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2024-2025学年合肥市百花中学等四校联考高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A. B. C. D.
2.已知篮球运动员甲、乙的罚球命中率分别为，，且两人罚球是否命中相互独立若甲、乙各罚球一次，则恰有一人命中的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知表示两条不同直线，表示平面，则下列选项正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.在中，角的对边分别为，若，则的形状为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形
5.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
6.从长度分别为，，，的条线段中任取条，能构成钝角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知分别为内角的对边，的面积，则( )
A. B. C. D.
8.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则( )
A. 的平均数等于的平均数
B. 的中位数等于的中位数
C. 的标准差不小于的标准差
D. 的极差不大于的极差
10.已知向量，，则( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量的坐标为
11.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是( )
A. 平面截正方体所得截面面积为
B. 点的轨迹长度为
C. 存在点，使得
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知平面内有、、、四点，其中，，三点共线，且，则 ．
13.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的表面积为 ．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知复数满足
求复数
若复数是关于的方程的一个根，求，的值
16.在中，内角、、的对边分别为，，，且，已知，，，求：
Ⅰ和的值；
Ⅱ的值．
17.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图第一五组区间分别为，，，，．
求选取的市民年龄在内的人数
利用频率分布直方图，估计名市民的年龄的平均数和第百分位数
若从第，组用分层抽样的方法选取名市民进行座谈，再从中选取人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率．
18.如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，．
用，表示向量；
求的值；
求与夹角的余弦值．
19.图是由矩形，和菱形组成的一个平面图形，其中，，，将其沿，折起使得与重合，连结，如图．
证明：图中的，，，四点共面，且平面平面；
求图中的二面角的大小．
参考答案
1.
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6.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以．
因为复数是关于的方程的一个根，
所以，
所以，解得．

16.解：Ⅰ，，
，即，
，
由余弦定理得：，即，
，
联立得：，；
Ⅱ在中，，
由正弦定理得：，
，为锐角，
，
则
．
17.解：由题意可知，年龄在内的频率为，
故年龄在内的市民人数为；
平均数为；
前三组的频率和为，
第四组的频率为，所以第百分位数在第四组，
第百分位数为；
易知，第组的人数，第组频率之比为，
若用分层抽样的方法在第、两组市民抽取名参加座谈，
则应从第，组中分别抽取人，人，
记第组的名分别为，，，第组的名分别为，，
则从名中选取名作重点发言的所有情况为，，，，，，，，，，共有种，
其中第组的名，至少有一名被选中的有：，，，，，，，共有种，
所以至少有一人的年龄在内的概率为．

18.如图，连接，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
由向量的加法法则得，
故，即成立．
由于，可得，又有，
所以；
，故．
由向量的减法法则得，
由于，可得，又有，
得到，故，
则，
由上问得，故．

19.证：，，又因为和粘在一起．，，，，四点共面又，．平面，平面，平面平面，得证过作延长线于，连结，因为平面，所以而又，故 GC平面，所以又因为所以是二面角的平面角，而在中，又因为故，所以而在中，，即二面角的度数为．

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