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2024-2025学年福建省福州市台江区九校高一下学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，若，则 ．
A. B. 的虚部为
C. D. 在复平面内对应的点在第三象限
2.已知向量，，若与垂直，则实数( )
A. B. C. D.
3.某校文艺部有名学生，其中高一、高二年级各名．从这名学生中随机选名组织校文艺汇演，则这名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
4.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
5.抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“至多有一枚硬币正面朝上”，事件“两枚硬币正面均朝上”，事件“两枚硬币正面均朝下”，则( )
A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与对立 D. 与对立
6.某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形如图所示，将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
8.如图，圆内接边长为的正方形是弧包括端点上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.福州市某中学高一年级学生参加了一次英语口语能力测试，其中男生人，女生人现在按性别进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到一组测试成绩的样本样本中有位女生的测试成绩，分别是，，，，，，，，样本中男生测试成绩的平均数为，则( )
A. 样本中有位男生的测试成绩 B. 样本中女生测试成绩的第百分位数是
C. 样本中女生测试成绩的方差为 D. 样本中所有学生测试成绩的平均数为
10.已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 恒成立
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则是等腰三角形
11.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 当为中点时，
C. 存在点，使得平面平面
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在的投影向量的坐标是 ．
13.已知事件和事件相互独立，表示事件的对立事件，，，则 ．
14.在中，是边上一点，且，，则 ；若，则的面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
是复平面内的平行四边形，，，，四点对应的复数分别为，，，，
求复数；
是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
在中，角 所对的边分别为，且向量．
求角；
若的面积为，点为边的中点，求的长．
17.本小题分
随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变．消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在内的老年人的年收入按年龄分成两组进行分层随机抽样调查，已知抽取了年龄在内的老年人人．年龄在内的老年人人．现作出年龄在内的老年人年收入的频率分布直方图如下图所示．
根据频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数及第百分位数；
已知年龄在内的老年人年收入的方差为，年龄在内的老年人年收入的平均数和方差分别为和，试估计年龄在内的老年人年收入的方差．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
平面；
若平面与平面的交线为，求与平面所成的角．
19.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空设每场比赛双方获胜的概率都为，
求甲连胜四场的概率；
求需要进行第五场比赛的概率；
求丙最终获胜的概率．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：复平面内、、对应的点坐标分别为，，，
设的坐标，由于，
，
，，
解得，
，故，
则点对应的复数；
是关于的方程的一个根，
是关于的方程的另一个根，
则，，
即，．

16.【答案】解：因为，所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以．
解法一：因为，
所以，则
即，
又，所以，则，所以．
故．
所以，
所以．
在中，由余弦定理可得
，
即．
解法二：因为，
所以，则
即，
又，所以，则，所以．
故．
所以，
所以．
由余弦定理得：，所以，
又，，
所以，所以．
解法三：因为，
所以，则
即，
又，所以，则，所以．
故．
所以，
所以．
由余弦定理得：，所以，
由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得，
所以，
所以．

17.【答案】解：由频率分布直方图，估计该地年龄在内的老年人年收入的平均数约为，
由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，
年收入在万元以下的老年人所占比例为，
因此，第百分位数一定位于内，
由，
可以估计该地年龄在内的老年人年收入的第百分位数为．
设年龄在内的老年人样本的平均数为，方差记为；
年龄在内的老年人样本的平均数记为，方差记为；
年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为．
由得，，由题意得，，，，
则，
由，
可得，
即估计该地年龄在内的老年人的年收入方差为．

18.【答案】解：连接，交于点，
可知四边形是平行四边形，可得为中点，
又是的中点，则，又平面，平面，
所以平面．
根据题意，三棱柱为直三棱柱，则，
又由，则，
，面，面
则有面，又面，所以，
又由，则四边形为正方形，则，
又由，面，面，则有面，
面，则；
延长交于，连接，则面，面，又面，面，
则直线即为直线由，且，则，
又且，所以且，则四边形为平行四边形，故，故为与平面所成的角．
因为，所以．
即与平面所成的角为．

19.【答案】解：记事件甲连胜四场，则；
记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，
则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为．
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为．

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