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4.1 数列的概念(1)
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 台江区期末）已知数列，，，2，，，则该数列的第100项为　　
A．10 B． C． D．
2．（2024春 琼海期中）下列四个选项中，不正确的是　　
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列1，0，1，0，与数列0，1，0，1，是同一数列
C．数列，，，，的一个通项公式是
D．数列，，，是递减数列
3．（2024秋 济源月考）给出下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为，3，5，；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；
④1，1，1，不能构成一个数列．
其中正确的有　　
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（2024秋 铁岭期末）已知数列，66，，6666，，，则该数列的第2024项为　　
A． B．
C． D．
5．（2024秋 安徽期末）数列的第11项是　　
A． B． C． D．
6．（2024 青海二模）已知数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为　　
A． B． C．， D．，
7．（2024秋 古浪县期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，，21，，则的值是　　
A．11 B．13 C．15 D．17
8．（2024秋 浦东新区月考）已知数列的通项公式为，且为递增数列，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
9．（2024春 顺义区期中）数列是等比数列，则对于“任意的，”是“是递增数列”的　　条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．不充分也不必要
10．（2024秋 山西开学）已知数列的通项公式为，则数列的最大项是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
11．（2024 平江县开学）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是　　
A．是数列的最小项 B．是数列的最大项
C．是数列的最大项 D．当时，数列递减
12．（2024春 喀什市期中）已知数列，2，，，则下列说法正确的是　　
A．此数列的通项公式是 B．8是它的第32项
C．此数列的通项公式是 D．8是它的第4项
13．（2024春 双流区期中）下面四个结论正确的是　　
A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列
B．数列2，5，2，5，，2，5，是无穷数列
C．数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点
D．数列的通项公式是唯一的
14．（2024秋 历城区二模）下列四个命题中，正确的有　　
A．数列的第项为
B．已知数列的通项公式为，则是该数列的第7项
C．数列3，5，9，17，的一个通项公式为
D．数列的通项公式为，则数列是递增数列
三．填空题（共4小题）
15．（2024春 南阳期中）已知数列的前5项依次为，则的一个通项公式为　　．
16．（2024秋 静海区月考）在商店里，如图分层堆砌易拉罐，最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个．如此下去，第六层放 　　个．
17．（2024秋 西城区期中）设为无穷数列，记，其中为常数且．给出下列四个结论：
①若，则为单调递增数列；
②若，，则为单调递减数列；
③若，则对任意且，均存在最大项；
④若，则对任意且，均存在最小项．
其中所有正确结论的序号是 　　．
18．（2024秋 利通区月考）将正偶数按如下所示的规律排列：
2
4 6 8
10 12 14 16 18
20 22 24 26 28 30 32
则数字2024的位置为第 　　行，从左向右第 　　个数．
四．解答题（共6小题）
19．（2024春 袁州区月考）根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式．
（1），，，，；
（2），．
20．（2024秋 高平市月考）写出以下各数列的一个通项公式
（1）数列1，，，，，
（2）数列，，，，
（3）数列0.8，0.88，0.888，
21．（2024秋 驿城区开学）已知无穷数列，，，，
（1）求出这个数列的一个通项公式；
（2）该数列在区间，内有没有项？若有，有几项？
22．（2024秋 单县月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
23．（2024秋 桥西区月考）已知数列的通项公式为．
（1）求．
（2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由．
（3）求证：．
24．（2024秋 江苏开学）已知实数数列满足：，，，证明：当时，是单调减数列．
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】可先找到数列的通项公式，再由通项公式求解第100项即可．
【解答】解：由数列，，，2，，，可得该数列的通项公式为，
所以，
则该数列的第100项为10，
故选：．
2．【答案】
【分析】由已知结合数列的函数特性检验选项；
结合数列的定义检验选项；
结合数列的通项公式检验选项；
结合数列的单调性检验选项．
【解答】解：根据数列的函数特性可知，数列的图象是一群孤立的点，正确；
根据数列的定义可知，数列的项具有一定的顺序，错误；
观察数列，，的一个通项公式是，正确；
根据数列单调性的定义可知，正确．
故选：．
3．【答案】
【分析】根据数列的概念即可求解．
【解答】解：对①，根据数列的概念，数列是按照一定次序排列的一列数，集合里的元素没有顺序，可知错误；
对，数列中的数讲顺序，错误；
对，前面的数列是有穷数列，后面的是无穷数列，错误；
对，，1，1，能构成一个数列，选项不正确．
故选：．
4．【答案】
【分析】由已知数列的规律先求出通项公式，进而可求．
【解答】解：，66，，6666，，的通项公式为，
故该数列的第2024项为．
故选：．
5．【答案】
【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项．
【解答】解：设该数列的第项为，
由已知，
变形可得，
所以数列的一个通项公式可以是，
则．
故选：．
6．【答案】
【分析】由可得，再根据当时，单调性求解即可．
【解答】解：因为数列为递增数列，
所以，即恒成立，
整理得：，
因为当时，单调递增，
（1），
所以．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据斐波那契数列的特点求解即可．
