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1.1 集合的概念
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海珠区月考）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为　　
A．4 B．2 C．3 D．5
2．（2024秋 滨湖区月考）已知集合，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
3．（2024秋 涡阳县月考）已知集合，，，若，则实数的值为　　
A． B．3 C．3或 D．6
4．（2022秋 武陵区期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2024秋 河南月考）若集合，，，且，则　　
A．10或13 B．13 C．4或7 D．7
6．（2024秋 爱民区月考）集合，3，中所有元素的和为　　
A．1 B．4 C．6 D．10
7．（2024秋 贵州月考）下列各组对象能构成集合的是　　
A．中国著名的数学家
B．高一（2）班个子比较高的学生
C．不大于5的自然数
D．约等于3的实数
8．（2024秋 常熟市月考）已知，且，则　　
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2024秋 霞山区月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数的取值范围　　
A．， B．， C．， D．，
10．（2024秋 海门区月考）下列关系中正确的个数为　　
①，②，③，④
A．1 B．2 C．3 D．4
二．多选题（共4小题）
11．（2024秋 广东月考）下面能组成一个集合的是　　
A．横峰中学高一年级聪明的学生
B．的近似值
C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点
D．所有奇数
12．（2024秋 民乐县月考）若，，，则实数的可能取值为　　
A．4 B．2 C．1 D．
13．（2024秋 松山区月考）设，，，，，则　　
A． B． C． D．
14．（2024秋 惠农区月考）下列四个命题中正确的是　　
A．由所确定的实数集合为，0，
B．同时满足的整数解的集合为，0，1，
C．集合，，可以化简为，，
D．中含有三个元素
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋 江津区月考）已知集合，，，，且，则集合　　．
16．（2024秋 新吴区月考）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 　　．
17．（2024秋 浦东新区月考）已知，求方程组的解集 　　．
18．（2024秋 河南月考）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 贾汪区开学）已知集合，．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中最多有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（4）若，求的取值范围．
20．（2024秋 献县月考）已知集合，．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．
21．（2024秋 宝山区月考）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．
（1）不等式的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于且小于9的偶数组成的集合．
22．（2024秋 宝山区月考）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
（1）若是空集，求的范围；
（2）若是单元素集合，求的范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．
23．（2024秋 宜城市期中）已知集合，，．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合．
24．（2024秋 光明区月考）已知集合，，．
（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海珠区月考）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确命题的个数为　　
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】
【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合常用数集判断即得．
【解答】解：，，，，
命题①③④⑤都是正确的，
，，命题②⑥错误．
故选：．
2．（2024秋 滨湖区月考）已知集合，，则下列判断正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由已知结合元素与集合的包含关系即可判断．
【解答】解：因为，，
所以，，，．
故选：．
3．（2024秋 涡阳县月考）已知集合，，，若，则实数的值为　　
A． B．3 C．3或 D．6
【答案】
【分析】根据条件得到或，再利用集合的互异性即可求出结果．
【解答】解：根据集合元素的互异性知，，
，
或，
．
故选：．
4．（2022秋 武陵区期末）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】讨论与，从而求实数的值组成的集合中的元素个数．
【解答】解：若，则，解集中有且仅有一个元素，成立；
若，△，则．
故实数的值组成的集合中的元素个数为2．
故选：．
5．（2024秋 河南月考）若集合，，，且，则　　
A．10或13 B．13 C．4或7 D．7
