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2024-2025学年河北省保定市3+1联考高一下学期7月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若角，则它是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
4.已知，其中表示不超过的最大整数，如，则( )
A. B. C. D.
5.函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
6.已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.已知函数的定义域为，且对任意实数，，都有若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.小胡同学在学习了任意角和弧度制后，对家里的扇形瓷器盘图产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图所示，在扇形中，，，则( )
A. B. 弧的长为
C. 扇形的周长为 D. 扇形的面积为
10.若实数，满足，则( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，为偶函数 B. 既有最大值又有最小值
C. 在上单调递增 D. 的图象恒过定点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ．
13.已知，，则 用，表示
14.德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合，．
若，求；
若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
已知．
若是第二象限角，求的值；
求的值．
17.本小题分
已知二次函数．
当取何值时，不等式对一切实数都成立？
若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
判断函数在和上的单调性并证明；
若对任意的，，都有，求的取值范围．
19.本小题分
现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有且．
当时，计算；
证明：，，，都有；
设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：由题意知，
，
若，则，所以，
所以．
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
因为，所以，
所以且等号不同时成立，解得，
则的取值范围是．

16.解：依题意，，由是第二象限角，得，
又，解得，所以．
．

17.解：因为为二次函数，所以，
又因为不等式对一切实数都成立，
所以，解得．
当在上仅有一个零点时，由，解得，
此时零点为，符合题意；
当在上有两个零点时，，即且，
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，由零点存在定理，则，即，解得
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为

18.解：由为奇函数，定义域为，可得，
即，解得，
此时，又，满足为奇函数，所以；
函数在上单调递减，在上单调递增，证明如下：
，且，
有，
当时，，所以，则，
所以在上单调递增；
当时，，所以，则，
所以在上单调递减；
若对任意的，都有，
只需，
由可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
所以，
所以，解得或，
故的取值范围是．

19.解：当时，；
证明：因为，
，
所以；
由新运算可知，，
所以，
令，开口向上，对称轴为，
令，得或，
又因为且，
则在上单调递减，
又因为在上的值域为，
所以，
所以在上为单调递减函数，
则，
所以在上单调递减，
则，即，
整理得，，
所以，
将代入，
得，
同理得，．
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则，即，
解得．
故实数的取值范围为．
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