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四川省资阳市2025年中考数学二模试题
1．（2025·资阳模拟）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·资阳模拟）下列代数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·资阳模拟）如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．青 B．春 C．激 D．情
4．（2025·资阳模拟）因举办第九届亚冬会，2025年春节期间哈尔滨市累计接待游客约1200万人．将数“1200万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·资阳模拟）已知直线，将一块含角的直角三角板按图方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·资阳模拟）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025·资阳模拟）如果关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
8．（2025·资阳模拟）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·资阳模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为，则其身高可能是(　　)
A． B． C． D．
10．（2025·资阳模拟）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·资阳模拟）已知，则 　 　．
12．（2025·资阳模拟）“”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是　 　．
13．（2025·资阳模拟）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是　 　．
14．（2025·资阳模拟）如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．
15．（2025·资阳模拟）如图， 正方形中，， 点E为正方形外一点， 且 将绕点A 逆时针方向旋转得到， 的延长线交 于点 H． 若 ， 则的长为　 　．
16．（2025·资阳模拟）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为　 　．
17．（2025·资阳模拟）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·资阳模拟）某学校为丰富教师的业余生活，组织全体教师开展以下体育活动：A．篮球，B．气排球，C．乒乓球，D．羽毛球．为了了解教师最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分教师进行调查(每位教师必选且只能选择一项)，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请回答下列问题：
（1）这次被调查的教师共有 人，在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有多少人？
（3）在平时的羽毛球项目练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名教师中任选2人参加羽毛球比赛，请用树状图或列表的方法求恰好选中甲、丙两位教师的概率．
19．（2025·资阳模拟）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元．
（1）求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？
（2）该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？
20．（2025·资阳模拟）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
21．（2025·资阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，的取值范围为________；
（3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积．
22．（2025·资阳模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处测得大楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为，楼的高度为，从楼的A处测得楼的D处的仰角为．（点A、B、C、D、P在同一平面内）
（1）求楼的高度；
（2）求此时无人机距离地面的高度．（精确到1米，）
23．（2025·资阳模拟）如图，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接．
（1）求证∶ ；
（2）如图2， 当时， 求 的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
24．（2025·资阳模拟）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知，，，分别为“果圆”与坐标轴的交点， 与“果圆”中的抛物线交于，两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，为直线下方“果圆”上一点， 连接，，， 设与 交于点， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C． ，选项正确，符合题意；
D．，选项错误，不符合题意．
故选C．
【分析】
同底幂的乘法，底数不变，指数相加；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
积的乘方，先给每一个因式乘方，再把所得的幂相乘；
两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
3．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“点”与“春”是对面，
“燃”与“情”是对面，
“青”与“激”是对面，
故选：B．
【分析】
正方体的展开图不能出现“田字格”或“凹字型”，一行不能超过四个正方形．
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1200万．
故选D．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
5．【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】
过点C作，由平行公理可得，再由两直线平行内错角相等可得，则，再根据直角三角形两锐角互余即可得即可．
6．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，再求解即可。
8．【答案】A
【知识点】正方形的性质；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【分析】
先由割补法表示出，则可得与之间函数关系式，再进行判断即可得出结论．
9．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：头顶至咽喉的长度为26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度为，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度为cm，
即有该人的身高为110+68=178cm，
故选B．
【分析】
若点C把线段AB分别两条线段AC和BC，其中AC>BC，若存在AB：AC=AC：BC，则点C叫AB的黄金分割，AB与AC的比叫黄金比，且黄金比等于．
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴垂直平分，
故①正确．
由①可知，，
∴，
∴，
∴，
由①可知，
∴．
故③正确．
∵为正方形，且边长为4，
∴，
∴在中，．
由①可知，，
∴，
∴．
由图可知，和等高，设高为h，
∴，
∴，
∴，
∴．
故④错误．
由①可知，，
∴，
∴M关于线段的对称点为D，过点D作，交于，交于，
∴最小即为，如图所示，
由④可知的高即为图中的，
∴．
故②不正确．
综上所述，正确的是①③共两个．
故选：B．
【分析】
由于BF=CE，则由正方形的性质可证，则由全等三角形的对应角相等可证，又平分，则可利用ASA证明， 从而推出①的结论；
由①中结论可知PD=PM，显然当D、P、N三点共线时最小，此时可由的面积公式得，故 ②结论不正确；
由于可证，则由相似比可得，等量代换可得③的结论；
由①中的和勾股定理可分别求出和长度，则，又这两个三角形的面积和等于正方形ABCD面积的一半，则可求出，故结论 ④ 不正确．
11．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴-2+3=1，
故答案为1．
【分析】
如果几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，注意常见的非负数有绝对值、算术平方根和完全平方式．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： “”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件概率的计算，直接利用字母“e”的个数在单词“”中的占比计算即可．
13．【答案】
【知识点】代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x-y=2，
∴，
故答案为：
【分析】先根据新定义运算即可求出x-y=2，再根据题意即可求解。
14．【答案】．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO=2，
∴AD=OA sin60°=2×．
∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOC==．
【分析】
由于扇形AOB的中心角是120度且点C是弧AB的中点，因此可连接OC，再过点A作OC的垂线段AD，则可证明和都是等边三角形，由等腰三角形三线合一知AD平分OC，则解可求出AD的长，则和面积可求，再利用割补法即可求出阴影部分面积，即用扇形AOB的面积减去四边形AOBC的面积.
