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专题1.2 定义与命题
1. 深化对定义的理解，能更精准地识别定义、给概念下规范定义，明确定义在数学推理中的基础作用；
2. 巩固命题相关知识，熟练判断语句是否为命题，准确区分命题的题设与结论，熟练改写将命题，能快速判断命题真假。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.命题的辨别 2
考点2.定义的辨别 3
考点3.真假命题的判断 4
考点4.命题的改写 5
考点5.举例说明真假命题 6
考点6.假命题的反例 7
考点7.定理与基本事实的相关概念 8
模块3：培优训练 10
1．定义：一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的 定义 。
2．命题：判断一件事情的语句叫做 命题 。
3．命题的组成：命题是由 题设 和结论 两部分组成， 题设 是已知事项， 结论 是由已知事项推出的事项。
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“ 如果 ”后接的部分是题设，“ 那么 ”后接的部分是结论。
5．真命题： 正确 的命题叫做真命题。假命题： 不正确 的命题叫做假命题。
6．要说明一个命题是 正确 的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）。
7．要说明一个命题是假命题，只需举一个 反例 即可。
8.定理：用推理的方法判断它是 正确 的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做 定理 。
9.基本事实：人们经过长期实践后公认为 正确 的命题，作为判断其他命题的 依据 ，这些命题称为基本事实(公理)。
考点1.命题的辨别
例1．（24-25七年级下·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（ ）
①三个角对应相等的两个三角形全等；②负数都小于0；
③过直线l外一点作l的平行线；④如果，，那么．
A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④
【答案】A
【详解】解：①“三个角对应相等的两个三角形全等”是陈述句，是命题；
②“负数都小于0”是陈述句，负数定义为小于0的数，是命题；
③“过直线l外一点作l的平行线”是祈使句，描述动作而非陈述事实，不是命题；
④“如果，，那么”是条件陈述句，是命题；命题为①②④，故选：A．
变式1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】①是疑问句，没有对事件作出判断，不是命题；
②对事件作出了判断（熊猫确实无翅膀），是命题；
③对事件作出了判断（三角形一定有直角），是命题；
④没有对事件作出判断，只是描述了事件，不是命题；
⑤对事件作出了判断（式子的值都是质数），是命题；
⑥对事件作出了判断（这两条直线也互相平行），是命题．
综上，②、③、⑤、⑥为命题，共4个，故选B．
变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．如果，那么 B．等角的补角相等
C．过点作直线的垂线 D．两个锐角的和是钝角
【答案】C
【详解】解：、如果，那么，该选项语句是命题，不合题意；
、等角的补角相等，该选项语句是命题，不合题意；
、过点作直线的垂线，该选项语句不是命题，符合题意；
、两个锐角的和是钝角，该选项语句是命题，不合题意；故选：．
考点2.定义的辨别
例1．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于
C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
【答案】D
【详解】解：A． 两直线平行，内错角相等是平行线的性质，故该选项不符合题意；
B． 三角形的内角和等于是三角形的内角和定理，故该选项不符合题意；
C． 对顶角相等是定理，故该选项不符合题意；
D． 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形是定义，故该选项符合题意；故选：D．
变式1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）下面各个命题中，定义为（ ）
A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好
【答案】C
【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，不符合题意；
C、在正数前加上符号“”的数叫作负数，是定义，符合题意；
D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意；故选：C．
变式2．（24-25七年级下·广东·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等 D．同角的余角相等
【答案】B
【详解】解：A．两点确定一条直线是性质不是定义，故A不符合题意；
B．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线是定义，故B符合题意；
C．对顶角相等是性质，不是定义，故C不符合题意；
D．同角的余角相等是性质，不是定义，故D不符合题意．故选：B．
考点3.真假命题的判断
例1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列命题是真命题的有（ ）
（1）对顶角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）若，则；
（4）同一平面内，两条直线不平行，则一定相交；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：（1）对顶角相等，原命题正确；（2）两直线平行，同位角相等，原命题正确；
（3）当时，或，原命题错误；
（4）同一平面内，两条直线不平行则一定相交，原命题正确；故真命题有3个，故选：C．
变式1．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①不符合题意；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②不符合题意；
③4是64的立方根，故③不符合题意；④带根号的数不一定都是无理数，故④不符合题意；
⑤实数和数轴上的点一一对应，正确，故⑤符合题意；∴符合题意的有⑤，共个，故选：B．
变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列命题：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一条直线的两条直线平行；其中假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：命题①：若，那么．
反例：当时，，但．故①是假命题．
命题②：同位角相等．正确结论需前提“两直线平行”．
若两直线不平行，同位角不一定相等．故②是假命题．
命题③：若，那么．
反例：当时，成立，但，，．故③是假命题．
命题④：平行于同一条直线的两条直线平行．
根据平行公理，平行于同一直线的两直线互相平行．故④是真命题．
综上，假命题为①、②、③，共3个．故选C．
变式3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下列命题中，说法错误的个数有（ ）
①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离；