【答案】
【分析】结合元素与集合的关系，分类讨论，即可求解．
【解答】解：集合，，，且，
当，即时，，此时与4重复，
则，
当，即时，，7，．
综上所述，．
故选：．
6．（2024秋 爱民区月考）集合，3，中所有元素的和为　　
A．1 B．4 C．6 D．10
【答案】
【分析】把各元素相加即可．
【解答】解：因为集合，3，，
又，
故集合，3，中所有元素的和为10．
故选：．
7．（2024秋 贵州月考）下列各组对象能构成集合的是　　
A．中国著名的数学家
B．高一（2）班个子比较高的学生
C．不大于5的自然数
D．约等于3的实数
【答案】
【分析】根据构成集合中元素的确定性判断各项即可．
【解答】解：对于：著名数学家的标准不明确，不能构成集合，故错误；
对于：个子比较高的标准不明确，不能构成集合，故错误；
对于：不大于5的自然数有0，1，2，3，4，5，能构成集合，故正确；
对于：约等于3的实数的精度不明确，不能构成集合，故错误．
故选：．
8．（2024秋 常熟市月考）已知，且，则　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【分析】根据元素与集合的关系求解即可．
【解答】解：因为，且，所以．
故选：．
9．（2024秋 霞山区月考）已知集合中至多含有一个元素，则实数的取值范围　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【分析】原问题转化为方程至多只有一个根，分，即可求解．
【解答】解：由题意，原问题转化为方程至多只有一个根，
当时，方程为，解得，此时方程只有一个实数根，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，所以△，解得．
综上，实数的取值范围为，．
故选：．
10．（2024秋 海门区月考）下列关系中正确的个数为　　
①，②，③，④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系判断．
【解答】解：是有理数，是实数，中含有元素不是空集，自然数集真包含于整数集，
所以①正确，②错误，③错误，④正确．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．（2024秋 广东月考）下面能组成一个集合的是　　
A．横峰中学高一年级聪明的学生
B．的近似值
C．直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点
D．所有奇数
【答案】
【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可．
【解答】解：横峰中学高一年级聪明的学生，的近似值所指元素都不满足集合元素的确定性，故错误；
直角坐标系中横坐标、纵坐标相等的点，所有奇数所指元素明确，故正确．
故选：．
12．（2024秋 民乐县月考）若，，，则实数的可能取值为　　
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】
【分析】先根据题意求的值，再利用集合元素的互异性验证即可．
【解答】解：三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．
当时，，此时，，故符合题意；
当时，，此时，不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，经检验符合题意．
综上可知，或．
故选：．
13．（2024秋 松山区月考）设，，，，，则　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可．
【解答】解：设，，、、，
则，错误，正确；
，正确；
，不正确．
故选：．
14．（2024秋 惠农区月考）下列四个命题中正确的是　　
A．由所确定的实数集合为，0，
B．同时满足的整数解的集合为，0，1，
C．集合，，可以化简为，，
D．中含有三个元素
【答案】
【分析】对于选项：对，的符号分类讨论即可；对于选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于选项：对讨论验证相应的是否是自然数即可；对于选项：结合6的因数并对讨论即可．
【解答】解：对于选项：讨论，的符号并列出以下表格：
1 1 2
1 0
1 0
由上表可知，的所有可能的值组成集合，0，，故选项正确．
对于选项：由，，所以解不等式组得，
其整数解所组成的集合为，0，1，，故选项正确．
对于选项：若，满足且，，所以，所有只需讨论，1，2，3，4，5时的情形，
由此列出以下表格：
0 1 2 3 4 5
8 5 2
由表可知集合，，可以化简为，，，故选项正确．
对于选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格：
1 2 3 6
2 1 0
因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故选项错误．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋 江津区月考）已知集合，，，，且，则集合　，或，　．
【答案】，或，．
【分析】根据可求，代入检验后可得集合．
【解答】解：根据题意，集合，，若，则，解可得，
当时，，，；
当时，，，；
故答案为：，或，．
16．（2024秋 新吴区月考）已知集合中含有2个元素，，则满足的条件是 　且　．
【答案】且．
【分析】根据集合中元素的互异性求解．
【解答】解：由集合中元素的互异性可知，，解得且．
故答案为：且．
17．（2024秋 浦东新区月考）已知，求方程组的解集 　，　．
【答案】，．
【分析】根据条件，通过消得到，即可求出结果；
【解答】解：由，得到，得到或，
当时，，当时，，
所以，方程组的解集为，．
故答案为：，．
18．（2024秋 河南月考）已知集合中只有一个元素，则的所有可能取值组成的集合为 　，，　．
【答案】，，．
【分析】当时，，当时，△，由此能求出结果．
【解答】解：集合中只有一个元素，
