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2024-2025学年甘肃省天水市高一下学期期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
4.某校学生会随机抽查了本校名学生的身高单位：，将得到的数据按分为组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这名学生中身高低于的人数为( )
A. B. C. D.
5.从这个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于的概率为( )
A. B. C. D.
6.小华为测量，视为质点两地之间的距离，选取，与，在同一水平面上两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则，两地之间的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知半径为的球与某圆锥的底面和侧面均相切，且该圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
8.若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数，则( )
A.
B. 的实部与虚部之和等于的实部与虚部之和
C. 的共轭复数为
D. 在复平面内对应的点位于第四象限
10.连续抛掷一枚硬币两次，事件表示“第一次硬币正面朝上”，事件表示“第二次硬币反面朝上”，事件表示“两次硬币都正面朝上”，事件表示“两次硬币朝上的情况不同”，则( )
A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.在正方体中，，分别为线段的中点，为正方形内包含边界的动点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 不存在点，使得平面平面
C. 存在唯一的点，使得平面
D. 直线与平面所成角的正弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集为 ，的解集为 ．
13.在正四棱台中，分别是棱的中点，若正四棱台的侧面积为，则异面直线与所成角的余弦值是 ．
14.赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形，其中，，，，，分别是，，，，，的中点，是正六边形的中心．若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了产地和产地各个玉菇甜瓜的重量单位：，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据产地：
第二组数据产地：
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第百分位数和第二组数据的中位数相等．
求，；
请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.本小题分
已知函数的最小正周期为，且的图象关于点对称．
求的解析式；
若函数，求的值域和单调区间．
17.本小题分
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜局，此人最终获胜，比赛结束；局比赛后，没人累计获胜局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相同为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为，且每局比赛的结果相互独立．
求比赛局结束的概率；
求甲最终获胜的概率．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，且．
求．
已知．
若内切圆的圆心为，求；
在线段，，上分别存在点分别与线段，，的端点均不重合，使得，求的最小值．
19.本小题分
定义两个多面体的相似度，其中是多面体重合部分的体积，分别是多面体的体积．如图，在三棱锥中，分别是棱，的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
当时，求三棱锥与三棱锥的相似度．
是否存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：由题意得，得
因为，所以第一组数据的第百分位数为，
又第二组数据的中位数为，所以，得
第一组数据的平均数为
方差为，
第二组数据的平均数为
方差为，
因为，所以估计产地的玉菇甜瓜重量更稳定．

16.解：由题意得，
因为的图象关于点对称，所以，
得，又因为，所以，
即；
由题意得
所以的值域为．
由，得
所以的单调递增区间为
由，得，
所以的单调递减区间为．

17.解：比赛局结束的情况有以下两种：
第一种情况是前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第二种情况是前局比赛中乙获胜局，且第局比赛乙获胜，其概率为．
故比赛局结束的概率为．
甲最终获胜的情况有以下三类：
第一类情况是甲连胜局，比赛结束，其概率为；
第二类情况是前局比赛中甲获胜局，且第局比赛甲获胜，其概率为；
第三类情况是局比赛后甲最终获胜，包含甲获胜局，其他局平局，前局比赛中甲获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜，
前局比赛中甲获胜局，乙获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜这三种情况，
甲获胜局，其他局平局的概率为
前局比赛中甲获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜的概率为，
前局比赛中甲获胜局，乙获胜局，其他局平局，且第局比赛甲获胜的概率为．
故甲最终获胜的概率为．

18.解：由正弦定理得，
得，
得．
因为，所以．
如图，由题意得．
由余弦定理得，得．
设内切圆的半径为，则，
因为，所以．
如图，设，则．
由正弦定理，得．
由，得，得．
由，得，得．
．
由，得，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以，
故的最小值为．

19.解：设的面积为，点到平面的距离为，点到平面的距离为
则三棱锥的体积．
取棱的中点，连接．
因为，分别是棱，的中点，所以，
所以，则．
因为，所以是线段的中点，所以．
因为是线段的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，
所以三棱锥的体积，
则三棱锥与三棱锥的重合部分的体积．
因为，且，所以，所以．
易证，则，所以．
因为，所以点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
故三棱锥与三棱锥的相似度．
因为，所以，所以．
因为是线段的中点，所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍，
所以三棱锥的体积，
则三棱锥与三棱锥的重合部分的体积．
因为，且，所以，所以．
易证，则，所以．
因为点到平面的距离为，所以点到平面的距离为，
则三棱锥的体积，
故三棱锥与三棱锥的相似度．
假设存在满足条件的，则，所以，
所以，解得或或．
因为，所以，即存在，使得三棱锥与三棱锥的相似度．

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