④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等；⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：①：同一平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，并非独立关系，因此①错误；
②：设锐角为，补角为，余角为，补角比余角大，计算正确，因此②正确；
③：点到直线的距离定义为垂线段的长度，符合教材定义，因此③正确；
④：同位角相等需满足两直线平行，否则不一定相等，命题未说明平行条件，因此④错误；
⑤：三角形三条中线的交点（重心）始终在三角形内部，不可能在外部，因此⑤错误；
综上，错误的命题为①④⑤，共3个，故选：C．
考点4.命题的改写
例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果 那么 ”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角
【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角
故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）指出下列命题的题设和结论：
(1)若，则；(2)如果，垂足为O，那么；
(3)如果，那么；(4)两直线平行，同位角相等．
【答案】(1)条件：，结论： (2)条件：，垂足为O，条件：
(3)条件：，结论： (4)条件：两直线平行，结论：同位角相等
【详解】（1）解：题设：，结论：；
（2）解：题设：，垂足为O，结论：；
（3）解：题设：，结论：；
（4）解：题设：两直线平行，结论：同位角相等．
考点5.举例说明真假命题
例1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（ ）
A．因为当时，，所以该命题是真命题
B．因为当时，，所以该命题是真命题
C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题
D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题
【答案】C
【详解】解：A、仅举的例子成立，但未覆盖所有实数，无法证明命题为真，不符合题意．
B、列举时成立，但未考虑的情况，无法证明命题为真，不符合题意．
C、若存在使或，则原命题不成立，符合题意．
D、存在使不能说明命题对所有成立，无法证明命题为真，不符合题意．故选；C．
变式1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
(1)直角都相等；(2)如果，那么．
【答案】(1)真命题(2)假命题，反例见解析
【详解】（1）解：∵直角是90度的角，∴直角都相等，原命题是真命题；
（2）解；如果，那么，这是一个假命题，
例如当时，满足，当不满足，故原命题是假命题．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)不是真命题，见解析
【详解】（1）解：，，；
（2）解：两边分别平行的两个角相等是假命题，
如图②，，，．
，．
即两边分别平行的两个角相等或互补，原命题不是真命题．
变式3．（24-25八年级上·重庆·期中）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值；
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．
命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数；
命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数．
【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明见解析
【详解】解：（1）当时，，；
当时，，；
当时，，；
（2）命题1是假命题，命题2是真命题，证明如下：
∵，
∴当时，，此时不是自然数，故命题1是假命题；
∵，
∴当n为自然数时，为大于等于1的整数，即此时也为自然数，故命题2是真命题．
考点6.假命题的反例
例1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】解：、∵，，∴，，此时，不满足，不符合题意；
、∵，，∴，，满足，
∵，∴成立，不是反例，排除，不符合题意；
、∵，，∴ ，，此时，不满足，排除，不符合题意；
、∵，，∴，，满足，
∵，∴不成立，符合反例条件，符合题意；故选：．
变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．， C．， D．
【答案】B
【详解】解：，和为且两角相等，满足命题结论，不能作为反例，故选项A不符合题意；，，和为，但两角不相等，满足条件且结论不成立，故选项B符合题意；
，，和为，不满足条件，无法作为反例，故选项C不符合题意；
，不满足条件，无法作为反例，故选项D不符合题意；故选B．
变式2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为( )
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：A：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．
B：，．计算得，，满足，但，符合反例要求．
C：，．此时，且，符合原命题，不能作为反例．
D：，．计算得，，不满足，不符合条件．故选：B．
考点7.定理与基本事实的相关概念
例1．（24-25八年级上·浙江·课后作业）下列语句中属于定理的是（ ）
A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？
【答案】C
【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意；
B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意；
C、对顶角相等，是定理，故C符合题意；
D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意；故选：C．
变式1．（24-25七年级下·四川凉山·阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解∶两直线平行，同旁内角互补，所以①可作为定理；
相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；等角的补角相等，所以③可作为定理；
垂线段最短，所以④可作为定理．故选∶ C．
变式2．（24-25八年级上·河南开封·期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题
C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题
【答案】B
【详解】解：A、说法错误，定理是经过证明的真命题，但是命题不一定是定理；
B、说法正确，公理和定理都是真命题；
C、说法错误，定理是经过证明的真命题，命题有真假之分；
D、说法错误，取线段AB的中点C是描述性语言，不是命题，更不是真命题．故选：B
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
【答案】A
【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；
B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A．
