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2024-2025学年甘肃省甘南藏族自治州高一下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
4.计算：( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两人独立地解同一问题解决这个问题的概率分别为和，则恰好有人解决这个问题的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，满足，且，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形
C. 顶角为的等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知，，在所在平面内，且，且，则点，，依次是的( )注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心
A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心
8.已知正方体的棱长为，，分别为棱的中点，过，，作正方体的截面，则截面多边形的周长为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则，可以是异面直线
C. 若，则
D. 若，则
10.已知向量满足，且，则( )
A. B. 与的夹角为
C. 与的夹角为 D.
11.在平面直角坐标系中，若，则称“”为，点的“曼哈顿距离”若动点到两定点的“曼哈顿距离”之和为定值，则称点的轨迹为“曼哈顿椭圆”若点为该“曼哈顿椭圆”上一点，则下列说法正的是( )
A. 已知点，则
B. “曼哈顿椭圆”关于轴、轴、原点对称
C. 的周长为
D. 该“曼哈顿椭圆”的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ．
13.已知，则的值为 ．
14.在平面四边形中，是边长为的等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体外接球表面积最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知某校高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为，，现采用分层抽样的方法从中抽取名同学去儿童福利院参加庆六一献爱心活动．
应从高一、高二、高三三个年级的学生中分别抽取多少人？
设抽出的名同学分别用，，，，，，表示，现从中随机抽取名同学承担献爱心活动的主持工作．
(ⅰ)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ⅱ)设事件为“抽取的名同学来自同一年级”，求事件发生的概率．
17.本小题分
如图，四棱锥的各个棱长均相等，为侧棱上的点，且．
求证：；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知向量．
若，求的值；
若：
求函数的单调递增区间；
已知，将的图象向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到函数的图象在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，已知圆内接四边形的边长分别为，求四边形的面积；
如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，，试证明其面积为．

已知凸四边形的边长分别为，求四边形内切圆半径的取值范围．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：因为复数是纯虚数，
所以
由，可得或，
由，可得且，
所以；
因为复数在复平面内对应的点位于第四象限
所以，化简可得
所以，
所以，实数的取值范围是．

16.解：由题意知，高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者人数之比为，
又采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法，从中抽取名同学．
所以应从高一年级的学生志愿者中抽取人
从高二年级的学生志愿者中抽取人
从高三年级的学生志愿者中抽取人
所以应从高一、高二、高三，三个年级的学生志愿者中分别抽取人，人，人．
不妨设为高一学生，为高二学生，为高三学生，
随机试验从中随机抽取名同学的所有可能得抽取结果的集合
共含有个样本点．
(ⅱ)因为事件为“抽取的名同学来自同一年级”，
所以，含个样本点，
所以，

17.解：设，即为中点，
由题意得，所以，
底面为菱形，所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，所以．
取上靠近的三等分点，
设点为的中点，
因为分别为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为∽，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面，
因为点为的中点，所以．

18.解：已知，即．
若，则；
若，则，．
由已知．
令，解得：
时，单调递增．
将的图象向左平移个单位长度，
向下平移个单位长度得到函数．
设，因为，
则，．
由，
整理得：．
因为，故，
当且仅当且时，方程成立故存在点．

19.解：如图所示：
连接，在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，则，
两式相减得，
又，
所以，
所以．
如图所示：
连接，在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，则，
两式相减得：，
所以，
而，
因为，
所以
，
所以，
所以，
则，
，
即．
知凸四边形的边长分别为，求四边形内切圆半径的取值范围
在和中分别应用余弦定理，有
则，又，
两式平方相加，整理得
，
注意到
，
故，
，
当，即、、、四点共圆时取等号．
另一方面，由知，最小时，最小，此时最大．
又因为，所以只需令最大即可．
设由三角不等式有．
易知随增加而增加，随增加而增加，
所以只需比较和的情况即可．
此时四边形分别趋向于退化成边长为、、和、、的三角形，
经比较可得面积较小者为．
故，
综上，的取值范围是．

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