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专题1.3 证明
1. 理解证明的概念，并能正确表达证明的解题步骤及正确的逻辑推理；
2. 了解三角形的外角的概念；掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3. 会利用三角形的外角性质解决问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.证明与推理的相关概念 2
考点2.写出命题的已知求证和证明过程 4
考点3.逻辑推理 5
考点4.代数背景推理 7
考点5.几何背景推理 8
考点6.证明外角性质定理 10
考点7.外角性质的相关计算 13
考点8.内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题） 15
考点9.三角形倒角相关问题 19
模块3：培优训练 23
1.证明的概念
要判定一个命题是 真命题 ，往往需要从命题的 条件 出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论 成立 。这样的推理过程叫做 证明 。
2．证明的解题步骤
1）按题意画出图形；2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程。
3.三角形的外角：∠ACD是由三角形ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，叫做三角形的 外角 ．
4．三角形的外角性质
①三角形的一个外角等于和它 不相邻 的两个内角的和；②三角形的一个外角 大于 和它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和为360°。
考点1.证明与推理的相关概念
例1．（24-25八年级上·山东·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例．
【答案】 证明 举反例 结论
【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．故答案为：证明；举反例；结论．
变式1．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
B．要证一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
C．基本事实正确与否必须用推理的方法来证实
D．定理正确与否必须用推理的方法来证实
【答案】C
【详解】解：A、经过推理证实的真命题是定理，所以A选项的说法正确；
B、要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可，所以B选项的说法正确；
C、基本事实是从实践活动中得到的正确结论，不能用推理的方法来证实，所以C选项的说法不正确；
D、经过推理、论证得到的正确的命题称为定理，所以D选项的说法正确．故选：C．
变式2．（24-25八年级上·湖北·月考）下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（　　）
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理也是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明
【答案】B
【详解】A.选项,基本事实和定理都是真命题表述正确,
B选项,基本事实就是定理,定理也是基本事实,因为基本事实是不需要证明同时也无法去证明的客观规律,定理是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题,因此B选项表述错误,
C选项,基本事实和定理都可以作为推理论证的依据,表述正确,
D选项,基本事实的正确性不需证明,定理的正确性需证明,表述正确,故选B.
变式3．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），所以（等量代换）．
所以（等量代换）．∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．故选C．
考点2.写出命题的已知求证和证明过程
例1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【详解】已知：如图，直线中，，，求证：．

证明：作直线的截线，交点分别为．

∵,∴，∵,∴，∴，∴．
变式1．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
【答案】①②，③，证明见解析．（答案不唯一）
【详解】解：已知①②，求证∶③，
证明∶∵，∴，
∵平分，∴，∴．故答案为∶①②；③．
变式2．（24-25·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明．
【答案】见解析
【详解】已知：，求证：．
证明：如图：∵∴∴ (同位角相等，两直线平行) ．
变式3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
【答案】见解析
【详解】定理：三角形的外角等于与其不相邻的两个内角的和．
已知：是的一个外角．求证：．
证明：如图所示，在中，，
∵，∴．
考点3.逻辑推理
例1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是 ．
【答案】丙
【详解】解：因为如果语文老师说的正确，所以地理老师和政治老师的话也都正确，
又只有两个两个老师得话正确，所以语文老师的话是错误的；
又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确，
故只有历史老师和政治老师的话是正确的；故冠军一定是丙，故答案为：丙
变式1．（24-25山东·七年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿．故选：D．
变式2．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强．
下表是世界杯E组积分表：
排名 球队 积分
1 日本 6
2 西班牙 4
3 德国 4
4 哥斯达黎加 ？
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，
∵日本队得6分，∴日本队胜2场，负1场，
∵西班牙队得4分，∴西班牙队胜1场，平1场，负1场，
∵德国队得4分，∴德国队胜1场，平1场，负1场，
∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场，
∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平，∴斯达黎加队胜1场，负2场，
∴哥斯达黎加的积分是3分．故选：D
变式3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在 的手上．
【答案】小刚
【详解】解：由题意知，若小明正确，则小刚正确，小明、小刚同学说法正确，故不符合要求；
若小刚正确，小明错误，则硬币在小华手上，则小华说法正确，小刚、小华说法正确，故不符合要求；
若小华正确，小明错误，小刚错误，则硬币在小刚手上，
∴当三个同学中只有一个说对了，则硬币在小刚的手上，故答案为：小刚．
考点4.代数背景推理
例1．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：因为，，所以，，
所以，
因为，，所以，所以，即．
（2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，所以为偶数，
这与为奇数矛盾，所以假设不成立，所以m，n至少有一个为奇数．
变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用
能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．
奇偶数的运算性质：
奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数．
奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数．
已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由．
【答案】的值不可能为1，见解析
【详解】解：的值不可能为1
理由如下：∵，∴a、b、c、d的值均为，
∵是奇数，∴的值均为奇数，
∵奇数奇数奇数奇数偶数，∴是偶数，
又∵1是奇数，且偶数奇数，∴的值不可能为1．
变式2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】(1)证明见详解(2)不可以，理由见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵ ∴为非负数．
（2）不可以，理由如下：∵a，b，m，n为整数，n为偶数，∴为偶数，
∵，∴为偶数，∴a，b同为偶数或者同为奇数，∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，∴不可以为奇数．
考点5.几何背景推理
例1．（24-25八年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
【答案】A
【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高，水先从左侧流出，进入3号杯子，
杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭
水最终会先灌满3号杯子，故选：A．
变式1．（24-25七年级下·山东·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明．
【答案】详见解析
【详解】解：方法一：如图①，连接．
在中，（三角形内角和等于），
在中，（三角形内角和等于），
（等量代换）．
（等式的性质），即．
方法二：如图②，连接并延长．
依题意，，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
（等式的性质），即．
变式2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，求证：．
（1）以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明
【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴，，∴
【应用】利用（1）中所证明的结论解决下列问题：
（2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，，请直接写出的度数，不需要说明理由；（3）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，猜想与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【详解】（1）证明：∵与分别为的两个外角，
∴，，∴．
∵，（三角形内角和定理）∴；
（2）解：∵，，，
∴；
（3）解：∵、分别为外角、的平分线，∴，，
∴，
∵，∴．
考点6.证明外角性质定理
例1．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：B
变式1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）请用两种方法证明：四边形的外角和为．
已知：如图，四边形，、、、是它的外角．求证：
方法一： 方法二：
证明： 证明：
【答案】见解析
【详解】证明：证法1：
，，，，
．
，．
证法2：连接，，，
．
变式2. （24-25·江苏·苏州市八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】见解析
【详解】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角．求证：∠DAB=∠B+∠C
证法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理）
∠BAC+∠DAB=180°（平角的定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB（等量代换）
∴∠DAB=∠B+∠C（等式基本性质1）
故答案为：三角形内角和定理，等量代换；
证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B，
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C；
变式3．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
考点7.外角性质的相关计算
例1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为，在同一平面内，将逆时针旋转后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，∵，∴，
∵，∴，即夹角为，故选：．
变式1．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，∴，
又∵，∴，故选：B．
变式2．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，．
(1)求证：；(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：∵是的外角，∴，
∵是的外角，∴，又∵，∴；
（2）解：∵，∴，
∵，∴，
在中，，∵，，
∴，即，
∴，∴，
在中，，，∴．
考点8.内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）
例1．（24-25八年级下·湖北·期中）（1）如图①，分别是的两个内角和的平分线，则与之间的关系是_________（直接写出结论）；
（2）如图②，分别是的两个外角和的平分线，则与之间的关系是______，请证明你的结论；
（3）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，则与之间的关系是__________，请证明你的结论．
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析
【详解】解：（1）．理由如下：如图1所示：∴，
∵分别是的两个内角和的平分线，
∴，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：；
（2）．证明如下：如图2所示：
∵分别是的两个外角和的平分线，
∴，，∴，
∵，
∴，
在中，由三角形内角和定理可得，故答案为：；
（3）．证明如下：
∵分别是的一个内角和一个外角的平分线，
∴，，
∵是的外角，∴，
∵是的外角，∴，∴，故答案为：．
变式1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解： 与的平分线交于点，，，
∵的平分线交于点，，
是的外角，，，
是的外角，，，
，，在中，，
，，故选：A．
变式2． （24-25·苏州八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分别平分、，，，
∴，
，故答案为：52°．
变式3．（24-25·山西阳泉八年级期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
测量和度数
测量工具 量角器
示意图 与的平分线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
… …
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据，设，利用待定系数法进行计算，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质，得到，，然后利用外角性质，以及角的和差关系，即可得到结论成立.
