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2024-2025 学年云南省煤炭第一中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∈ +2 2 ≤ 0 ， = = lg 1 ，则 ∩ =( )
A. 2,1 B. 2,1 C. 2, 1,0 D. 0
2 1 8.在 ，点 是中线 上一点(不包含端点)，且 = + ，则 + 的最小值是( )．
A. 8 B. 16 C. 18 D. 25
3.设函数 = 2 1，命题“ ∈ 1,3 , ≤ + 2”是假命题，则实数 的取值范围为( )
A. ∞, 37 B. ∞,3 C.
3
7 , + ∞ D. 3, + ∞
4.一组数据 1， 2，…， 10满足 1 = 2(2 ≤ ≤ 10)，若去掉 1， 10后组成一组新数据，则新数据与
原数据相比，下列说法正确的是( )
A.方差变小 B.平均数变大 C.极差变大 D.中位数变小
5.如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， ⊥ ， = ，若 + = 2，则三棱锥
外接球半径的最小值为( )
A. 17 B.
7 2 2 7
7 C. 7 D. 7
6 cos + = 3 , 17 < < 7 sin2 +2
2
.已知 4 5 12 4，则 1 tan =( )
A. 28 28 21 2175 B. 75 C. 100 D. 100
7.已知函数 = 1 2 在 上单调递增，则 的最小值为( )
A. 0 B. 1 C. 1 D.
8.过点 1,0 可以作两条直线与曲线 = +ln 相切，则实数 的取值范围是( )
A. 1, B. 5 5 1 2 , C. , D. , 0
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.若 3 = 6 4 ，则 的值为 6
B.若 1 2 8 = 0 + 1 + 22 + … + 88 ，则 1 + 2 + 3 + … + 8 = 0
C. 5555被 8 除的余数为 7
D. 1 1 3已知随机变量 4, 2 ，若 ( ≥ 6) = 5，则 (4 < < 6) = 5
2 210.已知双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 =± ，左、右焦点分别为 1, 2，过点 2的直
线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，则( )
A.双曲线 的离心率为 2
B.若 ⊥ 1 2，则| | = 2 1 2
C.若| | = 1 ，则 tan∠ 1 = 3 7
D.若 = 2，直线 的倾斜角为 60 ，则| | = 4 2
11.若函数 ( )为函数 ′( )的导函数，且对于任意实数 0，函数值 0 ， ′ 0 ， 0 均为递增的等差
数列，则( )
A.函数 = ( )可能为奇函数 B.函数 = ( )存在最大值
C.函数 = ( )存在最小值 D.函数 = ( )有且仅有一个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 4+2 .设 是虚数单位，则复数(1 )2 1 2 等于 ．
13 1+ .已知 是首项为 ，公差为 1 的等差数列， = ，若对任意的 ∈ ，都有 ≤ 5成立，则实数
的取值范围是
14.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 + 2 2 = ， = 2，则 2 2的取值范
围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知抛物线 : 2 = 2 > 0 : + 的焦点 为椭圆 9 5 = 1 的右焦点，且 的左、右顶点分别为 ， ．
(1)求 的方程；
(2)求以 为直径的圆的标准方程；
(3)设过点 且倾斜角为 135 的直线 与 交于 ， 两点，求 ．
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16.(本小题 15 分)
如图，在六面体 1 1 1 1 中，平面 //平面 1 1 1 1 ， 1// 1 = 2 1 1 = 2， = 2 1 1 =
2 2．
(1)求证： //平面 1 1 ；
(2)若 1 ⊥平面 ， = 2， 1 = 1，求直线 1与平面 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 满足 1 = 1, 2 = 3, +2 = 3 +1 2 ( ∈ ).
( )证明：数列 +1 是等比数列；
( )求数列 的通项公式；
( )若数列 满足4 1 14 2 1. . . 4 1 = ( + 1) ( ∈ ),证明 是等差数列
18.(本小题 17 分)
函数 = ， ∈ ．
(1)证明：当 = 1 时， > ln + 1．
(2)当 ≥ 0 时， ≥ ( + 1)2恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资
2 3
源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中5的人选择只游览海滨栈道，另外5的
人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记 1 分；若选择既游览海滨
栈道又到海滨公园游玩，则记 2 分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取 2 人，记这 2 人的合计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取 个人 ∈ ，记这 个人的合计得分恰为 + 1 分的概率为 ，求 =1 ；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为 分 ∈ 的概率为 ，随着抽取人数的无限增加，
是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13. 4, 3
14. 4, + ∞
15.【详解】(1)因为 9 5 = 4，所以 的右焦点坐标为(2,0)，

