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2024-2025 学年开远市第一中学校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = { |1 < + 1 < 4}， = { | 2 < 4}，则 ∩ =( )
A. (0,2) B. ( 2,0) C. ( 1,2) D. ( 1,0)
2 2 i.已知复数 = 1 i，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 1 12 2 C. 2 D. 2 i
3.已知 ∈ ，则“ > 1”是“过点 ( , 0)有两条直线与圆 : 2 + 2 = 1 相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.双曲线 2 2 = 1( > 0)的一条渐近线方程为 3 = 0，则 =( )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 2
5 π π π π.设 ∈ 4 , 2 ，则 sin ，cos ，sin 2 ，cos 2 + 的极差是( )
A. 2sin B. 2cos C. 2sin π4 D. 2sin
π
4
6.记单调递增的等差数列 的前 项和为 ，若 1 = 2 且 1 5 = 2 3，则 10 =( )
A. 70 B. 65 C. 55 D. 50
2
7 .已知函数 ( ) = +1，则函数 ( )的图象的对称中心的坐标为( )
A. ( 1, 3) B. ( 1,3) C. ( 1, 2) D. ( 1,2)
8.已知 ， 是抛物线 ： 2 = 4 上关于 轴对称的两点， 是抛物线 的准线与 轴的交点，若直线 与抛
物线 的另一个交点为 (4,4)，则直线 的方程为( )
A. 2 4 = 0 B. 4 3 4 = 0 C. 2 + 4 = 0 D. 4 5 + 4 = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( ,3), = (1, ), = + ，若 ⊥ ，则实数 的值可以为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
10.四棱锥 的底面为正方形， ⊥ ， ⊥ ， = 2， = 1，动点 在线段 上，则( )
A.直线 与直线 为异面直线
B.四棱锥 的体积为 2
C.在 中，当 ⊥ 2时， = 9
D.四棱锥 的外接球表面积为 6π
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11.已知函数 ( ) = sin + cos ，则( )
A. ( )在 上是增函数
B. ( )的极大值点为 = 2 ， ∈
C. ( )有唯一的零点
D. ( ) π的图象与直线 = + 2相切的点的横坐标为 = 4 + 2 π， ∈
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
6
12 1.二项式 2 的展开式中的常数项为 ．
13.若实数 > 1 > > 0，且 2 + 2 = 2 + 2 1 1，则 1+ 的最小值为 ．
14 .对给定的数列 ≠ 0 ，记 = +1 ，则称数列 为数列 的一阶商数列；记 =
+1
，则称数
列 为数列 的二阶商数列；以此类推，可得数列 的 阶商数列 ∈ ，已知数列 的二阶商数
列的各项均为 e，且 1 = 1, 2 = 1，则 10 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
1已知 的内角 , , 的对边分别为 , , , △ 的面积为2 sin + sin sin ．
(1)求 ；
(2)若 = 2，且 的周长为 5，设 为边 中点，求 ．
16.(本小题 15 分)
某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发
放 50 份问卷调查，有 34 名男同学，16 名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：
(1)完成下面的列联表，并依据 = 0.1 的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
玩过网游 没玩过网游 总计
男生
女生
总计
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(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查 5 名学生，记其中玩过网游的人数为 ，求
( = 2)和 ( )．
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， /\ !/ ， = 2 = 4， 是等边三角形， 为
的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 = 3 ，求平面 与平面 夹角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 2 ，定义域为(0, + ∞)．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)求当函数 ( )有且只有一个零点时， 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点 和上顶点为 关于直线 4 2 3 1 = 0 对称．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)点 ， 为椭圆 上两个动点，直线 ， 1的斜率之积为 4， ⊥ ， 为垂足，求| |的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.60
13.4
14.e36
15. 1【详解】(1)依题意，2 sin + sin sin =
1
2 sin ，
所以 sin + sin sin = sin ，
由正弦定理可得， 2 + 2 2 = ，
由余弦定理， 2 + 2 2 = 2 cos cos = 1，解得 2，
π
因为 ∈ 0, π ，所以 = 3；
(2)依题意， + = 5 = 3，
因为 2 + 2 = ( + )2 3 = 2，解得 = 53，
因为 = 1 + 2
，
2 2 2 2 2 3
2 5
所以 = 1 4 +
= + + = ( + ) 4 4 =
3
4 =
11
6，
66
所以 = 6 ．
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16.【详解】(1)由题意可得列联表：
玩过网游 没玩过网游 总计
男生 22 12 34
女生 8 8 16
总计 30 20 50
零假设 0：大学生喜欢玩网游与性别无关，
2 = 50(22×8 12×8)
