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2024-2025学年新疆维吾尔自治区喀什地区莎车县高二下学期 7月期末
考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数 ( ) = ln ，则 ′(1) =( )
A. 0 B. 1 C. 1 D. 2
2.下列四个图各反映了两个变量的某种关系，其中可以看作具有较强线性相关关系的是
A.①③ B.①④ C.②③ D.①②
3 1.已知随机变量 服从二项分布 4, 3 ，则 ( = 3) =．
A. 32 16 24 881 B. 81 C. 81 D. 81
4 = 1.曲线 33 在点(3,9)处的切线的方程为( )
A. 9 + 36 = 0 B. 9 36 = 0 C. 9 18 = 0 D. 9 18 = 0
5.甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有( )
A. 30 种 B. 60 种 C. 120 种 D. 240 种
6.已知随机变量 服从正态分布 N 2, 2 ，且 ( < 4) = 0.8，则 (0 < < 2)等于( )
A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
7.某地的中学生中有 60％的同学爱好滑冰，50％的同学爱好滑雪，70％的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该
地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为( )
A. 0.8 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.1
8.函数 ( ) = e 2 的极小值点为( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = 2 3 + ln 在下列哪个区间单调递增( )
A. ∞, 12 B. (1, + ∞) C.
1 1
2 , 1 D. 0, 2
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10.已知变量 ， 之间的线性回归方程为 = 0.7 + 10.3，且变量 ， 之间的一组相关数据如表所示，则
下列说法正确的是( )
6 8 10 12
6 3 2
A.变量 ， 之间呈负相关关系 B.可以预测，当 = 20 时， = 3.7
C. = 4 D.该回归直线必过点(9,4)
11.下列说法正确的是( )
A.若随机变量 的数学期望 ( ) = 2，则 (3 + 1) = 7
B.若随机变量 2, 2 且 ( ≤ 4) = 0.8，则 ( ≤ 0) = 0.2
C.若随机变量 6, 13 ，则 ( ) = 2
D. 3在含有 3 件次品的 9 件产品中，任取 3 件， 表示取到的次品数，则 ( = 2) = 14
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在二项式(2 1)5的展开式中， 3的系数为 ．
13.已知 ～ ( , ), [ ] = 8, [ ] = 1.6，则 =
14.若函数 ( ) = 3 2 + 2 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 36 + 在 = 1 处取得极值 1．
(1)求 , ；
(2)求 ( )在[ 2,11]上的单调区间．
16.(本小题 15 分)
2024 年 10 月 30 日，我国神舟十九号载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某
大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者
依次回答 5 道题，连续答错 2 道题或 5 道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这 5 道题的概率依
4 , 3 , 1 , 1 1次为5 4 2 2 , 2，且各题是否答对互不影响．
(1)若至少连续答对 4 道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
(2)记张某初赛结束时已答题的个数为 ，求 的分布列及数学期望．
17.(本小题 15 分)
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随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，2006 年，在国家节能减排的宏观政策指导下，
科技部在“十一五”启动了“863”计划新能源汽车重大项目.自 2011 年起，国家相关部门重点扶持新能源
汽车的发展，也逐步得到消费者的认可.各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌
竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升，小张同学对某品牌新能源汽车近 8 年出售的数量及广告费
投入情况进行了统计，具体数据见下表：
年份代码 1 2 3 4 5 6 7 8
年销售量/十万
3 4 5 6 7 9 10 12
辆
广告费投入/亿
3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
元
(1)求广告费投入 (亿元)与年销售量 (十万辆)之间的线性回归方程(精确到 0.01)；
(2)若某人随机在甲、乙两家汽车店购买一辆汽车，如果在甲汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为 0.6；
如果在乙汽车店购买，那么购买新能源汽车的概率为 0.8，求这个人购买的是新能源汽车的概率．
参考数据：8 2 8 =1 = 460 , =1 = 379.5

