资源简介

2024-2025学年四川省成都市郫都区高一下学期7月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是的立方体，将其分割成棱长为的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，是边上一点，且，点是的中点．设，，则可以表示为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是．
A. B.
C. D.
6.如图，圆内接边长为的正方形是弧包括端点上一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在三棱锥中，底面为斜边的等腰直角三角形，顶点在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.锐角的内角所对应的边分别为，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图正方体的棱长为，则下列四个命题中正确的是( )
A. 正方体被面分割成两部分的体积比为
B. 点到平面的距离为．
C. 四面体的外接球体积为
D. 二面角的大小为
11.已知中角所对应的边分别为，下列命题正确的是( )
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则为直角三角形
D. 若，则此三角形有两解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则与的夹角为 ．
13. ．
14.已知正方体的棱长为，是棱的中点，是侧棱上的动点，直线交平面于点，则动点的轨迹长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数
求的单调增区间和对称中心；
若，，求的值．
16.本小题分
如图是一个正四棱台的铁料，上、下底面的边长分别为和，高．
求四棱台的表面积；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比．
17.本小题分
在中，角的对边分别为，已知．
求的值；
若的面积为，求的值；
若角的平分线交于点，且，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，分别为的中点，设平面平面．

求证：；
求证：；
若，二面角的大小为，求与底面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，分别为正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中．
若向量，求．
已知向量，，证明：．
若向量，的斜坐标分别为和，，设函数，，．
若的从小到大依次为，求．
比较与的大小，并说明理由．参考数据：，
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：因为，
由，得，
故的单调增区间为．
由，得，
故的对称中心为；
因为，即，
因为，所以，
所以，
所以
．

16.解：在正四棱台中，分别取上、下底面的中心，连接，则，
分别取的中点，连接，过作于，
因为在正四棱台中，，，
所以，
在中，，
所以正四棱台的表面积为：
；
若要这块铁料最大限度打磨为一个圆台，则圆台的上下底面圆与正四棱台的上下底面正方形相切，高为正四棱台的高，
则圆台的上底面半径为，下底面半径为，高，
所以圆台的体积为，
因为正四棱台的体积为，
所以削去部分的体积为，
所以削去部分与圆台的体积之比．

17.解：由正弦定理及，得，
因为，所以，所以，
所以由余弦定理，得．
由，所以，
由的面积为，得，所以．
又，所以，
故．
因为，所以，
又，所以，所以，
由，得，
所以，
所以．

18.解：因为底面为正方形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因为平面，
所以．
取的中点，连接，，

因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
又因为平面，平面平面
所以．
因为平面，、平面，所以，又，
是二面角的平面角，所以，
设则，连接，，
因为，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，所以即为与底面所成角，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以在直角三角形中，．
所以与底面所成角的正弦值为．


19.解：因为向量，所以，
又因为，
所以，
所以；
证明：因为向量，
所以，
所以
化简得；
由得，化简得，
所以，
则方程的根等价于的根，
如图所示，在的一个周期内，方程根的个数为，
因为，
则当，根的个数，
，理由如下：
令，则，
又因为，所以，
又因为，所以，由零点存在定理可得，
由可知在上单调递减，
所以，即，所以

第2页，共2页

展开更多......

收起↑