2 50
则 34×16×30×20 = 51 ≈ 0.980 < 2.706 = ，
根据 = 0.1 的独立性检验可知：假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关．
(2) 30 3用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为 = 50 = 5，
3
由题意可知：玩过网游的人数 5, 5 ，
( = 2) = C2 × 3
2 3
所以 5 5 × 1
3
5 =
144 3
625， ( ) = 5 × 5 = 3．
17.【详解】(1)由于 是等边三角形， 为 的中点．
故 是等边 的中线，则 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 平面 内，可得 ⊥ ，
且 ∩ = ， , 平面 ，可得 ⊥平面 ，
由 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)取 的中点 ，连接 , ，
因为 是 的中点，可知 是三角形 的中位线，故 // ．
因为 ⊥平面 ， // ，
所以 ⊥平面 ，即 , , 三线两两垂直．
以 为坐标原点， , , 的方向分别为 , , 轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
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则由 = 4， = 2， = 12 = 2， = =
1
2 =
1
2 = 3，
则 = 2 2 = 36 9 = 3 3，
可得 (3,0,0)， 0,3 3, 2 ， ( 3,0,4)，
则 = 3,3 3, 2 ， = ( 6,0,4)．
→
设平面 的法向量为 = ( , , ) · = 3 + 3 3 + 2 = 0，则 ,
→
· = 6 + 4 = 0
令 = 2，则 = 0， = 3，故 = (2,0,3)．
由题意可知：平面 的一个法向量为 = (1,0,0)．
可得 cos , = =
2 2 13
13×1 = 13 ，
所以平面 与平面 3 13夹角的余弦值为 13 ．
2
18. 2 + 【详解】(1)因为 ′( ) = + 2 = ，
(ⅰ)当 = 2 8 ≤ 0，即 0 ≤ ≤ 8 时，则 ′( ) ≥ 0 在(0, + ∞)内恒成立，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递增；
(ⅱ)当 = 2 8 > 0，即 > 8 或 < 0 时，可知 2 2 + = 0 有两个不相等的根 1, 2，
=
2 8 , = +
2 8
不妨令 1 4 2 4 ，可知 1 < 2，
1 + 2 = < 0
①若 < 0，因为 2 ，可知
1
< 0 < 2，
1 2 = 2 < 0
令 ′( ) > 0，解得 > ；令 ′2 ( ) < 0，解得 0 < < 2；
可知 ( )在 0, 2 内单调递减，在 2, + ∞ 内单调递增；
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+ = 1 2 > 0
②若 > 8，因为 2 ，可知 0 < < = > 0 1 2
，
1 2 2
令 ′( ) > 0，解得 > 2或 0 < < ′1；令 ( ) < 0，解得 1 < < 2；
可知 ( )在 1, 2 内单调递减，在 0, 1 , 2, + ∞ 内单调递增；
综上所述：当 0 ≤ ≤ 8 时， ( )在(0, + ∞)内单调递增；
+ 2 8 + 2 8
当 < 0 时， ( )在 0, 4 内单调递减，在 4 , + ∞ 内单调递增；
2 2 > 8 ( ) 8 , + 8 0,
2 8 , +
2 8
当 时， 在 4 4 内单调递减，在 4 4 , + ∞ 内单调递增．
(2)若 = 0，可知 ( ) = 2在(0, + ∞)内无零点，不合题意，可知 ≠ 0
( ) = ln + 2 = 0 1 = ln 令 ，整理得 2 ，
构建 ( ) = ln 2 , > 0，
1
原题意等价于 = ( )与 = 的图象有且仅有一个交点，
′( ) = 1+2ln 因为 3 , > 0，
构建 ( ) = 1 + 2ln , > 0，则 ′( ) = 1 + 2 2 = , > 0，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 2；令 ′( ) < 0，解得 > 2；
可知 ( )在(0,2)内单调递增，在(2, + ∞)内单调递减，
则 ( ) ≤ (2) = 3 + 2ln2 < 0，即 ′( ) < 0 在(0, + ∞)内恒成立，
可知 ( )在(0, + ∞)内单调递减，
且当 趋近于 0 时， ( )趋近于+∞；当 趋近于+∞时， ( )趋近于 0 且 ( ) > 0；
( )的大致图象如图所示，
1
可得 > 0，即 > 0，所以 的取值范围为(0, + ∞)．
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19.【详解】(1)由点 ( , 0)和 (0, )关于直线 4 2 3 1 = 0 对称，
由直线 4 2 3 1 = 0 2 3 3的斜率为 3，可得直线 的斜率为 2 ，有 = 2 ①，
又由线段 的中点 2 , 2 在直线 4 2 3 1 = 0 上，有 2 3 1 = 0②，
联立方程①②解得 = 2， = 3，
2 2
故椭圆 的标准方程为 : 4 + 3 = 1；
(2)设 1, 1 ， 2, 2 ，由题意得直线 斜率不为零，设 : = + ，
= +
由 2 2 ，得 3( + )2 + 4 2 12 = 0，即 3 2 + 4 2+ + 6 + 3
2 12 = 0，
4 3 = 1
1 +
6
2 = 3 2+4
所以 2 2 2
= 3
2 12，且 = 36 4 3 + 4 3 12 > 0，
1 2 3 2+4
故 3 2 2 + 4 > 0，
1 由 1 2 1 = 4，得 2 2 = 4，即 4 1 2 + 1 2 2 2 = 0，1 2
所以 4 1 2 + ( 1 + 2) 2 + 2 = 0，
所以 4 + 2 1 2 + ( 2) 1 + 2 + ( 2)2 = 0，
3 2 12
所以 4 + 2 3 2+4 + ( 2)
6 + ( 2)23 2+4 = 0，化简得
2 2 = 0，
所以 = 2 或 = 1，
若 = 2，则直线 : = + 2 过椭圆的右顶点，不符合题意，所以 = 1，
所以 : = 1 过定点 ( 1,0)，因为 ⊥ ， 为垂足，
所以 在以 为直径的圆上，| | = 2 1 3， 的中点为 2 , 2 ，又 (2,0)，
1
所以| | = (2 + 2 )
2 + ( 32 )
2 = 7．
所以| |的最小值为| | | |2 = 7 1，
即| |的最小值为 7 1．
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