线交于一点，那么这个四边形会具有怎样的性质
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠BAD,∠ABC,∠ADC的平分线相交于点O.
求证：①点O在∠BCD的平分线上.
②AB+CD=AD+BC.
【逆向思考】
满足什么条件的四边形的四条角平分线交于一点
(2)如图②,在四边形ABCD中,如果AB+CD=AD+BC，那么它的四条角平分线交于一点吗 请说明理由.
参考答案
一、1.C 2.D 3.B
4.A【点拨】如图,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,
∵BQ=6,△BDQ的面积为9,×6DE=9,∴DE=3.∵BM是∠ABC的平分线,∴DF=DE=3,∴DP≥3,∴线段DP的长不可能是2.
5.D【点拨】过点B作BF⊥DE,垂足为F,∵C是AB的中点，BF⊥DE,射线DB是∠CDE的平分线,∴BF=BC=8cm,即此时点B到直线DE的距离是8cm.
6.D【点拨】∵∠C=60°,∴∠CAB+∠CBA=180°-∠A=120°.
∵AE,BD是△ABC的角平分线,
∴∠OAB=
∴∠AOB=180°(∠OAB+∠OBA)=180° 故A选项正确；
如图，在AB上截取AM=AD,连接OM,
在△AOD和△AOM中，,∴△AOD≌△AOM,
∴OM=OD,∠AOM=∠AOD=180°-∠AOB=60°,∴∠BOM=∠BOE=60°.
在△BOE和△BOM中,∴△BOE≌△BOM,∴OM=OE,BE=BM,
∴OD=OE,AB=AM+BM=AD+BE,故B选项和C选项正确；
如图，连接OC，过点O作OG⊥AC于点G,OH⊥BC于点H,则OF=OG=OH.
∵△ABC的周长为m,∴AB+AC+BC=m.
又∵OF=n,S△ABC=S△AOC+
故D选项错误.
二、7.100 8.1
9.【点拨】如图,过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G,作DH⊥AB于点H,
∵AD=DE,△BDE的面积为10,∴S△BDE=S△ABD=10,∴AB·DH=10.∵△ABC的面积是13,∴△ACD的面积是AC·DG=13-10=3.∵AD是∠BAC的平分线,DH⊥AB,DG⊥AC,∴DH=
10.3【点拨】如图,连接CD,BD,∵AD平分∠BAE,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.
在Rt△ADF和Rt△ADE中，AD=FDE,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴AE=AF.∵DG垂直平分BC,∴易证得△CDG≌△BDG,∴CD=BD.
在Rt△CDF和Rt△BDE中,CDF=BD,∴Rt△CDF≌Rt△BDE(HL),∴BE=CF.∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE.∵AB=11,AC=5,∴BE=3.
三、11.【解】如图,连接EF,作∠ACB的平分线交EF于点O，则点O就是健身场所的位置.
12.(1)【证明】∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE.
在Rt△FCD和Rt△BED中,∴Rt△FCD≌Rt△BED(HL).
(2)【解】AE=AF+BE.理由如下:在Rt△ACD和Rt△AED中,∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE.由(1)可得Rt△FCD≌Rt△BED,∴CF=BE.∵AC=AF+CF,∴AE=AF+BE.
13.(1)【证明】①如图①,过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,OG⊥CD,OH⊥AD,垂足分别为E,F,G,H.
∵AO平分∠BAD,∴OE=OH.同理OE=OF,OH=OG.∴OF=OG.
∴点O在∠BCD的平分线上.
②在Rt△OAE和Rt△OAH中，∴Rt△OAE≌Rt△OAH,∴AE=AH.
同理BE=BF,CF=CG,DH=DG,∴AD+BC=AH+HD+BF+FC=AE+DG+BE+GC=AB+CD.
(2)【解】在四边形ABCD中,如果AB+CD=AD+BC,那么它的四条角平分线交于一点.理由如下：如图②，作∠BAD和∠ADC的平分线,两条角平分线交于点O.过点O作OE⊥AB,OF⊥AD,OG⊥CD,垂足分别为E,F,G,则OE=OF=OG,
同理(1)②可得AE=AF,DF=DG.
∵AB+CD=AD+BC,∴AE+BE+DG+GC=AF+DF+BC.
∴BE+CG=BC.
如图③,将五边形EBCGO抽离出来,延长BE至点C',使连接OB,OC',OC.
则
,OE=OG,
∴△OEC'≌△OGC.∴OC'=OC,∠OC'E=∠OCG.
又∵OB=OB,∴△OBC'≌△OBC.∴∠OBC'=∠OBC,∠OCB=∠OC'E=∠OCG.
∴BO平分∠C'BC,CO平分∠BCG.
∴在四边形ABCD中,如果AB+CD=AD+BC,那么的四条角平分线交于一点.
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