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2024-2025学年河北省廊坊市高一下学期期末测试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在平行四边形中，点为的中点，则( )
A. B. C. D.
3.一个口袋中装有个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀不断重复上述过程次，共摸出红球次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为( )
A. B. C. D.
4.抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是( )
A. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为偶数”
B. 事件“点数之和为奇数”与事件“点数之积为奇数”
C. 事件“点数之和不小于”与事件“点数之和不大于”
D. 事件“点数之积不小于”与事件“点数之积不大于”
5.已知圆台的上、下底面直径长分别为，，侧面积为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽在同一垂直平面内的两个观测点，，利用无人机在点处测得河岸点的俯角为，河岸点的俯角为，无人机沿方向飞行千米到达点，测得河岸点的俯角为，则( )
A. 千米 B. 千米
C. 千米 D. 千米
8.如图，正方形和正方形的边长均为，且它们所在的平面互相垂直，点在线段上运动，点在正方形内运动，，且始终保持，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次射击决赛中，某位选手射击了一组子弹，得分分别为，，则( )
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的众数为
C. 该组数据的分位数为
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
10.在中，角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则的外接圆的面积为
B. 若，，，则满足条件的三角形有两个
C. 若为锐角三角形，则
D. 若，则
11.在棱长为的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是( )
A. 直线，是异面直线
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的内切球的体积为
D. 平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.用斜二测画法作出水平放置的正方形的直观图如图所示，则正方形与直观图的周长之比为 ．
13.已知是相互独立事件，且，，则 ．
14.费马点是在三角形中到三个顶点距离之和最小的点，具体位置取决于三角形的形状，如果三角形的三个内角均小于，费马点是三角形内部对三边张角均为的点；如果三角形有一个内角大于或等于，费马点就是该内角所在的顶点已知中，角所对的边分别为，为费马点若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设复数．
若是实数，求的值；
若是纯虚数，求复数的共轭复数．
16.本小题分
已知向量，，．
求的最小值；
若与共线，求与的夹角．
17.本小题分
记锐角三角形的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求；
求的最大值．
18.本小题分
用分层随机抽样从某校高一年级名学生的数学成绩满分为分，成绩都是整数中抽取一个样本容量为的样本，其中男生成绩数据个，女生成绩数据个再将个男生成绩样本数据分为组：，，，绘制得到如图所示的频率分布直方图．
由频率分布直方图，求出图中的值；
为了进一步分析学生的成绩，按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，再从中抽取人，求这人中男生女生各人的概率；
已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为和，求总样本的平均数和方差．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，点是棱的中点，点是棱上的一点．

求证：；
若，求二面角的余弦值；
若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
参考答案
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15.解：由题知，
若是实数，则，解得；
由题知，
若是纯虚数，则，解得，
所以，．
16.解：由，，可得，
则，
故当时，取得最小值，即时，取得最小值．
，，
由与共线可得，解得，
则，，，，
设与的夹角为，所以，
因为，所以．

17.解：因为，所以
又为锐角三角形，故，则
因为，所以．
又，故．
由正弦定理得，
则，
由知，则．
所以
，
因为为锐角三角形，
所以，所以，
所以，
所以当时，即时，取得最大值．

18.解：由图形可得，
解得；
男生成绩数据个，女生成绩数据个，
按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，
则抽取男生人数为，女生人数为人，
设男生为，女生为，
抽取两人的情况为：，共种，
这人中男生女生各人的情况为：
所以这人中男生女生各人的概率概率为；
设男生成绩样本平均数为，方差为，
女生成绩样本平均数，方差为，总样本的平均数为，方差为，
，
，
所以总样本的平均数和方差分别为和．

19.解：证明：取的中点，连接，因为是边长为的等边三角形，
所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又平面，所以．
在中，，所以，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以．
取的中点，连接，因为为线段的中点，

所以，，
由知，平面，又平面，所以，所以．
过点作，垂足为，连接，，平面，
所以平面，又平面，所以，
所以为二面角的平面角．
因为平面，又平面，所以，
又，所以，
所以，即，解得．
因为平面，平面，所以，
又，所以，所以，
所以，
即二面角的余弦值为．
因为平面，平面，所以，
又是边长为的等边三角形，点是棱的中点，所以，
又，平面，所以平面．
显然点不同于点，过点作，垂足为，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，所以直线与平面所成的角为．
设，所以，，
在中，，
所以，即，
所以，所以，
解得或舍，即

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