15．【答案】17
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∵绕点A 逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：17 ．
【分析】
由旋转的性质可得AE=AF、BE=DF，因为都是直角则可证明四边形是正方形，则也是直角，则在中应用勾股定理可求出答案．
16．【答案】
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设与交于点O.
矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
，
矩形ABCD中，
矩形ABCD中
故答案为：．
【分析】
由作图可知平分，设与交于点O，由角平分线的概念和垂直的定义可证明，则，再由勾股定理可得，则；由于矩形的对边平行，则可证，由相似比可得，再直接利用勾股定理即可求得.
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
18．【答案】（1）40；
（2）解：由（1）可知，C的人数为人，补全统计图如下：
人，
∴若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有80人；
（3）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名教师，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、丙两位教师的结果数有2种，
∴恰好选中甲、丙两位教师的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴这次被调查的教师共有40人，
∴在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为；
【分析】
（1）观察扇形统计图与条形统计图，可用A的人数除以其人数占比（圆心角度数与周角的度数之比）即可求出参与调查的人数，再用360度乘以D的人数占比即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出C的人数，进而补全统计图，再用200乘以样本中B的人数占比即可得到答案；
（3）两步试验可利用画树状图或列表格法求概念，画树状图时注意不重复不遗漏，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：人，
∴这次被调查的教师共有40人，
∴在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为；
（2）解：由（1）可知，C的人数为人，
补全统计图如下：
人，
∴若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有80人；
（3）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名教师，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、丙两位教师的结果数有2种，
∴恰好选中甲、丙两位教师的概率为．
19．【答案】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元；
（2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即购买这 50 件奖品到少花费 690 元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据等量关系“ 购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元 ”列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买种奖品m个，则购买种奖品个，根据不等关系“ A种奖品的数量不多于B种奖品数量的”列不等式，得到m的取值范围，令购买费用为，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元；
（2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即购买这 50 件奖品到少花费 690 元．
20．【答案】（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）过点D作于点H，由切线的性质可得，再根据角平分线的性质可得即可；
（2）由角平分的概念可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据弧长公式求解即可．
（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
21．【答案】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）或
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
四边形的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（2）
解：∵，
∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方，
又∵，
∴由图像可知或．
【分析】
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）观察图像找出直线在双曲线下方时对应的自变量x的取值范围即可；
（3）如图，先利用直线上点的坐标特征求出直线AB与y轴交点的坐标为，再分别过点A、B作y轴的垂线AF、BE，即可知，，再利用割补法即可，即四边形的面积．
（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方，
又∵，
∴由图像可知或．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
四边形的面积
．
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点得矩形，
则，．
在中，，，
∴
∴
∴
∴
答：楼高度为60米；
（2）解：如图，作交于点，交于点G，
则，，
依题意，知，，
，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴无人机距离地面的高度约为97米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）如图，过点A作CD的垂线段AE，则由题意得，，解可得，则CD等于DE与CE的和；
（2）如图，过点P作交于点，交于点G，则FG=AB=10，再由已知点P观测点D的俯角和点A观察点D的仰角可得，同理可得，即AP=AD，解可得，再解可得PF，即无人机的高度PG=PF+FG．
（1）解：如图，过点作于点得矩形，
则，．
在中，，，
∴
∴
∴
∴
答：楼高度为60米；
（2）解：如图，作交于点，交于点G，
则，，
依题意，知，，
，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴无人机距离地面的高度约为97米．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点.