【解析】（1）根据题意，设，∴，解得：，∴.
（2）. 理由：∵与的平分线交于点，
∴，.
∵，∴.
∵是的外角，∴，∴.
考点9.三角形倒角相关问题
例1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，∠BDC ＝110°，∠C ＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，延长CD交AB与E，
∵∠C ＝38°，∠A＝35°，∴，
∵∠BDC ＝110°，∴，故选：C．
变式1．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图所示，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是 度．
【答案】64
【详解】如图，∵，
又∵折叠，∴，∴∴．故答案为：64.
变式2．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ．
【答案】/180度
【详解】解：如图，∵，，
∴；故答案为：．
变式3．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）（1）如图①，求证：；
（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（3）如图③，，则的度数为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）证明：连接，并延长，如图所示，
∵是的外角，∴，
∵是的外角，∴，
，得，即；
（2）解：∵，，
∴，∴，
∴由上可知：，
（3）解：连接，如图所示，由上可知，
，
，得，
∴，即，故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是( )
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，但不是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是真命题只要举出一个反例即可
【答案】A
【详解】解：公认的真命题称为公理， 除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实， 这种推理的过程称为证明； 经过证明的真命题称为定理．故A正确；
B、定理为经过证明的真命题，故B错误； C、“对顶角相等”是定理，故C错误；
D、要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D错误．故选：A．
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，，．
，，，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
【答案】A
【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则，故选：A．
3．（2025·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想
【答案】D
【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．
4．（24-25七年级下·湖北·课后作业）当n是正整数时，一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
【答案】A
【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数，当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数，故选A．
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，
此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌，
利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌，
利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，此时还剩（张）蓝牌，
利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，
利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌，此时还剩张蓝牌，
则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌，此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束．
故张浩手中最后有银牌：（张）．故选：D．
6．（24-25·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，∴，故A选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；
∵，，∴，
∴，故D选项正确，不符合题意；故选C．
7.（24-25龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．36° B．72° C．50° D．46°
【答案】B
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．故选：B．
8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【详解】解：如图，、与分别相交于点、，
在四边形中，，
，，，故选：B．
9．（24-25·江苏·七年级统考期中）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵和的平分线交于点，∴．
∵，∴．
∵，∴．
同理可得：，．．．∴．故选C．
10．（24-25·河北保定·八年级校考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：平分，，，，
，，，
平分，，，，故①正确；
，，平分，，
，，故②正确；
，，是的平分线，
，故⑤正确；，故④正确；
平分， ， ， ，
与不一定相等，与不一定相等，故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④⑤共4个．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·广东·课后作业）从命题的 出发，根据 ，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的 ，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明．
【答案】 条件 一些已知的事实、真命题 结论
【详解】解：从命题的条件出发，根据一些已知的事实、真命题，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的结论，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明，
故答案为：条件；一些已知的事实、真命题；结论．
12．（24-25 东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为
【答案】解：∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝140°，∠2＝120°，∴∠3＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°．
13．（24-25七年级下·广东·期中）如图，E是，CD外一点，．求证：．
证明： ； ，
（等量代换）． ．
【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行
【详解】（已知），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行） ．
故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行．
14．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数
篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17
足球 12 游泳 4 实心球
排球 2
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人．
【答案】 13 13
【详解】解：由题意得某班所有男生的人数为人，
选择1分钟跳绳的人数为17人，∴选择实心球的人数为人；
已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，
而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，
∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球；
