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4.1 数列的概念(2)
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 城关区期中）已知数列满足：，，则的通项公式为　　
A． B． C． D．
2．（2024秋 江门期末）已知数列的前项和，则这个数列的通项公式为　　
A． B．
C． D．
3．（2024秋 九龙坡区期末）已知，，则数列的通项公式是　　
A． B． C． D．
4．（2024秋 安丘市期末）已知中，，，则数列的通项公式是　　
A． B． C． D．
5．（2024秋 怀仁市期末）已知数列满足，，则数列的通项公式是　　
A． B． C． D．
6．（2024秋 永昌县月考）数列的前项和为，则其通项公式　　
A． B． C． D．
7．（2024秋 延安期中）已知数列满足，，则的通项公式　　
A． B． C． D．
8．（2024 相山区开学）数列满足，且，则数列的通项公式为　　
A． B． C． D．
9．（2024秋 阳新县期末）若数列的前项和，则的通项公式是　　
A． B．
C． D．
10．（2024秋 常熟市月考）已知数列满足，，则数列的通项公式是　　
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
11．（2024秋 麦积区期末）在数列中，若，，则下列结论正确的有　　
A．为等差数列
B．的前项和
C．的通项公式为
D．的最小值为
12．（2024秋 滨州月考）已知数列满足，，则下列结论正确的是　　
A．为等差数列
B．为递减数列
C．的通项公式为
D．的前项和
13．（2024秋 龙岗区期末）数列满足，则下列说法正确的是　　
A．数列是等差数列
B．数列有最小项
C．数列的通项公式为
D．数列为递减数列
14．（2024秋 城关区期中）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是　　
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列为等比数列
三．填空题（共4小题）
15．（2024 天水开学）在数列中，若，，则的通项公式为 　　．
16．（2024秋 肇东市期末）已知数列的前项和，则数列的通项公式为 　　．
17．（2024 深圳开学）在数列中，，，则数列的通项公式为　　．
18．（2024春 杨浦区期末）数列满足，则数列的通项公式为　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024 牡丹区模拟）已知数列，，．求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项和的最大值．
20．（2024秋 东莞市月考）已知数列的前项和为，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前20项和．（化简后的结果可保留指数形式）
21．（2024秋 河西区月考）已知数列满足：，且，其中为的前项和．
（1）令，求证：为等差数列；
（2）求的通项公式．
22．（2024春 河南月考）已知数列的前项和，且满足．
（1）求的通项公式；
（2）记数列的前项乘积为，求的最小值．
23．（2024 自贡二模）已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，求数列的前项和．
24．（2024春 中山市月考）已知数列前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和．
一．选择题（共10小题）
1．【分析】由，可得，，从而可得是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可求
【解答】解：，
，
是以2为首项，以2为公比的等比数列
根据等比数列的通项公式可得，
即
故选：．
2．【答案】
【分析】根据已知和求通项公式：进行计算．
【解答】解：当时，；
当时，；
故选：．
3．【答案】
【分析】根据题意可得，再利用累乘法计算可得．
【解答】解：由，得，
即，
则，，，，，
由累乘法可得，因为，所以，
故选：．
4．【分析】利用数列的递推关系式，通过累积法，求解数列的通项公式．
【解答】解：由，可得：，又，
．
，
故选：．
5．【答案】
【分析】根据数列的递推关系式得到数列为首项为3的常数列，进而求得结论．
【解答】解：数列满足，，
可得，，
故数列为首项为3的常数列，
则，得．
故选：．
6．【答案】
【分析】构造新等式，与已知条件联立进而求解结论．
【解答】解：数列的前项和为，①
，可得，
且，②
①②整理得：，
数列是首项为6，公比为3的等比数列，
，
故选：．
7．【答案】
【分析】根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用等比数列前项和公式进行求和．
【解答】解：由题意得，，
，
．
故选：．
8．【答案】
【分析】由题意得当时，，，，，利用累加法和等差数列的求和公式，即可得出答案．
【解答】解：，
当时，，，，，
由累加法得，
又，
，
当时，，符合题意，
故选：．
9．【答案】
【分析】运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，即可得到所求．
【解答】解：令，则，解得，
当时，，
则，即，
所以数列是以3为首项，为公比的等比数列，
所以．
故选：．
10．【答案】
【分析】本题根据题干中的递推公式逐项代入，再运用累乘法即可计算出数列的通项公式．
【解答】解：依题意，由，
可知，，，，，，，
各项相乘，可得．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】由题意变形得，且，可得数列是等差数列，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】解：对于，，
