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4.2.1 等差数列的概念(1)
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 双流区期中）已知，则数列是　　
A．等差数列 B．等比数列
C．摆动数列 D．既等差数列又等比数列
2．（2024秋 怀柔区期末）若1、、2成等差数列，则　　
A． B． C． D．
3．（2024 望城区开学）等差数列2，0，，，，则是这个数列的第　　项．
A．24 B．25 C．26 D．27
4．（2024春 海淀区期中）等差数列，1，4，的第5项为　　
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024秋 绥棱县期末）在等差数列中，，则的值是　　
A．36 B．48 C．72 D．24
6．（2024秋 闽侯县期末）在数列中，，，若，则　　
A．671 B．672 C．673 D．674
7．（2024春 双流区期中）在等差数列中，若，是方程的两根，则　　
A． B． C． D．3
8．（2024秋 太仓市月考）若数列为等差数列，且，则等于　　
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2024秋 通州区期末）等差数列中，，，则的通项为　　
A． B． C． D．
10．（2024 渝中区模拟）已知等差数列的前15项之和为60，则　　
A．4 B．6 C．8 D．10
二．多选题（共4小题）
11．（2024秋 鹿泉区期末）已知等差数列的通项公式为，则　　
A． B． C． D．
12．（2024秋 民丰县期中）等差数列中，，，则　　
A．公差 B．
C．数列为递增数列 D．
13．（2024秋 贺兰县期末）已知数列的前项和，则　　
A．不是等差数列 B．
C．数列是等差数列 D．
14．（2024秋 宝安区期末）若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是　　
A． B．
C．，为常数） D．
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋 威信县月考）已知1，，，10构成等差数列，则，的值分别为 　　．
16．（2024秋 琅琊区期末）已知为等差数列，且，，则　　．
17．（2024秋 重庆月考）已知等差数列中，，，则　　．
18．（2024春 闵行区期末）在中，三内角，，成等差数列，则等于　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024春 怀柔区月考）在等差数列中，若，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的值；
（3）是否是数列中的项？
20．（2021春 海淀区期末）已知数列，其前项和为．
（1）求，．
（2）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列．
21．（2024秋 闽侯县期末）在等差数列中，，．
（1）求的值；
（2）2022是否为数列中的项？若是，则为第几项？
22．（2024秋 张店区月考）已知下列数列的前项和的公式．
（1）求的通项公式；
（2）判断该数列是否为等差数列，并说明理由．
23．（2024秋 新罗区月考）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列是等差数列吗？若是，请证明．
24．（2024秋 黄埔区模拟）设各项均为正数的数列满足，为常数），其中为数列的前项和．
（1）若，，求证：是等差数列；
（2）若，，求数列的通项公式．
一．选择题（共10小题）
1．【分析】将化为：，利用等差数列的定义判断即可．
【解答】解：由题意知，，则，
数列是以3为公差的等差数列，
故选：．
2．【答案】
【分析】利用等差中项的性质可求得的值．
【解答】解：因为1、、2成等差数列，
所以．
故选：．
3．【答案】
【分析】先求出等差数列的通项公式，再计算求出项数．
【解答】解：由等差数列前几项可得，该等差数列首项为2，公差为，
则该等差数列通项公式为，
令，则，
则是这个数列的第26项．
故选：．
4．【答案】
【分析】根据题意，分析该等差数列的首项和公差，结合等差数列的通项公式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列，1，4，，其首项为，公差，
则其第5项．
故选：．
5．【答案】
【分析】根据是等差数列可得，则，进一步利用进行求解即可．
【解答】解：是等差数列，
，
又，
，即，
．
故选：．
6．【答案】
【分析】根据题意可得数列是以1为首项，3为公差的等差数列，即可求出通项公式，可得，解得即可．
【解答】解：数列中，，，则数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
，
解得，
故选：．
7．【答案】
【分析】利用韦达定理，结合等差数列的性质求解即可．
【解答】解：，是方程的两根，，
是等差数列，．
故选：．
8．【答案】
【分析】根据等差数列的性质求得正确答案．
【解答】解：依题意，，．
