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海南省海口市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题
一、单选题
1．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则下列式子中错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．若是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知关于x、y的二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
6．将一副三角板如图放置，使点落在上，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，已知是直线上一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点．若，则的长不可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．如图所示，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板砖铺满，则n等于( )
A．4 B．6 C．8 D．10
9．如图，在直角三角形中，，根据尺规作图的痕迹，以下结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，点A、F、C、E在一条直线上，连接．若，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，是正外的一点，且，若将绕点逆时针旋转后到达的位置，与交于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
12．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，问竿子、绳索各多少尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知是方程的一个解，则的值为 ．
14．如图，直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，则的长为 ．
15．如图，在中，是延长线上一点，过点的直线分别交、于点E、F，若，则 度（用含x、y的代数式表示）．
16．如果是一个有理数，我们定义表示不小于的最小整数．如，．若满足，则的取值范围是 ．
三、解答题
17．（1）解方程：；
（2）解方程组：；
（3）求不等式组的所有整数解．
18．代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
已知：，求证：．
证明：∵，
____________，
____________1，
____________．
(1)将上面的证明过程填写完整；
(2)小明从水果摊上以每个苹果元的价格买了三个苹果，又以每个橙子元的价格买了两个橙子，已知苹果比橙子便宜．后来小明以每个水果元全部卖给了小红，结果发现他赚钱了，请用不等式的相关知识说明理由．
19．根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式．
素材二 精包装 简包装
每盒2斤，每盒售价25元 每盒3斤，每盒售价35元
问题解决
任务一 在活动中，学生共卖出了700斤草莓，销售总收入为8500元，请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 现在需要对75斤草莓进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这75斤草莓整盒分装完．每个精包装盒的成本为1元，每个简包装盒的成本为0.5元．若要将购买包装盒的成本控制在18元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
20．如图，点在的边上，且．
(1)若，则____________（用含的式子表示）；
(2)尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)在（2）的条件下，判断直线与直线的位置关系，并说明理由．
21．在如图的正方形网格中，每个小正方形的边长都是单位1，的顶点均在格点上，网格线经过格点，按要求完成以下作图．
(1)若与关于直线成轴对称，作出；
(2)若与关于点对称，作出；
(3)与是否对称？若对称，请在图中画出对称轴或对称中心；
(4)在直线上找一点，使得最短．
22．综合与实践
数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动．
(1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______；
(2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数
参考答案
1．D
解：，
∴，
∴，
解得 ，
故选：D
2．C
解：A、由可得，故正确，不符合题意；
B、由可得，故正确，不符合题意；
C、由不可得，故错误，符合题意；
D、由可得，故正确，不符合题意；
故选：C．
3．B
解：∵为非负数，即，
∴
∴两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，
故选：B
4．D
解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．A
解：
，得
化简得
故选：A．
6．C
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选．
7．D
解：如图所示，连接，
由作图可知：，
∵，
∴，
∴的长不可能是4；
故选：D．
8．C
解：正n边形的一个内角=（360°-90°）÷2=135°，则
135n=（n-2）180，
解得n=8．
故选C．
9．B
解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，
∴，A不符合题意；C不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，D不符合题意；
无法证明，B符合题意；
故选：B．
10．B
解：，
，
，
，
平分，，
设，则
在中，根据三角形内角和定理，得
，
解得：，
；
故选：B
11．A
解：为等边三角形，
，
绕点逆时针旋转后到达的位置，
，，
，
，
故选：A．
12．C
解：设竿长尺，绳索长尺，
根据题意得，，
故选：．
13．
解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
14．
解：如图，连接，标注交点，
∵直线与之间的距离为与关于直线成轴对称，与关于直线成轴对称，
∴共线，，，，，
∴，
故答案为：
15．
解：∵，
∴，
∵，
∴；
∴；
故答案为：
16．
解：∵表示不小于的最小整数，，
∴，
可变为,
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集是，
故答案为：．
17．（1）；（2）；（3）
解：（1）
去分母得：，
去括号得：，
移项得，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为；
（3）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为．
18．(1)；；
(2)见解析
（1）证明：，
，
，
．
（2）解：由题意得，小明购买水果的费用为元，
小明卖水果的费用为元，
，
∵，
∴，
∴，
∴小明卖水果的费用大于小明购买水果的费用，
∴小明赚钱了．
19．任务一：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒；任务二：精包装6个，简包装21个，见解析
任务一：
解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒．
解这个方程组，得
答：精包装销售了200盒，简包装销售了100盒．
任务二：
解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．
依题意可列出下列方程和不等式：
，①
．②
由①得．将代入②．得；
因为m，n为正整数，所以，或，．
分装方案1：精包装6个，简包装21个
分装方案2：精包装3个，简包装23个
20．(1)
(2)作图见解析
(3)，证明见解析
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：作图如下：
（3）解：；理由如下：
在中，，
∴
∵平分
∴
∴
∴
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)是，见解析
(4)见解析
（1）解：如图：即为所求的三角形．
（2）解：如图：即为所求的三角形．
（3）解：如图：与成轴对称．对称轴为直线．
（4）解：连接交直线于点，
∵点与点关于直线对称，
∴，
∴，
此时取得最小值，最小值为的长，
则点即为所作．
22．(1)
(2)，理由见解析
(3)
（1）解：结论：，
理由：连接，
沿折叠和重合，
，
，，
．
（2），
理由：连接，
沿折叠和重合，
，
，，
；
（3）如图，延长，交于点，延长，交于点，
则对折后与重合，
由（2）的结论可得：，而，，
，
，
，
．

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