【解答】解：由斐波那契数列1，1，2，3，5，8，，可知该数列从第三个数起，
每一个数都等于它的前面两个数的和．
故．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据数列为单调递增数列，可得到恒成立，即可求得答案．
【解答】解：数列的通项公式为，数列是递增数列，
，恒成立，
即，恒成立，而，随的增大而增大，
即当时，，取得最小值2，则，
所以实数的取值范围是．
故选：．
9．【答案】
【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：设等比数列的公比为，，
若，则，
当 时，由 得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
当时，由，得，解得或，
若，则，此时与已知矛盾；
若，则，此时为递增数列．
反之，若是递增数列，则，
所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件．
故选：．
10．【答案】
【分析】作差利用单调性即可得出．
【解答】解：，解得：．
可得最大项为．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断，利用数列的单调性及范围判断．
【解答】解：设第项为的最大项，
则，即，
所以，
又，
所以或，
故数列中与均为最大项，且，
当时，数列递减，故正确，
当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且，
所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故错误．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据已知条件，结合数列中数字的规律，求出通项公式，即可依次求解．
【解答】解：数列，2，，，即，，，，，
则此数列的通项公式为，故正确，错误，
令，解得，
故8是它的第32项，故正确，错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据题意，由数列的定义分析、和，由数列的函数特性分析，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，错误；
对于，数列2，5，2，5，，2，5，有无数项，是无穷数列，正确；
对于，由数列的函数特性，数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点，正确；
对于，数列的通项公式是不唯一的，错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】，由数列通项求解判断；的第出项为，，令求解判断；，将3，5，9，17，33，的各项减去1，得2，4，8，16，32，，求解判断；判断的符号即可．
【解答】解：对于，数列的第出项为，故正确；
对于，令，得或（舍去），故正确；
对于，将3，5，9，17，33，的各项减去1，得2，4，8，16，32，，
设该数列为，则其通项公式为，
因此数列3，5，9，17，33，的一个通项公式为，故错误；
对于，，则，
因此数列是递增数列，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据题意，分析数列前5项的规律，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，数列的前5项依次为，即，，，，；
则的一个通项公式为．
故答案为：．
16．【答案】36．
【分析】根据每一层图形的个数与层数的关系进行仔细观察，发现规律．
【解答】解：最顶层放1个，第二层放4个，第三层放9个，可知，第层放个，
所以第六层放36个．
故答案为：36．
17．【答案】②③④．
【分析】对于①，可知，直接取前2项检验即可；对于②，可知，结合函数的单调性分析判断；对于③④，可知，结合函数的单调性分析判断．
【解答】解：对于①，若，，则，
可知，不是单调数列，故①错误；
对于②，若，，则，且，，
可知在，内单调递减，
为单调递减数列，故②正确；
对于③④，若，则，
若且，则，
可知在，，内单调递增，
若，，则，可知，
若，则，可知，
设为不超过实数的最大整数，
可知且，
数列的最小项为，最大项为，故③④正确．
故答案为：②③④．
18．【答案】32；51．
【分析】由已知归纳出规律，计算出前行所有数和个数后，可确定2024所在的行及其顺序号．
【解答】解：数字2024是第1012个数，
由已知前行所有数的个数为，
，，，，
所以数字2024在第32行，第51个数．
故答案为：32；51．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）（2）分析数列中各项的特点，找出项与项数的联系规律，归纳得出结论，从而写出通项公式．
【解答】解；（1）设该数列为，由，，，，
归纳猜想无论项数取何值，对应项的值均是，
即．
（2）设该数列为，由，，，，
注意每项的分母都是1，而分母是对应项项数增加1，
故．
20．【分析】根据数列的特征直接写出一个通项公式即可
【解答】解：（1）数列1，，，，，的通项公式为
（2）数列，，，，的通项公式为，
（3）数列0.8，0.88，0.888，
，，，．
数列的通项公式为．
21．【答案】（1），2，．
（2）数列在，内有项，并且有4项．
【分析】（1）根据已知条件，观察数列分子，分母的规律，即可求解．
（2）由已知条件可得，，解出的取值范围，即可求解．
【解答】解：（1）数列的分子依次为4，9，16，25，，可看成与的关系式，
而每一项的分母恰好比分子大于1，
通项公式的分母可以为，
故该数列的一个通项公式为，2，．
（2）当时，
可得，解得，
故数列在，内有项，并且有4项．
22．
【分析】要想判断一个数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列的前项是递增的，从项开始是递减的，则即为数列的最大项，故我们可以判断构造的表达式，然后进行分类讨论，给出最终的结论
【解答】解法一：
，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
故．
数列有最大项或，
其值为，其项数为9或10
解法二：设是该数列的最大项，则
最大项为．
23．【分析】（1）将代成10即可求．
（2）令，若为正整数，则是的项，否则，不是的项．
（3）分离常数后可证．
【解答】（1）解：根据题意可得．
（2）解：令，即，解得，
为数列中的项，为第3项．
（3）证明：由题知，
，，，，即．
24．
【分析】利用作差法和数学归纳法即可证明．
【解答】证明：当时，有，
下面用数学归纳法证明：，
（1）当时，，
（2）假设时，结论成立，即，
那么，
故由（1）（2）可知，，
因此当，，，
即当时，是单调减数列．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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