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2024-2025学年甘肃省酒泉市普通高中高一下学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列条件中能得到的是( )
A. B. 与的方向相同
C. ，且 D. 且
2.从装有个红球和个黄球的口袋内任取个球，那么“至少有个红球”的对立事件是( )
A. 至少有个红球 B. 至少有个黄球 C. 都是黄球 D. 至多个红球
3.设为实数，复数，，若为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
4.下列命题是真命题的是( )
A. 已知数据，的平均值为，方差为，则数据相对于原数据一样稳定
B. 若甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，则这两组数据中较稳定的是乙
C. 数据，，，，，的平均数、中位数相同
D. 数据，，，，，，，，，，的众数是和
5.给出下列个命题，其中正确的命题是．
垂直于同一直线的两条直线平行； 垂直于同一平面的两条直线平行；
垂直于同一直线的两个平面平行； 垂直于同一平面的两个平面平行．
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，若，则等于( )
A. B. C. D.
7.已知，则 等于( )
A. B. C. D.
8.已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一个袋子中装有件正品和件次品，按以下要求抽取件产品，其中结论正确的是( )
A. 任取件，则取出的件中恰有件次品的概率是
B. 每次抽取件，不放回抽取两次，样本点总数为
C. 每次抽取件，不放回抽取两次，则取出的件中恰有件次品的概率是
D. 每次抽取件，有放回抽取两次，样本点总数为
10.已知向量与的夹角为，且，，则下列结论成立的是( )
A. B.
C. D. 在方向上的投影是
11.下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，若，则 ．
13.已知向量对应的复数为，复数可以将向量按逆时针方向旋转 得到填最小正角．
14.在四面体中，，且，，，则该四面体体积的最大值为 ，此时该四面体外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等腰三角形顶角的余弦值为，求这个三角形底角的正弦、余弦以及正切值．
16.本小题分
已知、分别是四边形的边，的中点．
求证：；
若四边形是边长为的正方形，点是边的中点，求证：；
若四边形是边长为的正方形，点是边上的动点，求的最大值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
若外接圆的面积为，，求；
若，求面积的最大值．
18.本小题分
“数学好玩”是国际著名数学家陈省身赠送给少年数学爱好者们的一句话某校为了更好地培养学生创新精神和实践能力，激发学生钻研数学的兴趣和热情，特举办数学节活动在活动中，共有道数学问题，满分分在所有的答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．

求频率分布直方图中的值，并估计该校全体学生这次数学成绩的中位数；
活动中，甲、乙、丙三位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了道，乙同学答对了道，丙同学答对了道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同．
任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
任选一道数学问题，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对的概率为，求的值．
19.本小题分
如图，在四面体中，，，为的中点，为上一点．
求证：平面平面；
若，分别是，的中点，求证：平面；
若，，．
求二面角的余弦值；
求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
参考答案
1.
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15.解：设等腰三角形的顶角为，底角为，依题意，，
因为，所以，，
由，解得，，
所以．

16.解：如图，
．
以点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，依题意，
有，，，，，，
则，，由，可得．
由，设，，则，，，，
因为，所以当时，的最大值为．

17.解：设外接圆的半径为，依题意，，得，
由正弦定理可得，所以，
又因为，，所以，由正弦定理，，
由且，得或即或
由，化简得，
因，故，解得，则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以面积的最大值为．

18.解：由频率分布直方图有，
解得，
因为，，
所以中位数在区间内，设为，
则有，得，
所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为；
设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，
“任选一道题，丙答对”，
则由古典概型概率计算公式得：，，，
所以有，，，
记“甲、乙两位同学恰有一人答对”，
则有，且有与互斥，
因为每位同学独立作答，所以，互相独立，则与，与，与均相互独立，
所以
，
所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率；
记“甲、乙、丙三个人中至少有一个人答对”，则，
所以
，
解得：．

19.解：在四面体中，，，为的中点，则，，
而，平面，得平面，
又平面，所以平面平面．
因为为中点，为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面．
依题意，，，为的中点，则，，
故即为二面角的平面角，
由于，又，则，，
又，则，，
在中，，由余弦定理，，
故二面角的余弦值为．
由于，故，
，
因平面，则，
因为，即，则，
设点到平面的距离为，则，解得，
即点到平面的距离为，
设直线与平面所成角为，所以，
因为，所以，
故当时，最短，此时由可得
，故正弦值最大为．

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