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2024-2025学年山东省枣庄市高一下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.某中学有青年教师人，中年教师人，老年教师人，为了调查他们的健康状况，需从他们中抽取一个容量为的样本，则合适的抽样方法是( )
A. 抽签法 B. 随机数法 C. 分层随机抽样 D. 简单随机抽样
3.如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是( )
A. 三棱锥 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱
4.有三个命题：；；，其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
5.一圆台的上下底面的半径分别为和，侧面积为，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则“星队”在两轮活动中猜对个成语的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知，，，则下列结论错误的是( )
A. B. 若，则
C. D. 在上的投影向量为
8.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为的筒车水轮如图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点从水中浮现时图中点开始计时，则下列结论错误的是( )
A. 点再次进入水中用时
B. 当水轮转动时，点处于最低点
C. 当水轮转动时，点距离水面
D. 点第三次到达距水面时用时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若是纯虚数，则
C. 若，则 D. 若，则，或
10.记事件中的样本点个数为对于一个古典概型试验的样本空间和事件，，已知，，，，，，则( )
A. B. 与互不相容 C. 与相互独立 D.
11.如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则( )
A.
B. 平面平面
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则 ．
13.某运动员每次投篮投中的概率均是，用计算机产生之间的随机整数，当出现随机数，表示“投中”，出现表示“未投中”以每个随机数为一组，代表该运动员次投篮的结果，产生了组随机数： 据此估计“该运动员连续投篮次至少投进个球”的概率为 ．
14.如图，正方体的棱长为，点，分别在棱，上，满足，点在正方体的内部或表面，且平面，则点组成的图形的面积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，且．
求，；
求的面积及．
16.本小题分
某学校组织高一数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取人，将其成绩百分制分成，，六组，得到频率分布直方图如下图，请完成下列问题：
求频率分布直方图中的值，用样本估计总体，估计参加挑战赛的学生成绩的平均分每个区间内的值以该组区间的中点值为代表；
求参加挑战赛的学生成绩的分位数；
已知落在区间的样本平均分是，方差是；落在区间的样本平均分是，方差是，求两组样本成绩合并后的平均分和方差．
17.本小题分
已知，，是三个平面，，，．
若，求证：；
若，判断与及与的关系，并说明理由．
18.本小题分
在三棱柱中，侧面为菱形，，，，为的中点，．
求证：平面；
求证：平面；
请作出二面角的一个平面角，并求其正切值．
19.本小题分
叙述余弦定理，并用向量法证明；
叙述正弦定理，并用向量法证明仅证明钝角三角形的情形，设为钝角；
用正弦定理证明余弦定理．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由及余弦定理，得，
即，即．
由余弦定理，得．
又，所以．
．
法：由，得．
法：由正弦定理，得．

16.解：由，解得．
平均分的估计值为
．
成绩小于分的占比为，成绩小于分的占比为，
所以分位数一定位于区间，而，所以分位数为．
成绩在内的人数分别为，．
．
设学生成绩在区间内的数据记为，，，，学生成绩在内的数据记为，，，，所以

17.解：证明：因为，所以．
因为，所以．
又，所以．
同理可证，所以为与的一个公共点．
又，由基本事实公理，得．
因为，，，
由直线与平面平行的判定定理，得．
又，，
由直线与平面平行的性质定理，得．
又，由基本事实公理，得．

18.解：如图，连接．
因为侧面为平行四边形，，所以为的中点．
又因为为的中点，所以为的中位线，所以．
又平面，平面，
所以平面．
连接，在菱形中，，，
所以为等边三角形．又是的中点，所以．
解法一：在中，因为是斜边的中点，所以．
在中，，，，
所以，所以．
又，平面，平面，，
所以平面．
解法二：取线段的中点，连接，，．
因为是的中位线，所以．
又，所以．
在中，，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
又，，平面，
所以平面．
过点作于点；过作，垂足为，连接．
由知平面，因为平面，
所以平面平面．
又平面，平面平面，，
所以平面．
因为平面，平面，所以，．
又，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
所以为二面角的一个平面角．
在中，，，，，
由，
得．
由，得．
在中，，．
在中，，，
即二面角的正切值为．

19.解：余弦定理：三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
或者：在中，内角，，的对边分别为，，，则
，，．
证明：仅证明，其他同理可证．
因为，
所以，即．
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
或者：在中，角，，的对边分别为，，，
则．
证明：法：当是钝角三角形时，不妨设为钝角，过点作与垂直的单位向量，则，，，．

因为，所以，
即，
即．
即，所以．
同理可证，所以．
法：当是钝角三角形时，不妨设为钝角．
如图，过点作边上的高，

则，
即，
即，
即，即，
所以．
同理可证，所以．
仅证明，其他同理可证．原式等价于．
证明：由正弦定理，得．
，
所以．

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