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2024-2025学年福建省漳州市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，，则 ．
A. B. C. D.
2.如图，是一个平面图形的直观图，其中，
，则原图形的面积为 ．
A. B.
C. D.
3.在正方体中，则异面直线与的所成角为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量的夹角是，，，则 ．
A. B. C. D.
5.漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为．
A. B. C. D.
6.在正四棱台中，，，二面角的平面角为，则该正四棱台的体积是 ．
A. B. C. D.
7.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩满分为分，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则．
A. 频率分布直方图中的的值为
B. 该年级物理成绩的众数的估计值为分
C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为分
D. 若物理成绩排名前的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于分
8.在中，，，，是边上的中线，则向量在向量上的投影向量为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数的是．
A. 平均数为，中位数为 B. 平均数为，方差为
C. 平均数为，极差为 D. 平均数为，第百分位数为
11.已知内接于圆，，设，则 ．
A. B. 若，则圆的面积为
C. 若，则圆的面积为 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某工厂生产三种不同型号的产品，数量之比为，现采用分层抽样的方法抽取个产品进行分析，则型号产品被抽取的数量等于 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则 ．
14.已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知为虚数单位，复数满足，其中．
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．
求向量与向量夹角的余弦值；
点是线段的三等分点，求点的坐标．
17.本小题分
给定两个数组与，称为这两个数组之间的“差异量”，令数组，且集合，．
当时，写出的所有可能情况；
记，求的概率．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，．
求；
若为中点，且，求的周长；
若是锐角三角形，求面积的取值范围．
19.本小题分
九章算术是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图，在四面体中，底面，平面平面．
求证：四面体为鳖臑；
若，，是的中点．
(ⅰ)求与平面所成角的正弦值；
(ⅱ)已知，分别在线段，上移动，若平面，求线段长度的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
所以，
若为纯虚数，则，解得；
由知，，
若在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，
所以的取值范围为．

16.解：因为点为坐标原点，，，所以，，
则，
所以向量与向量夹角的余弦值为；
若点是线段的三等分点，则或，设，
当时，，
则，解得，所以；
当时，，
则，解得，所以，
故点的坐标为或．

17.解：的所有可能情况为，，，，，；
因为，由知，的所有可能情况有种，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以满足的有，共种，
所以的概率为

18.解：因为，由正弦定理得，
即，
所以，
所以，因为，所以，
所以，得，由，得；
因为为中点，所以，
则，
所以，解得舍或，
由余弦定理得，所以，
所以的周长为；
在中，由正弦定理得，
所以，
所以
根据题意得，解得，
所以，所以，所以，
所以，
所以的取值范围是．

19.解：如图，在平面内过点作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面，平面，
所以，所以为直角三角形，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以为直角三角形，
所以四面体为鳖臑；
如图，取的中点，连接，
因为底面，底面，所以，
因为，所以，
又，平面，所以平面，
所以即为与平面所成的角，
因为，，是的中点，
所以，，所以，
所以，
所以与平面所成角的正弦值为；
(ⅱ)如图，过点作，垂足为，连接，
由知，，平面，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，，平面，
所以平面平面，
因为平面平面，平面平面，所以，
设，则，，
易知，所以，即，得，
所以，
则当时有最小值
所以线段长度的最小值为．

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