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2024-2025学年福建省莆田市高一下学期期末质量调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.现有男志愿者人，女志愿者人，按性别进行分层，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为的样本，则女志愿者应抽取的人数是( )
A. B. C. D.
3.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.若向量满足，且与垂直，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.为了测量某建筑物的高度，选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量点现测得米，在点处测得该建筑物顶部的仰角为，则该建筑物的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.一个袋子中有标号分别为的个球，除标号外没有其他差异从中不放回地依次随机摸出个球设事件“第一次摸出球的标号小于”，事件“第二次摸出球的标号为奇数”，则( )
A. 与对立 B. 与互斥但不对立
C. 与相互独立 D. 与既不互斥也不独立
8.已知三棱锥的底面与侧面均是边长为的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若向量，则( )
A. B.
C. 在上的投影向量为 D. 与的夹角为
10.若复数满足，复数的虚部为，且是实数，则( )
A. 的实部是
B. 在复平面上对应的点位于第四象限
C. 的共轭复数是
D. 复数满足，则的最大值是
11.在棱长为的正方体中，点在棱上，且，点在正方形内含边界运动，则( )
A. 当时，平面截该正方体所得的截面面积为
B. 当时，点到平面的距离为
C. 当，且平面时，点的轨迹长度为
D. 当，且时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在四边形中，，以所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为 ．
13.已知一组数据的平均数和方差均为若，则数据的方差为 ．
14.已知点是的重心，过点的直线分别交边于点，设，，则 ；若，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
寒假期间某学校团委组织学生开展志愿服务活动，假期过后对学生的志愿服务时长单位：小时作一次随机抽样调查，画出频率分布直方图如图所示根据志愿服务时长从长到短，时长在前的学生可获得“优秀志愿之星”的称号．

求的值，并估计该校学生志愿服务时长的平均数同一组数中的数据用该组区间的中点值作为代表；
试估计至少需要参加多少小时的志愿服务活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号．
16.本小题分
如图，在棱长均为的正三棱柱中，点为棱的中点．
证明：平面；
求异面直线与所成的角的余弦值．
17.本小题分
记的内角所对的边分别为，向量，且．
求角；
若，点为的内心，求面积的最大值．
18.本小题分
如图，正方形所在的平面与直角梯形所在的平面互相垂直，已知，，点在线段上

求证：平面平面；
当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的大小．
19.本小题分
黑棋和白棋从数轴的原点出发每次移动由甲和乙各抛掷一枚质地均匀的硬币决定：若甲掷出正面，则黑棋向右移动一个单位；若甲掷出反面，则黑棋不移动若乙掷出正面，则白棋向右移动一个单位；若乙掷出反面，则白棋不移动．
若甲抛掷次，求黑棋离开原点的概率；
若甲乙各抛掷次，求黑棋比白棋向右移动更远的概率；
现黑棋落后白棋一个单位，若甲再抛掷次，乙再抛掷次，求最终黑棋不落后于白棋的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

15.解：由，
解得，
平均数
；
依题意知所求时长为这组数据的第百分位数，
因为，
，
所以第百分位数位于内，
所以，
解得，
所以至少需要参加个小时的志愿活动方可获得本次“优秀志愿之星”的称号“．

16.解：证明：连接交于，连接，
侧面为平行四边形，为的中点．
又点为的中点，，
又平面平面，
平面．
由得为异面直线与所成的角或其补角．
在棱长均为的正三棱柱中，，，，
在中，由余弦定理得，
异面直线与所成的角的余弦值为．

17.解：由题意得，
由正弦定理得，
因为，所以，所以，
所以，又，所以．
解法一：由知，因为点为的内心，
所以，
由三角形内角和定理得．
在中，由余弦定理得，又，
所以，由基本不等式得，
所以，当且仅当等号成立．
所以的面积
所以的面积的最大值为；
解法二：设的内切圆半径为，
所以的面积，
又，所以，
因为点为的内心，
所以，
在中，由余弦定理得，即，
所以，即，由基本不等式得，
解得，当且仅当等号成立．
所以，
所以的面积的最大值为．

18.解：四边形为正方形，，
又平面平面，平面平面平面，
平面，

又平面．
取中点，连接，由已知得，
又，
又平面平面，平面．
又平面平面平面．
连接，过点作于点，过作于点，连接．
由得平面，又平面，
又平面平面，
为直线与平面所成的角．．
解法一：设，则有，则
，解得
，
平面平面，
，
又平面平面，
平面．
又平面为二面角的平面角．
二面角的大小为．

解法二：设，则有，
又．
由余弦定理得，
即，解得．
，
平面平面，
又平面平面，
平面．
又平面为二面角的平面角．
二面角的大小为．

19.解：解法一：记事件”甲第次掷出正面“，”乙第次掷出正面“，
则以上事件都相互独立，且．
设事件”黑棋离开原点“，则
；
解法二：用表示硬币”正面朝上“，表示硬币”反面朝上“，
则甲抛掷次硬币的样本空间
，
且各个样本点出现的可能性相等，，
设事件”黑棋离开原点“，
则，所以，
所以．
设事件”黑棋比白棋向右移动更远“，
则由题意知”甲掷出正面的次数大于乙掷出正面的次数“
解法一：事件包含，
且它们两两互斥，
所以
解法二：事件包含”甲掷出次正面，乙掷出次正面“和”甲掷出次正面，乙掷出次或次正面“，
甲掷出次正面，乙掷出次正面的概率为，
甲掷出次正面，乙掷出次或次正面的概率为，
所以．
解法一：设事件”最终黑棋不落后于白棋“，
甲抛掷次掷出正面的次数为，乙抛掷次掷出正面的次数为，
则
，
即，
又，
所以．
解法二：设事件”最终黑棋不落后于白棋“，
则由题意知”甲抛掷次掷出正面的次数大于乙抛掷次掷出正面的次数“，
设事件”各抛掷次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“，
事件”各抛掷次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数“，
事件”各抛掷次甲掷出正面的次数乙掷出正面的次数，
则，且，
则
．

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