故选：．
9．【答案】
【分析】直接利用等差数列的性质，建立方程组，进一步求出结果．
【解答】解：等差数列中，设首项为，公差为，
所以，，
故，整理得，解得．
故．
故选：．
10．【答案】
【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解．
【解答】解：因为等差数列的前15项之和为60，
所以，
故，
则．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据题意，由数列的通项公式分析和，即可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列的通项公式为，
则有，正确，错误；
又由公差，故错误，正确．
故选：．
12．【答案】
【分析】由已知结合等差数列的通项公式及性质分别检验各选项即可判断．
【解答】解：等差数列中，，，
则，，错误，错误；
由可知数列为递增数列，正确；
，错误．
故选：．
13．【答案】
【分析】根据，即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式逐一判断即可．
【解答】解：，
当时，，
当时，，
当时，上式也成立，
所以，故正确；
因为，所以是等差数列，故错误；
对于，，
因为，所以数列是等差数列，故正确；
对于，令，则，
所以当时，，当时，，
故，故错误．
故选：．
14．【答案】
【分析】根据等差数列的定义即可判断．
【解答】解：是等差数列，，为常数），
对，不一定为常数，错误；
对，，是公差为0的等差数列，正确；
对，，又为常数，
，为常数）是以为公差的等差数列，正确；
对，，又为常数，
是以为公差的等差数列，正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】4；7．
【分析】设该等差数列的公差为，并利用求出公差，最后根据，进行求解即可．
【解答】解：设该等差数列的公差为，
由题意，，
，
，．
故答案为：4；7．
16．【答案】．
【分析】根据题意，由等差数列的性质可得，变形可得答案．
【解答】解：根据题意，为等差数列，且，，
则，
变形可得．
故答案为：．
17．【答案】3．
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：等差数列中，，，
所以，
则．
故答案为：3．
18．
【分析】由的三内角，，成等差数列，知，故，由此能够求出角．
【解答】解：的三内角，，成等差数列，
，
，
．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
19．【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和，可得公差，则通项公式可求；
（2）分别求出在不同通项公式下的的值；
（3）把分别代入两个不同的通项公式，求解的值得答案．
【解答】解：（1）在等差数列中，，
，，
联立，解得或，
当时，数列的公差，通项；
当时，数列的公差，通项．
（2）当时，；
当时，．
（3）当时，由，解得，不合题意，
不是数列中的项；
当时，由，解得．
是数列中的第20项．
20．【答案】（1），．
（2）．
【分析】（1）根据，，可得结论．
（2）由题意，根据，时，，求出通项公式，计算，即可得出结论．
【解答】解：（1），根据，解得．
（2）证明：当时，．
又满足，
数列的通项公式为．
，为常数，
数列是以5为首项，3为公差的等差数列．
21．【答案】（1）8082；
（2）506．
【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求；
（2）结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：（1）因为等差数列中，，，
解得，，
所以；
（2）由（1）得，
令，则，
故2022是为数列中的第506项．
22．【答案】（1）；
（2）不是等差数列，理由见解析．
【分析】（1）根据求解即可；
（2）根据等差数列的定义即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，当时，，
当时，，
又不满足上式，所以；
（2）由（1）得，，，
因为，
所以数列不是等差数列．
23．
【分析】（1）由，得当时，；当时，．即可得出．
（2）计算是否为常数即可判断出结论．
【解答】解：（1）由，得当时，；
当时，，．
检验当时，；
所以数列的通项公式；
（2），
．
数列是首项为3公差的等差数列．
24．【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【分析】（1）利用递推关系即可得出；
（2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出；
【解答】证明：（1）由，，得，
，
两式相减，得，
是等差数列．
（2）解：令，得，
，
则，，
两式相减，，
，
化简得，
又适合，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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