，且，
数列是首项为3，公差为3的等差数列，故正确；
对于，则数列的前项和，故正确；
对于：由，则，故正确；
对于，，故的最小值不为，故错误，
故选：．
12．【答案】
【分析】由已知可得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，然后利用等比数列通项公式及等比数列的求和公式求解．
【解答】解：因为，
所以，
所以，
又，
所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，
则，
即，
故选项，错误；
因为，
所以，
即，
即为递减数列，
故选项正确；
因为的前项和，
故选项正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】对数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，求得，再对选项判断可得结论．
【解答】解：数列满足，
可得，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，可得，
即，且数列为递减数列，故选项正确，错误；
数列有最大项，无最小项，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】求得，由已知数列的递推式可得时，，检验可判断；由首项为1，可判断；由等比数列的定义可判断．
【解答】解：当时，，即，即，
由，可得时，，两式相减可得，即，
由，
可得数列不为等比数列，故错误；
由不满足，故错误；
由，可得，则数列是公比为2的等比数列，故正确；
由时，，可得数列，即是首项为4，公比为2的等比数列，故正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】．
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式即得．
【解答】解：因为在数列中，，，
数列所以是常数列，则，
所以的通项公式为．
故答案为：．
16．【答案】．
【分析】根据题意，结合和，即可求得数列的通项公式．
【解答】解：由数列的前项和为，
当时，可得；
当时，，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
17．【答案】．
【分析】由题意可得，然后利用累乘法可求得结果．
【解答】解：因为，所以，
所以，，，，，，
将上述个式子左右分别相乘可得：，
所以，
因为，所以，
当时，也符号上式，
所以．
故答案为：．
18．【答案】．
【分析】对数列的递推式．两边同时除以，结合数列的恒等式和等比数列的求和公式，计算可得所求．
【解答】解：由，可得，
则
，
可得，对也成立．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】（1）；
（2）28．
【分析】（1）由等差数列的定义和通项公式，可得所求；
（2）首先推得数列从第5项开始小于0，由等差数列的等差数列的求和公式，可得所求最大值．
【解答】解：（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即数列从第5项开始小于0，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
20．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用，结合等比数列的概念与通项公式可得答案；
（2）结合（1）得，再利用等比数列的求和公式可得答案．
【解答】解：（1）当时，，解得，
当时，，
与联立可得：，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以；
（2）由题意得：，
所以的前20项和为．
21．【答案】（1）证明见解答；（2），．
【分析】（1）由时，，结合等差数列的定义，可得证明；
（2）由等差数列的通项公式和数列的递推式，可得所求通项公式．
【解答】解：（1）证明：由，且，，又，
可得，
则，
由，可得，且，
则是首项和公差均为2的等差数列；
（2）由等差数列的通项公式，可得，
即有，
当时，，
当时，，对也成立，
则的通项公式为，．
22．【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由与的关系结合等比数列的定义即可求得；
（2）由等比数列的前项积与指数的运算化简后求二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）因为，
所以当时，，所以；
当时，，，
两式相减得：，所以，
因为，所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则数列通项公式为；
（2）因为，
由（1）可知，，
所以，
所以，
令，开口向上且对称轴为，，
所以当或8时，取得最小值，且最小值为，
所以的最小值为．
23．【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）结合已知递推关系构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求解；
（2）先求出，然后结合错位相减求和即可求解．
【解答】解：（1），且，
数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，
即，
，
（2），
①
②，
①②得，
，
．
24．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据与的关系计算并验证首项即得；
（2）先求出，利用裂项相消法即可求得．
【解答】解：（1）由①可得，
当时，②，
由①②可得：，显然时满足题意，故数列的通项公式为．
（2）由（1）知，故，
依题有，．
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