当时，，符合题意；
当时，△，
解得或，则的所有可能取值组成的集合为，，．
故答案为：，，．
四．解答题（共6小题）
19．（2024秋 贾汪区开学）已知集合，．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中最多有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（4）若，求的取值范围．
【答案】（1）．或．
（2）．或．
（3）．．
（4）．．
【分析】根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与△的关系，即可得到答案．
【解答】解：（1）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，△，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（2）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，当时，方程为一元二次方程，△，即时，为；△，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
故当或时，中最多有一个元素．
（3）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素．当中有两个元素时，且△，得且，结合（1）可知，．
（4）时，由（2）知，．
20．（2024秋 献县月考）已知集合，．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）；
（3）或
【分析】根据集合元素的确定性，我们可以将问题转化为：关于的方程解的问题，分类讨论二次项系数的值，结合二次方程根与△的关系，即可得到答案．
【解答】解：（1）当时，原方程变为，此时，符合题意；
当时，方程为一元二次方程，△，即时，原方程的解为，符合题意．
故当或时，原方程只有一个解，此时只有一个元素．
（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素．
当中有两个元素时，且△，得且，
结合（1）可知，的范围为．
（3）若中最多有一个元素，则中可能无任何元素，或者只有一个元素，
由（1）知当时只有一个元素，
当时，方程为一元二次方程，△，即时，为；
△，即时，方程有两个相等的根，中有一个元素．
故的范围为或时，中最多有一个元素．
21．（2024秋 宝山区月考）用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集．
（1）不等式的解集；
（2）二元二次方程组的解集；
（3）由大于且小于9的偶数组成的集合．
【答案】（1），无限集；
（2），，有限集；
（3），0，2，4，6，，有限集．
【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示；
（2）解方程组，解集为有限，用列举法表示；
（3）元素有限个，所以用列举法表示．
【解答】解：（1）因为，
所以解集为，为无限集；
（2）二元二次方程组，所以，
解得或，
所以解集为，，为有限集；
（3）大于且小于9的偶数有，0，2，4，6，8，
所以解集为，0，2，4，6，，为有限集．
22．（2024秋 宝山区月考）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数．
（1）若是空集，求的范围；
（2）若是单元素集合，求的范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2），；
（3）或．
【分析】（1）讨论，根据△可得结果；
（2）讨论，根据△可得结果；
（3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果．
【解答】解：（1）若是空集，则方程无解，
当时，方程有解，不符合题意；
当时，△，得．
综上所述：实数的范围是；
（2）若是单元素集合，则方程有唯一实根，
当时，方程有唯一解，符合题意；
当时，△，得．
综上所述：实数的取值范围是，；
（3）若中至多有一个元素，则方程至多有一个解，
当方程无解时，由（1）知，；
方程有唯一实根时，由（2）知，或．
综上所述：实数的取值范围是或．
23．（2024秋 宜城市期中）已知集合，，．
（1）若是空集，求的取值范围；
（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合．
【答案】（1）；
（2）的值为0或，
当时，集合，当时，集合．
【分析】（1）根据是空集，可知，解不等式组即可；
（2）根据中只有一个元素，分和两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）因为是空集，所以，即，
解得，
所以的取值范围为；
（2）当时，集合，符合题意，
当时，△即，解得，
此时集合，
综上所述，的值为0或，
当时，集合，当时，集合．
24．（2024秋 光明区月考）已知集合，，．
（1）若中只有一个元素，求的值，并求集合；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围．
【答案】（1）的值为0或者，当时，；当时，；
（2）．
【分析】（1）谈论和两种情况，当时，△，解出即可；
（2）方程无解时，且△，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得．
【解答】解：（1）当，集合，
当时，△，解得，
此时，
综上可知，的值为0或者，当时，；当时，；
（2）当集合中无元素时，方程无解，
则且△，
解得，
又当中只有一个元素时，或者，
故中至多有一个元素时，的范围为或者，
所以的取值范围为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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