2．（24-25浙江宁波·八年级校考期中）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．延长到使
C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数
【答案】D
【详解】解：A不是，这是一个疑问句；B不是，这是一个作法；
C不是，这是一个定理；D是，这是无理数的定义；故选择：D.
3．（24-25·浙江·八年级专题练习）下列命题中是假命题的是（　　）
A．两条直线相交有2对对顶角 B．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．互补的两个角一定是邻补角
【答案】D
【详解】解：A、两条直线相交有2对对顶角，正确，是真命题，不符合题意；
B、互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；
C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、互补的两个角不一定是邻补角，故错误，是假命题，符合题意．故选：D．
4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：①两点之间，线段最短，是命题；②不许大声讲话，不是命题；
③连接，两点，不是命题；④鸟是动物，是命题；⑤过一点作已知直线的平行线，不是命题；
⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？，不是命题，
故①、④为命题，②、③、⑤、⑥不是命题．故选：C．
5．（24-25·浙江金华·八年级校联考期中）下列语句：
①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（　　）
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题
【答案】A
【详解】解：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故为真命题；
②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，故为真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；故选A．
6．（2024·浙江·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【详解】解：A．，，则，能说明；
B．，，则，不能说明；
C． ，，不是锐角，不可以说明；
D．，，不是锐角，不能说明；故选：A．
7．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　）
A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角”
【答案】B
【详解】解：同一个角的两个邻补角是对顶角是真命题，题设是两个角是同一个角的邻补角，故选B．
8．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角
【答案】B
【详解】解：选项A：同位角相等仅在两条直线平行时成立，原命题缺少条件，故为假命题，该选项错误，不符合题意；
选项B：命题“同位角相等”可改写为“如果两个角是同位角，那么它们相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”， 该选项正确，符合题意；
选项C：定理需为真命题，但原命题未限定条件，不成立，该选项错误，不符合题意；
选项D：结论应为“两个角相等”，而非“是同位角”， 该选项错误，不符合题意；故选：B．
9．（24-25八年级上·江苏·期中）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式：③一元一次方程的根是；④对顶角相等．其中可以作为定理的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】①能被3整除的数，不一定能被6整除，故①是假命题；
②等式两边除以同一个不为零的数，结果仍是等式，故②是假命题；
③是一个运算过程，不能作为定理；④对顶角相等是定理．故选A．
10．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．命题都是定理 B．定理都是命题 C．公理都是命题 D．推理过程叫证明
【答案】A
【详解】解：由题意可得，定理一定是命题，命题不一定是定理即可得到A错误，B正确，
人们公认为正确的命题叫公理故C正确，推理过程叫证明故D正确故选A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·浙江金华·八年级月考）将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式 _____ ．
【答案】如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形
【详解】题中“有一个内角是直角的三角形”是条件，“直角三角形”是结论，所以命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角．
故答案为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形．
12．（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）．
【答案】 两个角是同位角 这两个角相等 假
【详解】解：命题“同位角相等”可写成“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”，题设是“两个角是同位角”，结论是“这两个角相等”，∵同位角不一定相等，∴这是一个假命题，
故答案为： 两个角是同位角，这两个角相等，假．
13．（24-25七年级下·重庆·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）．
①能被2整除的整数叫作“偶数”；②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”；
③1，3，5，7，……叫作“单数”；④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”．
【答案】③④
【详解】解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确；②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确；
③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理；
④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理；故答案为：③④．
14．（24-25七年级下·陕西·期末）下面命题中，是真命题的是 ．（填序号）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③互为补角的两个角都是锐角．
【答案】②
【详解】解：①是假命题，正确的应该是：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等；
②是真命题；
③是假命题，互为补角的角，若其中一个为锐角，则另一个必是钝角；或者两个角都为直角；
故答案为：②．
15．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ．
【答案】/
【详解】解：当时，有平方根，但是不是正数，