在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳，因此剩余的14人需要选择健身长拳；
而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人；
要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳，而1分钟跳绳的名额剩余13人，
∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求，
∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人，故答案为：13；13．
15．（2025·福建泉州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为 ．
【答案】/80度
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∵，∴故答案为：．
16．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
【答案】 15 甲
【详解】甲当了裁判8局，乙、丙之间打了8局，
又乙、丙分别进行了12局、11局比赛，
乙、甲之间打了4局，丙、甲之间打了3局，
甲、乙、丙三人共进行了局比赛，
又甲当了8局裁判，而从1到15共8个奇数，7个偶数，
甲当裁判的局为奇数局，最后一局比赛的裁判是：甲，故答案为：15；甲．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·湖北·校考一模）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．
德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．
请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明．
【答案】见解析
【详解】已知：如图，．求证：．
证明：过点作，∴，，
∵，∴．
18．（24-25·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．
求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：
(2)根据第二种思路，完成证明．
【答案】(1)①；②；③；④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析
【解析】 (1)①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为：；
根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，+，
故答案为：②；③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)过B作BM∥AC，∴,
∵∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°
19．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，．
(1)求证：为正数；(2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
【答案】(1)证明见详解(2)不可以，理由见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵，则 ∴为正数．
（2）不可以，理由如下：∵，，，为整数，为偶数，∴为偶数，
∵，∴为偶数，∴，同为偶数或者同为奇数，∴为偶数，
若为奇数，则为奇数，∴为奇数，
∴为奇数与为偶数矛盾，∴不可以为奇数．
20．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）阅读材料并回答问题：
在平面内，由不在同一直线上的五条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做五边形．而有一个角与它的两个邻角的和等于度的五边形，叫做平五边形．其中是平五边形的边，，，，，是平五边形的角．
平五边形定义对应的符号语言是：
如图1，五边形是平五边形
反之：五边形是平五边形
(1)如图2，在五边形中，，，，求证：五边形是平五边形．
(2)如图1，五边形是平五边形，且．请你探索平五边形关于边的位置关系的一条性质，用符号语言写出你的猜想：__________，（写出结论即可）并说明理由．
(3)如图3，五边形是平五边形，，，过点D做直线，N是直线上一点（点N与点D不重合且不在直线上），，补全图形并直接写出的度数．
【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)补全图形见解析，或或
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，，∴，∴五边形是平五边形；
（2）猜想：，理由如下：连接，则：，
∵，∴，∴；
（3）由（2）可知，，
∵，∴，∴，
延长交于点，∵，∴，
①当点在线段上时，则：；
②当点在线段上时，则：；
③当点在线段的延长线上时：则：；
综上：或或．
21．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程；
已知：如图，是的外角．求证：．证明：
【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”．
（1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数；（2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
【答案】[定理证明]见解析；[问题解决]（1）；（2）或
【详解】[定理证明]证明：如图，∵，
又∵，∴．∴．
[问题解决]（1）∵的三分线分别与的平分线交于点，，
∴，，
在中，由三角形的外角可知，，∴，，
在中，由三角形的内角和定理可知，，∴，
在中，由三角形的内角和定理可知，；
（2）∵，，∴，
∵ 为的靠近的三分线，∴，
当为的靠近的三分线时，，
则；
当为的靠近的三分线时，，
则；综上：或．
22．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、交于．
(1)如图1，若，求的值；(2)如图2，若，平分，求的值；(3)如图3，若，，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)(2)0(3)，证明见解析
【详解】（1）解：如图1：
∵，∴，∵是的一个外角∴，
∵是的一个外角∴，∴．
（2）解：如图2：∵，∴，
∵平分，∴∵∴，∴，
又∵∴，
又∵，∴
∴．
（3）解：，证明如下：由（1）得：，
又根据“燕尾形”可得，，
∵平分，平分，∴，
∴
∴，即，
又∵∴，
又∵，∴∴．
23．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数．
归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________，并给予证明．
应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_________．
拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设
①试说明与的数量关系；②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）．
【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形；
【详解】解：计算：∵，∴，
∵，∴，
∴，∴；
归纳：；
证明：，．
，，
，，
∴，
∴，∴；
应用：∵在纸片中剪去，得到四边形．∴结合归纳可得：，
∵，∴；
拓展：①如图，∵，分别平分外角，，∴，，
∴
，；
②当时，，，为钝角三角形；
当时，，为直角三角形；
当时，，，
由题意可得，，，都是锐角．为锐角三角形．
24．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果）
【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或
【详解】（1）解：；
，分别是和的平分线，，，
，，
，，；
（2）证明：，分别是，的平分线，，，
，，，，
，，
，由（1）知，；
（3）解：①是的平分线，是的平分线，，，
，，，
由（2）知，；
②延长至点F，是的外角的平分线，
是的外角的平分线，，
是的平分线，
，即，
，即，
是的平分线，是的平分线，，，
，，
在中，与都是锐角，
当时，，，，，
当时，，，，
综上所述，的度数为或．
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专题1.3 证明
1. 理解证明的概念，并能正确表达证明的解题步骤及正确的逻辑推理；
2. 了解三角形的外角的概念；掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
3. 会利用三角形的外角性质解决问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.证明与推理的相关概念 2
