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2024-2025学年河北省邢台市高一下学期7月期末测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在一次比赛中，五位评委给甲选手的打分分别为，则甲选手得分的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知的内角的对边分别为，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知两个单位向量的夹角的余弦值为，则( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直观图，若，则( )
A. B. C. D.
6.不透明的盒子中有除颜色外完全相同的两个黄球和两个红球，从中随机地取出两个球设事件为“至少有一个黄球”，事件为“至少有一个红球”，则( )
A. 与互为对立事件 B. 与互斥但不对立
C. 与相互独立 D.
7.如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，是的中点，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
8.已知非等腰三角形的内角分别为，若，则下列结论一定不正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. B.
C. D.
10.五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 平均数为，极差为
C. 平均数为，方差为 D. 中位数为，众数为
11.如图，正四面体的四个顶点都在球的表面上，且球的表面积为，则( )
A.
B. 四面体的体积为
C. 过点且平行于平面的平面截四面体所得的截面面积为
D. 过三点的平面截四面体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为纯虚数，则实数 ．
13.已知为互斥事件，且，则 ．
14.如图，正方形的边长为，是的中点，是正方形边上的一动点，是以为直径的半圆弧上一动点，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
甲乙丙三人独立地作答一道试题，且甲乙丙答对该道试题的概率分别为．
求无人答对该道试题的概率；
求至少有两人答对该道试题的概率．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，是的中点，且．

证明：平面．
证明：平面．
17.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求的值；
若，求的面积．
18.本小题分
某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长单位：分钟，将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为．

求被调查的学生总人数；
求被调查的学生运动时长的平均数与中位数结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表；
按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取人，再从这人中任选人，求运动时长在内的各有人被选中的概率．
19.本小题分
如图，在中，，如图，将沿着翻折至，使得平面平面．
若，求三棱锥的体积；
若，求二面角的正切值；
求取得最小值时的值．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.依题意，无人答对该道试题的概率为．
至少有两人答对该道试题的概率．

16.在正四棱柱中，连接，连接，则为中点，
而是的中点，则，又平面，平面，
所以平面．

四边形是正四棱柱的对角面，则四边形为矩形，
在正方形中，，则矩形为正方形，，而，
因此，又平面，平面，则，又，
平面，于是平面，而平面，
因此，又平面，
所以平面．

17.在中，由及余弦定理，得，
所以．
由余弦定理，得，即，
而，解得，
所以的面积为．

18.由运动时长在的频率之比为，运动时长在的频数为，
得运动时长在的频数分别为，
由频率分布直方图，得运动时长在的频率和为，
所以被调查的学生总人数为．
由，得数据在内的频率依次为，
所以被调查的学生运动时长的平均数；
中位数，，解得，
所以被调查的学生运动时长的中位数约为．
抽取的人中，运动时长在内的人数分别为，分别记为，，，
任取人的样本空间
，共个，
运动时长在内的各有人被选中的事件，共个，
所以．

19.当时，由，得，即是的中点．
取的中点，连接则，．
平面平面，平面平面，平面，
平面．
所以，三棱锥的体积．
由知在中，．
若时，，．
过作，垂足为，则．
，
由得即．
在三棱锥中，，
平面平面，平面平面，平面，
平面．
又，即为二面角的平面角．
在中，
所以，二面角的正切值为
在中，设，则，
过作，垂足为，则，，
在中，由余弦定理，得
．
在三棱锥中，
平面平面，平面平面，，平面
平面．
平面，所以，
在中，
．
由，得，
当，即时，取得最小值，．
此时，是等边三角形，，．

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