∴说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是：；故答案为：
16．（24-25八年级上·广西·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．

【答案】三角形内角和定理
【详解】解：根据折叠的性质，，

∵，∴，
∴定理为：三角形内角和定理．故答案为：三角形内角和定理．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）黑板上写有3个命题：①若，则；②若是有理数，则；③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角．
(1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______；
(2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例．
【答案】(1)①，， (2)②当时，，
③当，时，与都是锐角，
【详解】（1）解：若，则，是真命题，命题的条件是：，结论是：；
若是有理数，则不一定成立，是假命题；
若与都是锐角，则这两个角的和不一定是钝角，是假命题；
故答案为：①，，；
（2）解：反例：②当时，，；
③当，时，与都是锐角，．
18．（24-25七年级下·北京·期中）阅读下面材料并解决问题：
一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
判定命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是真命题吗？如果是，写出证明过程；如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）．
【答案】假命题；反例见解析
【详解】解：如图所示长方体中，，但不平行；
即命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是假命题．
19．（24-25七年级下·重庆·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边形——筝形．
(1)请你给“筝形”下定义；
(2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系；
(3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)见详解
【详解】（1）解：“筝形”定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（2）解：如图，；．
（3）解：如图，
20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③．(1)上述问题有哪几个真命题？(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
【答案】(1)命题1：①② ③；命题2：②③ ①
(2)选择命题1：①② ③，证明见解析；选择命题2：②③ ①，证明见解析
【详解】（1）解：上述问题有两个真命题，分别是：
命题1：①② ③；命题2：②③ ①．
（2）选择命题1：①② ③．证明：∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴．
选取命题2：②③ ①．
证明: ∵，∴，∴，
又∵，，∴，又∵，，
∴，∴．
21．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③．
(1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题；
(2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例．
【答案】(1)如果，，那么(2)真命题，见解析
【详解】（1）解：根据题意，①；②为条件，③是结论，
故命题写作：如果，，那么．
（2）证明：该命题为真命题，理由如下：，，，
，，．
22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④．
(1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”）
(2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由．
【答案】(1)假 (2)添加，理由见解析
【详解】（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角，
∴若，无法判定，∴若，则是假命题，故答案为：假
（2）解：添加条件，∵，∴，
∵，∴，即，∴．
23．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”）
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，若，求的度数．
【答案】（1）①见解析，真命题；②见解析；（2）．
【详解】解：（1）①如图，
命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题，故答案为：真命题；
②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．
证明：∵，∴，
∵平分，平分， ∴，，
∴，∴，∴该命题是真命题．
（2）解：，．，．
又，可解得．，．
，（两直线平行，内错角相等），
又，可解得．
24．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分．
(1)求证：；(2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论；
(3)判断以下命题是真命题还是假命题：
①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行．
【答案】(1)见解析(2)如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行
(3)①真命题；②假命题
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，∴；
（2）解：由（1）知：如果两条平行线被第三条直线所截，那么一组内错角的角平分线互相平行；
（3）解：①如图，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，∴；
故两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行是真命题；
②如图，∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，∴，∴；
故两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互垂直，则原命题是假命题．
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专题1.2 定义与命题
1. 深化对定义的理解，能更精准地识别定义、给概念下规范定义，明确定义在数学推理中的基础作用；
2. 巩固命题相关知识，熟练判断语句是否为命题，准确区分命题的题设与结论，熟练改写将命题，能快速判断命题真假。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.命题的辨别 2
考点2.定义的辨别 3
考点3.真假命题的判断 4
考点4.命题的改写 5
考点5.举例说明真假命题 6
考点6.假命题的反例 7
