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1.2 集合间的基本关系
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 沧州月考）已知集合有16个子集，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
2．（2024秋 青浦区月考）设满足，2，，2，3，4，5，，则集合的个数为　　
A．8 B．7 C．6 D．5
3．（2024春 合江县期末）已知集合满足，，2，3，4，，这样的集合有　　个．
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2024秋 浦东新区月考）已知集合，，，，则，之间最适合的关系为　　
A． B． C． D．
5．（2024秋 新蔡县月考）已知集合，，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为　　
A． B． C． D．
6．（2024秋 芗城区月考）下列五个写法：①，2，；②；③，1，，2，；④；⑤，其中错误写法的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024秋 青原区月考）集合，，，，，的关系是　　
A． B． C． D．
8．（2024秋 桃城区月考）某小学为落实双减，实现真正素质教育，在课后给同学们增设了各种兴趣班．为了了解同学们的兴趣情况，某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为　　
A．27 B．23 C．25 D．29
9．（2024秋 宝安区月考）集合，4，，，，，则满足条件的实数的所有值为　　
A．0或1 B．，0或2 C．0，1或2 D．，0，1或2
10．（2024秋 桓台县月考）已知集合，3，4，，且中至少有一个奇数，则这样的集合的个数为　　
A．11 B．12 C．13 D．14
二．多选题（共4小题）
11．（2024秋 江阴市月考）已知集合，，，若，则实数的值可以是　　
A． B． C．0 D．
12．（2024秋 淮安月考）满足，2，的集合是　　
A． B． C．， D．，
13．（2024秋 龙华区月考）设集合，，，且，则实数可以是　　
A． B．1 C． D．0
14．（2024秋 碑林区月考）已知集合，，若，则实数的值可以为　　
A．2 B．1 C． D．0
三．填空题（共4小题）
15．（2024秋 浦东新区月考）若集合且，，，且，则实数的取值范围为 　　．
16．（2024秋 贵州月考）已知，，集合，，，2，，则　　．
17．（2024秋 浦东新区月考）设，，集合，，，，则　　．
18．（2024秋 泊头市月考）已知集合或，，若，则实数的取值范围是 　　．
四．解答题（共6小题）
19．（2024 南靖县开学）已知集合有且仅有两个子集，求满足条件的实数组成的集合．
20．（2024秋 浦东新区月考）若集合，，集合，若，求实数的取值范围．
21．（2024秋 连云区月考）已知集合，．
（1）若，求的取值范围；
（2）如果是的真子集，求的取值范围．
22．（2024秋 嘉定区月考）已知，，，．
（1）若，求；
（2）若且，求的值．
23．（2024秋 浦东新区月考）设，是实数，集合，集合，集合，．
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围；
（3）若且，求的取值范围．
24．（2024 兰山区开学）（1）设集合，，当时，求实数的取值范围．
（2）已知，，若，求实数的取值范围．
一．选择题（共10小题）
1．【答案】
【分析】由子集个数得到元素个数，即可求解
【解答】解：集合有16个子集，
所以集合中有4个元素，分别为0，1，2，3，可得，
故实数的取值范围为．
故选：．
2．【答案】
【分析】根据子集的定义可知，至少含有三个元素，根据子集的定义知最多含有六个元素，采用列举法进行求解．
【解答】解：，2，，2，3，4，5，，
中至少含有三个元素且必有1，2，3，
而为集合，2，3，4，5，的子集，故最多六个元素，
，2，或，2，3，或，2，3，或，2，3，或，2，3，4，，
或，2，3，4，，或，2，3，5，或，2，3，4，5，
一共8个，
故选：．
3．【答案】
【分析】由题意知集合中的元素必有1，2，另外可从3，4，5中取，必须注意符号“”的含义．
【解答】解：由题意知集合中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取，
取0个，取1个，取2个，取三个，故有（个．
故选：．
4．【答案】
【分析】分析集合和中元素的特性，然后进行比较集合和的关系即可得出答案．
【解答】解：由集合，，可得中的元素是2的整数倍，
由集合，，，可得集合中的元素是2的奇数倍，
所以．
故选：．
5．【答案】
【分析】对进行分类讨论，根据来求得的所有可能的取值．
【解答】解：集合，，，且，
当时，，符合题意，
当时，，
则或，
所以或，
故由实数的所有可能的取值组成的集合为．
故选：．
6．【答案】
【分析】据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出①④⑤错，是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出②的对错；据集合元素的三要素判断出③对．
【解答】解：对于①，“”是用于元素与集合的关系，故①错；
对于②，是任意集合的子集，故②对；
对于③，集合中元素的三要素有确定性、互异性、无序性，
所以，1，，2，，所以，1，，2，，故③对；
对于④，“”是用于元素与集合的关系，故④错；
对于⑤，因为是用于集合与集合的关系，故⑤错．
故选：．
7．【答案】