在中，设，则，
由勾股定理，得，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）答：点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，
过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
．
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
又，
，
，
所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【知识点】矩形的判定与性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角得，因为，则借助三角形外角的性质可得，则结论成立；
（2）由于等腰三角形三线合一，且已知可过点A作底边BC上的高AM，则BM=CM，此时可解得出BM，则BC可得，由平行线的性质结合已知可得，则可证，由相似比得，即BD可求，再借助平行线分线段成比例定理即可求出AE；
（3）当DF=CF时，可先过点F作BC的垂线段FH，则DH=CH，再分别过点A作BC和FG的垂线段AM、AN，则四边形AMHN为矩形，即MH=AN，由于可证明，由相似比得，又因为，即，所以，则AN可求，即MH可得，则CH可得，即BD=BC-CD=BC-2CH．
（1），
，
，
，
；
（2）过点作于点.
在中，设，则，
由勾股定理，得，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，
过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
．
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
又，
，
，
所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
24．【答案】（1）解：对于直线，交坐标轴两点，，，
∵抛物线过，两点，
∴，
解得：，
即
（2）解：如图2，
是半圆的直径，
半圆上除点，外任意一点，都有，
点只能在抛物线部分上，
，，
，
，
，
，
当时，点和点重合，即：，
由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为，
即：使，点坐标为或．
（3）如图3，
，，
，
过点作交轴于，
的边上的高和的边的高相等，设高为，
，，
，
的最小值，即最小，
，
，
当最大时，即最小，的最小值，
和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
，抛物线和直线只有一个交点．
解得：，
直线的解析式为，
直线与轴交点坐标
，
；
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征求出点，坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由半径相等可借助点C的坐标求出点A的坐标，则可得，即，又由圆周角定理的推论知点P不可能在半圆上，因此点P只能在抛物线上，显然点P与点B重合时满足，再根据抛物线的轴对称性质，当点P与点B关于对称轴对称时必然也满足；
（3）由于和的一条边共线，因此，此时可过点E作BC的平行交x轴于点G，则由平行线分线段成比例定理得，由于AC是定值，因此只要CG最大即可，此时可设直线解析式并和抛物线解析式联立成方程，由于只有一个交点，则判别式为0即可求出直线EG的解析式，进而可求出CG即可．
（1）解：对于直线，交坐标轴两点，
，，
∵抛物线过，两点，
∴，
解得：，
即，
（2）解：如图2，
是半圆的直径，
半圆上除点，外任意一点，都有，
点只能在抛物线部分上，
，，
，
，
，
，
当时，点和点重合，即：，
由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为，
即：使，点坐标为或．
（3）如图3，
，，
，
过点作交轴于，
的边上的高和的边的高相等，设高为，
，，
，
的最小值，即最小，
，
，
当最大时，即最小，的最小值，
和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
，抛物线和直线只有一个交点．
解得：，
直线的解析式为，
直线与轴交点坐标
，
；
的最小值为．
1 / 1四川省资阳市2025年中考数学二模试题
1．（2025·资阳模拟）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．（2025·资阳模拟）下列代数运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，选项错误，不符合题意；
B．，选项错误，不符合题意；
C． ，选项正确，符合题意；
D．，选项错误，不符合题意．
故选C．
【分析】
同底幂的乘法，底数不变，指数相加；
幂的乘方，底数不变，指数相乘；
积的乘方，先给每一个因式乘方，再把所得的幂相乘；
两数和或差的平方，等于这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
3．（2025·资阳模拟）如图，某正方体的展开图的每个面上都有一个汉字，则在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．青 B．春 C．激 D．情
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：根据正方体的表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“点”与“春”是对面，
“燃”与“情”是对面，
“青”与“激”是对面，
故选：B．
【分析】
正方体的展开图不能出现“田字格”或“凹字型”，一行不能超过四个正方形．
4．（2025·资阳模拟）因举办第九届亚冬会，2025年春节期间哈尔滨市累计接待游客约1200万人．将数“1200万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1200万．
故选D．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较大的数字表示为的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
5．（2025·资阳模拟）已知直线，将一块含角的直角三角板按图方式放置，其中、两点分别落在直线、上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；平行公理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】过点C作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：C．
【分析】
过点C作，由平行公理可得，再由两直线平行内错角相等可得，则，再根据直角三角形两锐角互余即可得即可．