所以2 = 2，即 = 4，
所以 的方程为 2 = 8 ．
(2)依题意得 的坐标为( 3,0)，
1
所以线段 的中点坐标为 2 , 0 ．
| | 5因为以 为直径的圆的半径 = 2 = 2，
2
所以以 1为直径的圆的标准方程为 + 2 +
2 = 254．
(3)依题意可得直线 的方程为 = + 3．
= + 3,
由 2 = 8 , 得
2 14 + 9 = 0．
设 1, 1 ， 2, 2 ，则 = 142 36 > 0， 1 + 2 = 14， 1 2 = 9，
则 = 1+ 2 1 = 2 + 22 1 2 4 1 2 = 2 × 160 = 8 5．
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16.【详解】(1)设 ， 中点分别为 ， ，连接 1， 1；
由于平面 //平面 1 1 1 1，平面 ∩平面 1 1 = ，
平面 1 1 1 1 ∩平面 1 1 = 1 1，
所以 // 1 1，
1
又 是 的中点，则 = 2 ，
= 1由于 1 1 2 ，所以 // 1 1， = 1 1，
所以四边形 1 1是平行四边形，所以 1// 1，
同理，可得 1// 1
又 1// 1，所以 1// 1.
所以确定平面 1 1，又平面 1 1 ∩平面 = ，
平面 1 1 ∩平面 1 1 1 1 = 1 1，
所以 // 1 1，
由于 是 的中位线，则 // ，
所以 // 1 1，
而 1 1 平面 1 1， 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)在 中，因为 = 2， = 2， = 2 2，
所以 2 = 2 + 2，则 ⊥ ．
由于 1 ⊥平面 ，
所以以 为原点， 、 、 1分别 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 2,0,0 ， 0,2,0 ， 0,0,0 ， 1 1,1,1 ，
所以 = 0,2,0 ， 1 = 1,1,1 ， 1 = 1,1,1 ，
设平面 1的一个法向量为 = ( , , )，
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= 0 2 = 0
，所以 ,
1 = 0 + + = 0
取 = 1，则 = 0, = 1，
所以 = ( 1,0,1)为平面 1的一个法向量．
设直线 1与平面 1所成角为 ，

则 sin = cos , 1 2 61 = 1
= 2× 3 = 3 ，
6
所以直线 1与平面 1所成角 的正弦值为 3 ．
17.【详解】( )证明：∵ +2 = 3 +1 2 ,
∴ +2 +1 = 2( +1 ),
∵ 1 = 1, 2 = 3,