附：回归直线中 = + , = =1 , = ． =1 2
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln 2 + ．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程．
(2)若函数 ( ) = ( ) 有两个零点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2025 年 2 月 7 日晚，第九届亚洲冬季运动会开幕式在黑龙江省哈尔滨市举行．本届赛事共设 6 个大项、11
个分项、64 个小项，比赛场地分为哈尔滨和亚布力滑雪场两个赛区．秦敏为了解不同性别的哈尔滨市民对
本届亚洲冬季运动会的喜爱程度，随机选取了 100 名哈尔滨市民进行调研，得到如下列联表：
喜爱程度性别非常喜欢比较喜欢合计
男性 30 20 50
女性 25 25
合计 45 100
(1)求 ， ；
(2)依据 = 0.010 的独立性检验，能否认为喜爱程度与性别有关？
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(3)秦敏为了解男性市民对滑冰和滑雪 2 个大项赛事的关注情况，现从参与调研的男性中，用按比例分层抽
样的方法选取 5 人进行调研，再从这 5 人中随机抽取 3 人赠送“滨滨”玩偶，记 3 人中对本届亚洲冬季运
动会非常喜欢的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
2
附： 2 = ( )( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.0100.0050.001
6.6357.87910.828
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.80
13.45/0.8
14. 13 , + ∞
15.【详解】(1)因为 ( ) = 2 3 2 36 + ，所以 ′( ) = 6 2 2 36．
因为 ′( 1) = 2 30 = 0, ( 1) = 34 + = 1，
所以 = 15, = 18．
经检验， = 15, = 18 符合题意．
(2)由(1)知 ( ) = 2 3 15 2 36 18，
则 ′( ) = 6 2 30 36 = 6( 6)( + 1)．
令 ′( ) = 0，得 = 1 或 = 6．
当 ∈ [ 2, 1) ∪ (6,11]时， ′( ) > 0；当 ∈ ( 1,6)时， ′( ) < 0．
( )在( 1,6)上单调递减，在[ 2, 1), (6,11]上单调递增．
故 ( )在[ 2,11]上的单调递增区间为[ 2, 1), (6,11]，单调递减区间为( 1,6)．
16.【详解】(1)用 ( = 1,2,3,4,5)表示张某第 道题答对，
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用 ( = 1,2,3,4,5)表示张某第 道题答错，
4 3 1 1 1
由题意得 1 = 5 , 2 = 4 , 3 = 2 , 4 = 2 , 5 = 2，
记张某得到直升卡为事件 ，
则 ( ) = 1 2 3 4 + 1 2 3 4 5
= 4 × 3 × 1 × 1 + 1 × 3 × 1 × 1 × 15 4 2 2 5 4 2 2 2 =
27
160．
27
即张某得到直升卡的概率为160．
(2)由题可得 的可能取值为 2,3,4,5．
( = 2) = 1 1 15 × 4 = 20，
( = 3) = 4 × 15 4 ×
1 = 12 10，
( = 4) = 4 3 1 1 1 3 1 1 35 × 4 × 2 × 2+ 5 × 4 × 2 × 2 = 16，
( = 5) = 1 1 1 3 5320 10 16 = 80，
则 的分布列如下，

2 3 4 5
1 1 3 53
20 10 16 80
所以 ( ) = 2 × 120 + 3 ×
1
10 + 4 ×
3 + 5 × 53 35716 80 = 80．
17.【详解】(1) ∵ = 18 18 =1 = 7， = 8
8
=1 = 6，

8
=1 8 = 379.5 8×7×6由参考数据 8 2 2 = 460 8×72 =
43.5
8 68
≈ 0.64
=1
所以 = = 6 43.568 × 7 ≈ 1.52
故广告费投入 关于年销售量 的回归方程为 = 0.64 + 1.52．
(2)设 1 =“在甲汽车店购买汽车”， 1 =“在乙汽车店购买汽车”，
2 =“购买的是新能源汽车”，
( 1) = ( 1) = 0.5， ( 2| 1) = 0.6， ( 2| 1) = 0.8，
由全概率公式得， ( 2) = ( 1) ( 2| 1) + ( 1) ( 2| 1) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 0.8 = 0.7．
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18.【详解】(1)当 = 2 时， ( ) = ln 2 2 + 2 ，所以 ′( ) = 1 4 + 2，
′(1) = 1 4 + 2 = 1， (1) = ln1 2 + 2 = 0，
所以曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程为 = ( 1)，
即 + 1 = 0；
(2) ( ) = ( ) = ln 2( > 0)，
由 ( ) = 0 = ln 得 2，
= , = ln 2的图象有 2 个交点，
令 ( ) = ln 2 ( > 0)，
′( ) = 1 2ln 3 ，当 0 < < e时，
′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > e时， ′( ) < 0 ( ) ( ) ≤ e = 1， 单调递减，所以 2e，
且 > 1 时， ( ) > 0， (1) = 0，
所以 0 < < 1 时， ( ) < 0，所以 ( )的大致图象如下，
所以若函数 ( ) = ( ) 有两个零点，
则 0 < < 12e，
1
所以实数 的取值范围为 0, 2e ．
19.【详解】(1)根据列联表，男性非常喜欢 30 人，比较喜欢 20 人，合计 50 人；
女性非常喜欢 25 人，比较喜欢 25 人，合计应为 50 人，即 = 50；
非常喜欢的总人数 = 30 + 25 = 55，比较喜欢的总人数为 45，与表格一致，
因此， = 50， = 55．
(2)由(1)构建列联表如下：
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喜爱程度
非常喜欢 比较喜欢 合计
性别
男性 30 20 50
女性 25 25 50
合计 55 45 100
由列联表可得：
2
2 = 100×(30×25 20×25)(30+20)(25+25)(30+25)(20+25) = 1.01，
查表得 = 0.010 对应临界值 6.635，
由于 1.01 < 6.635，无法拒绝原假设，
所以认为喜爱程度与性别无关．
(3)男性中非常喜欢 30 人，比较喜欢 20 人，
按比例抽取 5 人，其中非常喜欢 3 人，比较喜欢 2 人，
从 5 人中随机抽取 3 人，非常喜欢的人数 的值为：1,2,3，
1 2
( = 1) = C3 C2 = 3，
C35 10
( = 2) = C
2
3 C
1
2 = 6 = 3
C35 10 5
，
3 0
( = 3) = C3 C2 1
C3
=
5 10
，
分布列为：
1 2 3
3 3 1
10 5 10
数学期望： ( ) = 1 × 310 + 2 ×
6 1 18 9
10 + 3 × 10 = 10 = 5．
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