6．（2025·资阳模拟）为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为： = =13， = =15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择；分析数据的波动程度
【解析】【解答】∵ = ＞ = ，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2＜s乙2=s丙2，
∴甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐，
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故答案为：D．
【分析】从平均数来看，乙、丁的麦苗比甲、丙要高，从方差来看，甲、丁麦苗的长势比乙、丙的长势整齐（方差越小，长势越整齐），综上所述可得出答案。
7．（2025·资阳模拟）如果关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞2且m≠1 D．m＜2且m≠1
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，
解得m＜2且m≠1．
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出m﹣1≠0且△=22﹣4（m﹣1）＞0，再求解即可。
8．（2025·资阳模拟）如图，在正方形中，，动点M，N分别从点A，B同时出发，沿射线，射线的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接，，．设点M运动的路程为，的面积为，下列图像中能反映与之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；二次函数-动态几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故与之间函数关系为二次函数，图像开口向上，时，函数有最小值6，
故选：A．
【分析】
先由割补法表示出，则可得与之间函数关系式，再进行判断即可得出结论．
9．（2025·资阳模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(，称为黄金比例)，如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为，则其身高可能是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：头顶至咽喉的长度为26cm，
由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是，
可得咽喉至肚脐的长度为，
由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，
可得肚脐至足底的长度为cm，
即有该人的身高为110+68=178cm，
故选B．
【分析】
若点C把线段AB分别两条线段AC和BC，其中AC>BC，若存在AB：AC=AC：BC，则点C叫AB的黄金分割，AB与AC的比叫黄金比，且黄金比等于．
10．（2025·资阳模拟）如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边上，且，平分，连接，分别交于点G，M，P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴垂直平分，
故①正确．
由①可知，，
∴，
∴，
∴，
由①可知，
∴．
故③正确．
∵为正方形，且边长为4，
∴，
∴在中，．
由①可知，，
∴，
∴．
由图可知，和等高，设高为h，
∴，
∴，
∴，
∴．
故④错误．
由①可知，，
∴，
∴M关于线段的对称点为D，过点D作，交于，交于，
∴最小即为，如图所示，
由④可知的高即为图中的，
∴．
故②不正确．
综上所述，正确的是①③共两个．
故选：B．
【分析】
由于BF=CE，则由正方形的性质可证，则由全等三角形的对应角相等可证，又平分，则可利用ASA证明， 从而推出①的结论；
由①中结论可知PD=PM，显然当D、P、N三点共线时最小，此时可由的面积公式得，故 ②结论不正确；
由于可证，则由相似比可得，等量代换可得③的结论；
由①中的和勾股定理可分别求出和长度，则，又这两个三角形的面积和等于正方形ABCD面积的一半，则可求出，故结论 ④ 不正确．
11．（2025·资阳模拟）已知，则 　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴-2+3=1，
故答案为1．
【分析】
如果几个非负数的和为0，则每一个非负数都等于0，注意常见的非负数有绝对值、算术平方根和完全平方式．
12．（2025·资阳模拟）“”是杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司推出的助手，2025年1月令全球瞩目．某同学随机从中选取一个字母，取得“”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： “”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件概率的计算，直接利用字母“e”的个数在单词“”中的占比计算即可．
13．（2025·资阳模拟）定义一种新运算：对于两个非零实数，．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】代数式求值；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴x-y=2，
∴，
故答案为：
【分析】先根据新定义运算即可求出x-y=2，再根据题意即可求解。
14．（2025·资阳模拟）如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是　 　（结果保留π）．
【答案】．
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO=2，
∴AD=OA sin60°=2×．
∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOC==．
【分析】
由于扇形AOB的中心角是120度且点C是弧AB的中点，因此可连接OC，再过点A作OC的垂线段AD，则可证明和都是等边三角形，由等腰三角形三线合一知AD平分OC，则解可求出AD的长，则和面积可求，再利用割补法即可求出阴影部分面积，即用扇形AOB的面积减去四边形AOBC的面积.
15．（2025·资阳模拟）如图， 正方形中，， 点E为正方形外一点， 且 将绕点A 逆时针方向旋转得到， 的延长线交 于点 H． 若 ， 则的长为　 　．
【答案】17
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∵绕点A 逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：17 ．
【分析】
由旋转的性质可得AE=AF、BE=DF，因为都是直角则可证明四边形是正方形，则也是直角，则在中应用勾股定理可求出答案．
16．（2025·资阳模拟）如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设与交于点O.
矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
，
矩形ABCD中，
矩形ABCD中
故答案为：．
【分析】
由作图可知平分，设与交于点O，由角平分线的概念和垂直的定义可证明，则，再由勾股定理可得，则；由于矩形的对边平行，则可证，由相似比可得，再直接利用勾股定理即可求得.
17．（2025·资阳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再代入求值即可求解。
18．（2025·资阳模拟）某学校为丰富教师的业余生活，组织全体教师开展以下体育活动：A．篮球，B．气排球，C．乒乓球，D．羽毛球．为了了解教师最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分教师进行调查(每位教师必选且只能选择一项)，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．
请回答下列问题：
（1）这次被调查的教师共有 人，在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）请你将条形统计图补充完整；若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有多少人？
（3）在平时的羽毛球项目练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名教师中任选2人参加羽毛球比赛，请用树状图或列表的方法求恰好选中甲、丙两位教师的概率．
【答案】（1）40；
（2）解：由（1）可知，C的人数为人，补全统计图如下：
人，
∴若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有80人；
（3）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名教师，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、丙两位教师的结果数有2种，
∴恰好选中甲、丙两位教师的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴这次被调查的教师共有40人，
∴在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为；
【分析】
（1）观察扇形统计图与条形统计图，可用A的人数除以其人数占比（圆心角度数与周角的度数之比）即可求出参与调查的人数，再用360度乘以D的人数占比即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出C的人数，进而补全统计图，再用200乘以样本中B的人数占比即可得到答案；
（3）两步试验可利用画树状图或列表格法求概念，画树状图时注意不重复不遗漏，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：人，
∴这次被调查的教师共有40人，
∴在扇形统计图中， “D”对应的扇形圆心角的度数为；
（2）解：由（1）可知，C的人数为人，
补全统计图如下：
人，
∴若该校有教师200人，请估计该校喜欢气排球的教师有80人；
（3）解：设分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四名教师，列表如下：
由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、丙两位教师的结果数有2种，
∴恰好选中甲、丙两位教师的概率为．
19．（2025·资阳模拟）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元．
（1）求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？
（2）该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？
【答案】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元；
（2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即购买这 50 件奖品到少花费 690 元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据等量关系“ 购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元 ”列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购买种奖品m个，则购买种奖品个，根据不等关系“ A种奖品的数量不多于B种奖品数量的”列不等式，得到m的取值范围，令购买费用为，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可．
（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元；
（2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个，
由题意得：，
解得：，
令购买费用为，
则，
，
随m的增大而减小，
当时，有最小值，最小值为，
即购买这 50 件奖品到少花费 690 元．
20．（2025·资阳模拟）如图，在中，是的平分线，以点D为圆心的与相切于点A，分别与相交于点E，F．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
【知识点】角平分线的性质；切线的判定与性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）过点D作于点H，由切线的性质可得，再根据角平分线的性质可得即可；
（2）由角平分的概念可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据弧长公式求解即可．
（1）证明：如图，过点D作于点H．
为的切线，
．
又平分，
．
是的切线．
（2）解：平分，，
，
，
的长为．
21．（2025·资阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）当时，的取值范围为________；
（3）如图，轴正半轴上有一点，连接，求四边形的面积．
【答案】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）或
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
四边形的面积
．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（2）
解：∵，
∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方，
又∵，
∴由图像可知或．
【分析】
（1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）观察图像找出直线在双曲线下方时对应的自变量x的取值范围即可；
（3）如图，先利用直线上点的坐标特征求出直线AB与y轴交点的坐标为，再分别过点A、B作y轴的垂线AF、BE，即可知，，再利用割补法即可，即四边形的面积．
（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即反比例函数的图像在一次函数的上方，
又∵，
∴由图像可知或．
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，
四边形的面积
．
22．（2025·资阳模拟）无人机在实际生活中应用广泛．如图，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处测得大楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为，楼的高度为，从楼的A处测得楼的D处的仰角为．（点A、B、C、D、P在同一平面内）
（1）求楼的高度；
（2）求此时无人机距离地面的高度．（精确到1米，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点得矩形，
则，．
在中，，，
∴
∴
∴
∴
答：楼高度为60米；
（2）解：如图，作交于点，交于点G，
则，，
依题意，知，，
，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴无人机距离地面的高度约为97米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
（1）如图，过点A作CD的垂线段AE，则由题意得，，解可得，则CD等于DE与CE的和；
（2）如图，过点P作交于点，交于点G，则FG=AB=10，再由已知点P观测点D的俯角和点A观察点D的仰角可得，同理可得，即AP=AD，解可得，再解可得PF，即无人机的高度PG=PF+FG．
（1）解：如图，过点作于点得矩形，
则，．
在中，，，
∴
∴
∴
∴
答：楼高度为60米；
（2）解：如图，作交于点，交于点G，
则，，
依题意，知，，
，
∴，
∴，
在中，，．
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
∴无人机距离地面的高度约为97米．
23．（2025·资阳模拟）如图，点为边上的动点（点不与点，重合）.以点为顶点作，射线交边于点，过点作交射线于，连接．
（1）求证∶ ；
（2）如图2， 当时， 求 的长；
（3）点在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点作于点.