考点7.定理与基本事实的相关概念 8
模块3：培优训练 10
1．定义：一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的 。
2．命题：判断一件事情的语句叫做 。
3．命题的组成：命题是由 和 两部分组成， 是已知事项， 是由已知事项推出的事项。
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“ ”后接的部分是题设，“ ”后接的部分是结论。
5．真命题： 的命题叫做真命题。假命题： 的命题叫做假命题。
6．要说明一个命题是 的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）。
7．要说明一个命题是假命题，只需举一个 即可。
8.定理：用推理的方法判断它是 的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做 。
9.基本事实：人们经过长期实践后公认为 的命题，作为判断其他命题的 ，这些命题称为基本事实(公理)。
考点1.命题的辨别
例1．（24-25七年级下·山东东营·期中）下列句子中是命题的是（ ）
①三个角对应相等的两个三角形全等；②负数都小于0；
③过直线l外一点作l的平行线；④如果，，那么．
A．①②④ B．②③④ C．①② D．②④
变式1．（24-25七年级下·四川德阳·期中）下列语句是命题的有（　　）个．
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论n是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．如果，那么 B．等角的补角相等
C．过点作直线的垂线 D．两个锐角的和是钝角
考点2.定义的辨别
例1．（24-25七年级下·福建福州·期中）下列描述属于定义的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等 B．三角形的内角和等于
C．对顶角相等 D．有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
变式1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）下面各个命题中，定义为（ ）
A．两点之间，线段最短 B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．在正数前加上符号“”的数叫作负数 D．今天的天气很好
变式2．（24-25七年级下·广东·期中）下列语句中，是定义的是（ ）
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
C．对顶角相等 D．同角的余角相等
考点3.真假命题的判断
例1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列命题是真命题的有（ ）
（1）对顶角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）若，则；
（4）同一平面内，两条直线不平行，则一定相交；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式1．（24-25七年级下·广东广州·期中）下列命题中，真命题的个数有（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③±4是64的立方根；④带根号的数都是无理数；⑤实数和数轴上的点一一对应．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）下列命题：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一条直线的两条直线平行；其中假命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3．（24-25七年级下·广东深圳·期中）下列命题中，说法错误的个数有（ ）
①同一平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离；
④两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等；⑤三角形三条中线的交点可能在三角形的外部．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4.命题的改写
例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期中）把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式
变式1．（24-25七年级下·上海金山·期末）将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）指出下列命题的题设和结论：
(1)若，则；(2)如果，垂足为O，那么；
(3)如果，那么；(4)两直线平行，同位角相等．
考点5.举例说明真假命题
例1．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）在判断“对于任意实数，一定有”这一命题的真假时，同学们给出如下分析，其中正确的是（ ）
A．因为当时，，所以该命题是真命题
B．因为当时，，所以该命题是真命题
C．如果取某一实数时，或，那么该命题是假命题
D．如果取某一实数时，，那么该命题是真命题
变式1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）判断下列命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例．
(1)直角都相等；(2)如果，那么．
变式2．（24-25七年级下·山东·期中）某数学兴趣小组探究命题“两边分别平行的两个角相等”是否是真命题，甲同学认为该命题是真命题，作图如图①所示，已知，与交于点G．
(1)根据甲同学的作图及题设，求证：；
(2)乙同学对甲同学的判断提出质疑，认为该命题不一定成立，是假命题，作图如图②所示，题设与甲同学相同，得到，根据乙同学的作图，试判断原命题是否是真命题，并说明理由．
变式3．（24-25八年级上·重庆·期中）（1） 当 3时，分别求出代数式 与 的值；
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．
命题1．对任何正整数n， 的值都是自然数；
命题 2．对任何正整数n， 的值都是自然数．
考点6.假命题的反例
例1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“，则”是假命题的反例是（ ）
A．， B．， C．， D．，
变式1．（24-25七年级下·上海青浦·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A． B．， C．， D．
变式2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）若要说明命题“如果，那么”是假命题，则可以举反例为( )
A．， B．， C．， D．，
考点7.定理与基本事实的相关概念
例1．（24-25八年级上·浙江·课后作业）下列语句中属于定理的是（ ）
A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？
变式1．（24-25七年级下·四川凉山·阶段练习）下列命题①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；③等角的补角相等；④垂线段最短 可作为定理的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（24-25八年级上·河南开封·期中）下列说法正确的是（ ）