∴ +2 +1 = 2( ∈
).
+1
∴ +1 是以 2 1 = 2 为首项，2 为公比的等比数列．
( )解：由( )得 +1 = 2 ( ∈ ),
∴ = ( 1) + ( 1 2) + . . . + ( 2 1) + 1
= 2 1 + 2 2 + . . . + 2 + 1
= 2 1( ∈ ).
( )证明：∵ 4 1 14 2 1. . . 4 1 = ( + 1) ,
∴ 4( 1+ 2+...+ ) = 2 ,
∴ 2[( 1 + 2 + . . . + ) ] = ,①
2[( 1 + 2 + . . . + + +1) ( + 1)] = ( + 1) +1.②
② ①，得 2( +1 1) = ( + 1) +1 ,
即( 1) +1 + 2 = 0.③
+2 ( + 1) +1 + 2 = 0.④
④ ③，得 +2 2 +1 + = 0,
即 +2 2 +1 + = 0,
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∴ +2 +1 = +1 ( ∈ ),
∴ 是等差数列．
18.【详解】(1)证明： = 1 时，要证 > ln + 1，即 ln 1 > 0．
设 = ln 1，则 ′ = 1 1 ， > 0．
设 = 1 1 1 ， > 0，则 ′ =
+ 2 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立．
所以 1′ = 1 在 0, + ∞ 上单调递增．
1
又 1′ 1 = 2 > 0， ′ 22 = 3 < 0，则方程 ′ = 0 只有一解，设为 0，
1 1
且 0 ∈ 2 , 1 ，
0 1 = 0，0
当 0 < < 0时， ′ < 0，当 > ′0时， > 0．
所以 在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增．
所以 ( )min = 0 = 0 0 ln 0 1 =
1
0 ln 0．0
1因为 0 ∈ 2 , 1
1 1
，所以 > 1， 0 < 1，ln 0 < 0，所以0
0 ln 0 > 0．
0
即 ( ) min > 0，所以 ln 1 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立．从而原命题成立．
(2)当 ≥ 0 时， ≥ ( + 1)2 ≥ ( + 1)2 ≤ ( + 1)2，
当 = 0 时，上式恒成立，即 ∈ ；
2
当 > 0 时， ≤ ( +1) ．
= ( +1)
2
设 , > 0，
2
= [ 2 +1 +1) = 1
1
则 ′ 2 2 ，
设 = 1， > 0，则 ′ = 1 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立，
即 在 0, + ∞ 上单调递增，
又 0 = 0 0 1 = 0，所以 1 > 0 在 0, + ∞ 上恒成立．
所以由 ′ > 0 > 1，由 ′ < 0 0 < < 1．
所以 在 0,1 上单调递减，在 1, + ∞ 上单调递增．
所以 ( )min = 1 = 4，所以 ≤ 4．
综上可知： 的取值范围为 ∞, 4 ．
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19.【详解】(1)依题意，随机变量 的可能取值为 2,3,4，
则 ( = 2) = ( 2 )2 = 4 2 3 12 3 95 25， = 3 =
1 2
2 × 5 × 5 = 25， ( = 4) = ( 5 ) = 25
所以 的分布列如下表所示：
2 3 4
4 12 9
25 25 25
4 12 9 16
数学期望为 ( ) = 2 × 25 + 3 × 25 + 4 × 25 = 5．
(2)由这 人的合计得分为 + 1 分，得其中只有 1 人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
3 2 3 2 1 3 2 2
于是 = 1 1 5 ( 5 ) = 5 = 2 (

5 ) ，令数列{ ( 5 )
}的前 项和为 ，
则 = 1 ×
2 + 2 × ( 2 2 2 3 2 5 5 ) + 3 × ( 5 ) + + × ( 5 ) ，
2 2 2 2 2 2于是 3 +15 = 1 × ( 5 ) + 2 × ( 5 ) + + ( 1) × ( 5 ) + × ( 5 ) ，
2 2
3 2 2
两式相减得 = + ( )2 + ( 2 )3
[1 ( ) ]
5 5 5 5 + + (
2 ) 5 × (
2 ) +15 =
5 5
2 × (
2
5 )
+1
1 5
= 2 10+6 × ( 2 ) = 10 10+6 ( 2 3 15 5 ，因此 9 9 5 ) ，
3 5 5+3 2
所以 = + + + + = = ( ) =1 1 2 3 2 3 3 5 ．
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为 1 分的基础上再抽取 1 人，则这些人的合计得分可能为 分或 +
1 分，
记“合计得 分”为事件 ，“合计得 + 1 分”为事件 ， 与 是对立事件，
则 ( ) = ( ) = 3 ， 5
3
1， + 5 1 = 1( ≥ 2)
5 3 5
，即 8 = 5 ( 1 8 )( ≥ 2)，
由 = 2 5 9 5 9 31 5，得 1 8 = 40，则数列{ 8 }是首项为 40，公比为 5的等比数列，

5 9 3 1
8 = 40 ( 5 ) ( ≥ 1) =
5
，因此 8
9 3 1
40 ( 5 ) ( ≥ 1)，
随着 3 5的无限增大，( 15 ) 无限趋近于 0， 无限趋近于8，
5
所以随着抽取人数的无限增加， 趋近于常数8．
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