在中，设，则，
由勾股定理，得，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）答：点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，
过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
．
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
又，
，
，
所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
【知识点】矩形的判定与性质；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由等边对等角得，因为，则借助三角形外角的性质可得，则结论成立；
（2）由于等腰三角形三线合一，且已知可过点A作底边BC上的高AM，则BM=CM，此时可解得出BM，则BC可得，由平行线的性质结合已知可得，则可证，由相似比得，即BD可求，再借助平行线分线段成比例定理即可求出AE；
（3）当DF=CF时，可先过点F作BC的垂线段FH，则DH=CH，再分别过点A作BC和FG的垂线段AM、AN，则四边形AMHN为矩形，即MH=AN，由于可证明，由相似比得，又因为，即，所以，则AN可求，即MH可得，则CH可得，即BD=BC-CD=BC-2CH．
（1），
，
，
，
；
（2）过点作于点.
在中，设，则，
由勾股定理，得，
，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，
过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形为矩形，
，，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
．
，
，
，
，
，
，
当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形，
又，
，
，
所以，点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时．
24．（2025·资阳模拟）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知，，，分别为“果圆”与坐标轴的交点， 与“果圆”中的抛物线交于，两点．
（1）求“果圆”中的抛物线的解析式．
（2）“果圆”上是否存在点使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，为直线下方“果圆”上一点， 连接，，， 设与 交于点， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求的最小值．
【答案】（1）解：对于直线，交坐标轴两点，，，
∵抛物线过，两点，
∴，
解得：，
即
（2）解：如图2，
是半圆的直径，
半圆上除点，外任意一点，都有，
点只能在抛物线部分上，
，，
，
，
，
，
当时，点和点重合，即：，
由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为，
即：使，点坐标为或．
（3）如图3，
，，
，
过点作交轴于，
的边上的高和的边的高相等，设高为，
，，
，
的最小值，即最小，
，
，
当最大时，即最小，的最小值，
和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
，抛物线和直线只有一个交点．
解得：，
直线的解析式为，
直线与轴交点坐标
，
；
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）先利用直线上点的坐标特征求出点，坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）由半径相等可借助点C的坐标求出点A的坐标，则可得，即，又由圆周角定理的推论知点P不可能在半圆上，因此点P只能在抛物线上，显然点P与点B重合时满足，再根据抛物线的轴对称性质，当点P与点B关于对称轴对称时必然也满足；
（3）由于和的一条边共线，因此，此时可过点E作BC的平行交x轴于点G，则由平行线分线段成比例定理得，由于AC是定值，因此只要CG最大即可，此时可设直线解析式并和抛物线解析式联立成方程，由于只有一个交点，则判别式为0即可求出直线EG的解析式，进而可求出CG即可．
（1）解：对于直线，交坐标轴两点，
，，
∵抛物线过，两点，
∴，
解得：，
即，
（2）解：如图2，
是半圆的直径，
半圆上除点，外任意一点，都有，
点只能在抛物线部分上，
，，
，
，
，
，
当时，点和点重合，即：，
由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为，
即：使，点坐标为或．
（3）如图3，
，，
，
过点作交轴于，
的边上的高和的边的高相等，设高为，
，，
，
的最小值，即最小，
，
，
当最大时，即最小，的最小值，
和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大，
直线的解析式为，
设直线的解析式为①，
抛物线的解析式为即②，
联立①②化简得，，
，抛物线和直线只有一个交点．
解得：，
直线的解析式为，
直线与轴交点坐标
，
；
的最小值为．
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