【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断，，的关系可得结论．
【解答】解：任取，则，，
所以，所以，
任取，则，，
所以，所以，
所以，
任取，则，，
所以，所以，
又，，
所以，
所以，
故选：．
8．【答案】
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题．
【解答】解：作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，
则该班女生人数为．
故选：．
9．【答案】
【分析】由题意可知或，再结合元素的互异性求解即可．
【解答】解：因为集合，4，，，，，
所以或，
解得或或0或1，
由元素的互异性可知，，
所以或或0．
故选：．
10．【答案】
【分析】根据题意，分中有1个奇数或2个奇数两种情况讨论，由排列组合知识易得每种情况下的集合数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，中至少有一个奇数，包含两种情况，中有1个奇数或2个奇数，
若中含1个奇数，有，
中含2个奇数：，
由分类计数原理可得．共有种情况．
故选：．
二．多选题（共4小题）
11．【答案】
【分析】根据题意，先对集合进行化简，再根据集合的情况进行分类讨论求出参数的值，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得，，
而，且，
①若是空集，即时，满足；
②若不是空集，即时，此时，则有或，解得或．
综上所述，实数的值可以是0或或．
故选：．
12．【答案】
【分析】根据已知条件，结合子集的定义，即可求解．
【解答】解：对于，，
集合必然含有元素1，即，，，故错误；
对于，，2，，
元素2，3可能是集合中的元素，也可能不是，
满足，2，的集合可以是或，，故正确．
故选：．
13．【答案】
【分析】依题意，结合子集定义，分或讨论即可．
【解答】解：集合，，，且，
当时，时，满足，符合题意，
当时，，
所以或，
解得或．
故选：．
14．【答案】
【分析】先将集合中的方程左式分解因式，就参数进行分类考虑，结合题设条件判断计算即得．
【解答】解：，，
由可得，
①当时，，满足，
②当时，，满足，
③当且时，，
要使，须使，
解得，
此时，，满足，
综上所述，实数的值可以为0，2，1．
故选：．
三．填空题（共4小题）
15．【答案】，．
【分析】根据集合间的包含关系分析即可求得结论．
【解答】解：由，可得，
即，
又，，且，
则有，
故实数的取值范围为，．
故答案为：，．
16．【答案】8．
【分析】根据集合相等，结合元素的互异性求参数，进而确定目标式的值．
【解答】解：集合，，，2，，
若，则，2，不满足元素的互异性，
所以，显然满足题设，
所以．
故答案为：8．
17．【答案】2．
【分析】利用集合相等的定义求解．
【解答】解：，，集合，，，，
，
解得，，
则．
故答案为：2．
18．【答案】，．
【分析】根据直接求出的取值范围即可．
【解答】解：因为集合或，，且，
所以，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
四．解答题（共6小题）
19．【答案】．
【分析】利用子集个数的公式可确定中元素个数，结合方程解的个数讨论即可．
【解答】解：因为集合有且仅有两个子集，
所以中只有一个元素，
若，此时，符合题意；
若，要符合题意则需一元二次方程只有一个实数根，
即△，即，
综上满足条件的实数组成的集合为．
20．【答案】，．
【分析】将集合化简，再由可得或或或，，分别代入计算，即可求解．
【解答】解：集合，，
因为，
所以或或或，，
①当时，△，
所以，
解得；
②当时，，
即，
所以；
③当时，，无解；
④当，时，，无解，
综上所述，实数的取值范围为，．
21．【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）当时，满足；当时，根据子集关系列式可得结果；
（2）根据真子集关系列式可求出结果．
【解答】解：（1）当时，，即时，满足；
当时，由可得，
解得，
综上所述：实数的取值范围是；
（2）因为是的真子集，所以，
解得，
即的取值范围为．
22．【答案】（1）；
（2）1或2．
【分析】（1）根据给定条件，结合含参的一元一次方程解的意义求出；
（2）根据给定条件，求出集合，再利用集合的包含关系求出值．
【解答】解：（1）当时，对任意实数，恒有，因此，
所以；
（2）当时，，
由，得或，
解得或，
所以的值1或2．
23．【答案】（1）；
（2），；
（3）．
【分析】（1）解二次不等式求出集合，分类讨论和即可得解；
（2）利用集合的包含关系列出关于的不等式组，解之即可得解；
（3）先求得，再利用集合的包含关系列出关于的不等式组，解之即可得解．
【解答】解：（1），即，
解得，
所以，
，即，
当时，即时，解集为，
当时，即时，解得，
当时，即时，解得，
因为，
当时，，
当时，当时，，
解得，
所以，
当时，，
解得，
所以，
综上所述，若，的取值范围为；
（2）因为，，，，
则，
解得，
所以的取值范围为，；
（3）当时，，
又，，，
所以，
解得，
综上：的取值范围为．
24．【答案】（1）或；
（2）．
【分析】（1）分与计算即可得；
（2）由题意可得的所有可能，再分类逐个计算并判断即可得．
【解答】解：（1），
当，即时，，满足，
当时，，
因此，要使，则需，
解得，
综上所述，的取值范围是或；
（2），，
因为，所以或或或，，
当时，方程的判别式△，即；
当时，由韦达定理有，
所以，
当时，有，
无解，
当，时，有，
无解，
综上所述，实数的取值范围为．
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