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2024-2025学年福建省百校高二下学期期末联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“为锐角”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知函数在处可导，且，则( )
A. B. C. D.
3.设随机变量，，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，若且，则( )
A. B. C. D.
5.已知一道解答题共有两小问，某班个人中有个人能够解答出第一问．在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为，则解答出第二问的概率为( )
A. B. C. D.
6.若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.从编号的张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到的卡片编号数字为的倍数”，事件：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则( )
A. B. C. D.
8.在一个具有五个行政区域的地图上，用种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标可能为( )
A. B. C. D.
10.关于的展开式，下列说法中正确的是( )
A. 各项系数之和为 B. 第二项与第四项的二项式系数相等
C. 常数项为 D. 有理项共有项
11.函数的部分图象如图所示，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象向左平移个单位长度后得到函数
C. 的单调递增区间为
D. 若方程在上有且只有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则圆台体积的最大值为 ．
14.已知数列的前项和为，且，则____ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
在等差数列中，，．
求通项公式及其前项和的最小值；
若数列为等比数列，且，，求的前项和．
17.本小题分
已知函数在取得极值为．
求实数，的值；
若，求函数在区间上的值域．
18.本小题分
甲参加一项招聘考试，分为笔试和面试两个环节，笔试成绩合格后才能进入面试笔试共有道专业理论题与道岗位实践题，每道专业理论题的难度系数考生能够正确作答的概率均为，每道岗位实践题的难度系数均为，考生至少答对道题才能进入面试，否则被淘汰出局；面试共有道问答题，由考官逐一提问作答，累计答对道题或答错道题，面试结束已知甲笔试得满分的概率为，笔试和面试各题是否答对相互独立．
当时，求；
求甲能够进入面试的概率的最小值及相应的值；
已知甲通过了笔试环节，面试时每道题的难度系数是中求得的值，令甲面试结束时的答题数为，求的分布列与数学期望．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若，求实数的取值范围；
若函数有且仅有两个零点，，且，证明：．
参考答案
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13.
14.
15.解：，
，
又，
，即．
又，．
，的面积为，
，即．
由余弦定理可得，
即，
又，．
的周长为．

16.解：设等差数列的公差为．
因为，所以，解得
所以．
所以．
因为，所以当或时取得最小值，
且最小值为．
由可得：，，
所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和．

17.解：由，有
解得，，故，．
由有，，
令有或，可得函数的减区间为，增区间为，，
又由，，令可得或，
当时，，，函数在区间上的值域为．
当时，，，函数在区间上的值域为．
当时，，，函数在区间上的值域为．
综上所述：当时，函数在区间上的值域为；
当时，函数在区间上的值域为；
当时，函数在区间上的值域为．

18.解：由题意，笔试和面试各题是否答对相互独立，
所以甲笔试满分的概率为，则，
又，所以．
由题意，甲至少答对道题才能够进入面试，
所以甲能够进入面试的概率，
由知，则，
则，
整理得，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以甲能够进入面试的概率的最小值为，相应的值为．
由知，面试时每道题的难度系数是，则甲答对每道面试题的概率，
由题意，甲累计答对道题或答错道题，面试结束，
所以甲面试结束时的答题数的可能取值为，，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以的分布列为：
数学期望为：．

19.解：由，
当时，有，函数单调递增；
当时，令，有，可得函数的减区间为，增区间为．
当时，由，符合题意．
当时，由，不合题意．
当，若，有，可得，
由上知，若，则实数的取值范围为．
由知，当时，函数单调递增，最多只有一个零点，可得，
又由，，有，
要证：，只需要证，
只需要证：，只需要证：，
只需要证：，
令，上述不等式可化为，
只需证：，
令，有，
令，有，
可得函数单调递增，有，
可得函数单调递增，有当且仅当时取等号，
可得不等式成立，由上知．

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