考点2.写出命题的已知求证和证明过程 4
考点3.逻辑推理 5
考点4.代数背景推理 7
考点5.几何背景推理 8
考点6.证明外角性质定理 10
考点7.外角性质的相关计算 13
考点8.内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题） 15
考点9.三角形倒角相关问题 19
模块3：培优训练 23
1.证明的概念
要判定一个命题是 ，往往需要从命题的 出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论 。这样的推理过程叫做 。
2．证明的解题步骤
1）按题意画出图形；2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程。
3.三角形的外角：∠ACD是由三角形ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，叫做三角形的 ．
4．三角形的外角性质
①三角形的一个外角等于和它 的两个内角的和；②三角形的一个外角 和它不相邻的任何一个内角；③三角形的外角和为360°。
考点1.证明与推理的相关概念
例1．（24-25八年级上·山东·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做 ．
要说明一个命题是假命题，通常可以通过 的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的 的实例．
变式1．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）下列说法中，不正确的是（ ）
A．如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
B．要证一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
C．基本事实正确与否必须用推理的方法来证实
D．定理正确与否必须用推理的方法来证实
变式2．（24-25八年级上·湖北·月考）下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是（　　）
A．基本事实和定理都是真命题
B．基本事实就是定理，定理也是基本事实
C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据
D．基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明
变式3．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
考点2.写出命题的已知求证和证明过程
例1．（24-25七年级下·江苏南京·期中）证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
变式1．（24-25八年级上·广西梧州·阶段练习）如图，点在上，直线交于点．请从①，②平分，③中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并求证．
已知：______，求证：______．（只须填写序号）
证明：
变式2．（24-25·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明．
变式3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）请将三角形内角和定理的推论补充完整并加以证明．
定理：三角形的外角等于_____________________的和．
已知：
求证：
考点3.逻辑推理
例1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是 ．
变式1．（24-25山东·七年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
变式2．（24-25九年级下·湖南长沙·阶段练习）卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强．
下表是世界杯E组积分表：
排名 球队 积分
1 日本 6
2 西班牙 4
3 德国 4
4 哥斯达黎加 ？
如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在一次游戏活动中，老师将一枚硬币给小明，小刚和小华三个同学中的一个（其他同学不确定硬币在谁手里）．小明说：“硬币在我手上”；小刚说：“硬币不在我手上”；小华说：“硬币肯定不在小明手上”．三个同学只有一个说对了，则硬币在 的手上．
考点4.代数背景推理
例1．（2025·福建泉州·二模）已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）阅读与应用
能够被2整除的整数叫做偶数，不能被2整除的整数叫做奇数．
奇偶数的运算性质：
奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数．
奇数奇数奇数，奇数偶数偶数，偶数偶数偶数．
已知有理数a、b、c、d，满足，问的值是否可能为1？若可能，写出一组a、b、c、d的值；若不可能，请说明理由．
变式2．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知整数a，b，m，n满足．
(1)求证：为非负数；(2)若n为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
考点5.几何背景推理
例1．（24-25八年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（ ）
A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子
变式1．（24-25七年级下·山东·课后作业）如图是一个“飞镖形”四边形．用两种不同的方法证明．
变式2．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，求证：．
（1）以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明
【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴，，∴
【应用】利用（1）中所证明的结论解决下列问题：
（2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，，请直接写出的度数，不需要说明理由；（3）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，猜想与的数量关系，并说明理由．
考点6.证明外角性质定理
例1．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
变式1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）请用两种方法证明：四边形的外角和为．
已知：如图，四边形，、、、是它的外角．求证：
方法一： 方法二：
证明： 证明：
变式2. （24-25·江苏·苏州市八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
变式3．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图所示，已知：是的外角，求证：．
考点7.外角性质的相关计算
例1．（24-25七年级下·福建莆田·期末）一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为，在同一平面内，将逆时针旋转后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·四川内江·期末）如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，．(1)求证：；(2)若，，求的度数．
考点8.内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）
例1．（24-25八年级下·湖北·期中）（1）如图①，分别是的两个内角和的平分线，则与之间的关系是_________（直接写出结论）；
（2）如图②，分别是的两个外角和的平分线，则与之间的关系是______，请证明你的结论；
（3）如图③，分别是的一个内角和一个外角的平分线，则与之间的关系是__________，请证明你的结论．
变式1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2． （24-25·苏州八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
变式3．（24-25·山西阳泉八年级期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
测量和度数
测量工具 量角器
示意图 与的平分线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
… …
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
