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2024-2025学年甘肃省张掖市高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.从稻田中随机抽取株水稻苗，测得苗高单位：分别是，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则( )
A. B. C. D.
4.甲乙两人玩跳棋游戏，约定由抛两次硬币的结果确定谁先走，若两次都正面向上，则甲先走，否则乙先走，已知甲先走的情况下，甲胜的概率为，乙先走的情况下，甲胜的概率为，则甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知是不重合的三个平面，是直线，则下列说法错误的是( )
A. 若与不垂直，，则
B. 若，，点，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
6.已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
7.已知中，角的对边分别为，，，，的外接圆圆心为，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则( )
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 为关于的方程的另一个根
10.已知随机事件、，表示事件的对立事件，，，则下面结论正确的是( )
A. 事件与一定是对立事件
B.
C.
D. 若事件、相互独立，则
11.已知圆台的上底面圆心为，下底面圆心为，过直线的平面截圆台得截面为梯形，其中在线段上，在线段上，，为弧上的动点不与点，重合，则下列说法中正确的有( )
A. 当为弧的中点时，异面直线和所成的角的大小为
B. 几何体的体积最大值为
C. 圆台外接球的表面积为
D. 直线与下底面所成的角的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知复数为纯虚数，则实数的值为 ．
13.在中，为直角，的平分线交于，且有若，则 ．
14.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为正方形内一动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.将一枚质地均匀的正四面体骰子四个面的点数分别为，，，先后抛掷两次，分别观察底面上的点数，第一次、第二次出现的点数用数对表示．
写出这个试验的样本空间；
向量，，记事件，求事件发生的概率．
16.已知，为锐角，，．
求证：；
求的值．
17.在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且．
求角；
若，求周长的取值范围．
18.某游戏统计了名玩家的团战支援评分百分制，分数越高支援效率越高，并按分数作出如图所示的频率分布直方图．
求的值及样本评分的第百分位数；
以每组数据区间中点作代表，估计该游戏玩家团战支援评分的平均分；
在频率分布直方图中，若玩家的团战支援评分在的平均值为，方差为，在的平均值为，方差为，求两组样本评分合并后的平均数和方差．
19.如图，已知三棱台的体积为，，，点为的中点，．

求证：平面；
求与平面所成角的正切值．
参考答案
1.
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9.
10.
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13.
14.
15.解：因为每次骰子落地时，底面上的点数有，，，共个可能的基本结果，
所以试验的样本空间为
．
为向量，，，所以，
则事件包含的样本点有，，，，，，共个，
由知试验的样本空间包含个样本点，
所以事件发生的概率为．

16.解：因为，
所以，又，
所以，
所以，即，
所以；
，
所以，
因为为锐角，所以，，所以，
所以，所以．

17.解：在中，，
所以，
即．
由正弦定理可得，即．
由余弦定理，得，
因为为锐角三角形的内角，所以．
由知，因为是锐角三角形，
所以，，解得．
由正弦定理，得，
所以，，
所以的周长．
因为，且，
所以．
因为，，所以，
所以，
即的周长的取值范围是．

18.解：由题意知，，解得．
由题意知，团战支援评分在的频率为，
团战支援评分在的频率为，
故第百分位数在，则，
解得，故第百分位数为．
因为，
所以估计该游戏玩家团战支援评分的平均分为．
样本数据在区间上的个数为，
在区间上的个数为，
所以平均数，
方差．

19.解：如图，取的中点，连接，因，
在中，则，分别为，的中点，故．
由棱台的性质知，又，所以，
故四边形为平行四边形，则，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
设三棱台的高为．
由题意，，
则三棱台的体积，
解得，故平面．
连接，则即为与平面所成的角．
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以．
在中，，
所以与平面所成角的正切值为．


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