A．命题是定理，但定理未必是命题 B．公理和定理都是真命题
C．定理和命题一样，有真有假 D．“取线段AB的中点C”是一个真命题
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
2．（24-25浙江宁波·八年级校考期中）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．延长到使
C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数
3．（24-25·浙江·八年级专题练习）下列命题中是假命题的是（　　）
A．两条直线相交有2对对顶角 B．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．互补的两个角一定是邻补角
4．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）下列语句：①两点之间，线段最短；②不许大声讲话；③连接，两点；④鸟是动物；⑤过一点作已知直线的平行线；⑥无论为怎样的自然数，式子的值都是质数吗？其中不是命题的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（24-25·浙江金华·八年级校联考期中）下列语句：
①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（　　）
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题
6．（2024·浙江·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　）
A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角”
8．（24-25七年级下·广东东莞·期末）对命题“同位角相等”的描述正确的是（ ）
A．是真命题 B．题设：两个角是同位角 C．是定理 D．结论：是同位角
9．（24-25八年级上·江苏·期中）下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式：③一元一次方程的根是；④对顶角相等．其中可以作为定理的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）下列命题中，假命题是（ ）
A．命题都是定理 B．定理都是命题 C．公理都是命题 D．推理过程叫证明
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·浙江金华·八年级月考）将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式 _____ ．
12．（24-25七年级下·江西上饶·期末）命题“同位角相等”的题设是 ；结论是 ；这是一个 命题（填“真或假”）．
13．（24-25七年级下·重庆·课后作业）下列定义不合理的是 （填序号）．
①能被2整除的整数叫作“偶数”；②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”；
③1，3，5，7，……叫作“单数”；④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”．
14．（24-25七年级下·陕西·期末）下面命题中，是真命题的是 ．（填序号）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③互为补角的两个角都是锐角．
15．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是 ．
16．（24-25八年级上·广西·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．

三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）黑板上写有3个命题：①若，则；②若是有理数，则；③若与都是锐角，则这两个角的和是钝角．
(1)上述命题是真命题的是______（填序号），该命题的条件是______，结论是______；
(2)对于上述命题中的假命题，请各写出一个反例．
18．（24-25七年级下·北京·期中）阅读下面材料并解决问题：
一个命题的正确性需要经过推理，才能做出判断，这个推理过程叫做证明，证明中的每一步推理都要有根据，这些依据可以是已知条件，也可以是学过的的定义、基本事实、定理等，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了．
判定命题“垂直于同一直线的两条直线平行”是真命题吗？如果是，写出证明过程；如果不是，请举出反例（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言进行表述）．
19．（24-25七年级下·重庆·课后作业）数学源于生活．如图，从风筝的骨架我们可以抽象出一种特殊的四边形——筝形．
(1)请你给“筝形”下定义；
(2)根据你下的定义，画出两个不同的“筝形”，并分别用符号语言写出每个图中的数量关系；
(3)用示意图表示下列概念之间的关系：四边形、筝形、平行四边形、长方形．
20．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，点在同一条直线上，请你从下面三个条件中，选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个真命题．①；②，；③．(1)上述问题有哪几个真命题？(2)选择（1）中的一个真命题加以证明．
21．（24-25七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，已知直线、，连接，，点、分别在、上，连接．现有以下选项：①；②；③．
(1)请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题；
(2)判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例．
22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④．
(1)若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”）
(2)若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由．
23．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．①先在下面方框中画出相应的图形（标注好所需要的字母），并判断此命题是__________命题（填“真”或“假”）
②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例．
（2）如图，已知，若，求的度数．
24．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知直线，直线与直线，分别相交于点，，平分，平分．
(1)求证：；(2)结合（1）的证明过程，用文字语言描述（1）中的结论；
(3)判断以下命题是真命题还是假命题：
①两条平行直线被第三条直线所截，同位角的角平分线相互平行；
②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的角平分线相互平行．
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