考点9.三角形倒角相关问题
例1．（24-25七年级下·扬州·期中）如图，∠BDC ＝110°，∠C ＝38°，∠A＝35°，∠B的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·甘肃天水·期末）如图所示，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是 度．
变式2．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ．
变式3．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）（1）如图①，求证：；
（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，求椅面和椅背的夹角的度数；
（3）如图③，，则的度数为 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·重庆·期中）下列说法正确的是( )
A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，但不是真命题
C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是真命题只要举出一个反例即可
2．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：

证明：如图，，．
，，，
已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（ ）
A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则
C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等
3．（2025·山西·二模）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想
4．（24-25七年级下·湖北·课后作业）当n是正整数时，一定是（ ）．
A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数
5．（2024·湖南长沙·模拟预测）张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张
A． B． C． D．
6．（24-25·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7.（24-25龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．36° B．72° C．50° D．46°
8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（ ）
A．240° B．360° C．540° D．720°
9．（24-25·江苏·七年级统考期中）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25·河北保定·八年级校考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·广东·课后作业）从命题的 出发，根据 ，用“因为，所以”的形式一步一步推出命题的 ，从而确定这个命题为真命题的过程称为证明．
12．（24-25东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为
13．（24-25七年级下·广东·期中）如图，E是，CD外一点，．求证：．
证明： ； ，
（等量代换）． ．
14．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数
篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17
足球 12 游泳 4 实心球
排球 2
表中的 ；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有 人．
15．（2025·福建泉州·二模）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线所在的直线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为凹透镜的焦点．若，，则的度数为 ．
16．（24-25八年级上·北京·期末）本学期，学生自主开展的羽毛球社团举办了一场羽毛球比赛，来鼓励支持大家的兴趣发展，在比赛中进一步提升综合能力．为参加这场比赛，甲、乙、丙三人进行赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判8局，乙、丙分别进行了12局、11局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·湖北·校考一模）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．
德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．
请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形，写出已知、求证和证明．
18．（24-25·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．
求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：
(2)根据第二种思路，完成证明．
19．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，．
(1)求证：为正数；(2)若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由．
20．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）阅读材料并回答问题：
在平面内，由不在同一直线上的五条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做五边形．而有一个角与它的两个邻角的和等于度的五边形，叫做平五边形．其中是平五边形的边，，，，，是平五边形的角．
平五边形定义对应的符号语言是：
如图1，五边形是平五边形
反之：五边形是平五边形
(1)如图2，在五边形中，，，，求证：五边形是平五边形．
(2)如图1，五边形是平五边形，且．请你探索平五边形关于边的位置关系的一条性质，用符号语言写出你的猜想：__________，（写出结论即可）并说明理由．
(3)如图3，五边形是平五边形，，，过点D做直线，N是直线上一点（点N与点D不重合且不在直线上），，补全图形并直接写出的度数．
21．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）【定理证明】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．在下面的虚框中补充该定理的证明过程；
已知：如图，是的外角．求证：．证明：
【问题解决】如图1，在中，若，则叫作的“三分线”．
（1）如图2，在中，的三分线分别与的平分线交于点，若，，求的度数；（2）是的外角，的靠近的三分线与的三分线交于点P．若，，直接写出的度数（用含m的代数式表示）．
22．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知、交于．
(1)如图1，若，求的值；(2)如图2，若，平分，求的值；(3)如图3，若，，平分，平分，探究与的数量关系，并证明你的结论．
23．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数．
归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________，并给予证明．
应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_________．
拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设
①试说明与的数量关系；②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）．
24．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．
（1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果）
【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明．
【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中．
①请说明与之间的数量关系．
②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数．
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