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2024-2025学年云南省煤炭第一中学高二下学期期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在，点是中线上一点不包含端点，且，则的最小值是 ．
A. B. C. D.
3.设函数，命题“”是假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.一组数据，，，满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法正确的是( )
A. 方差变小 B. 平均数变大 C. 极差变大 D. 中位数变小
5.如图，在三棱锥中，为等边三角形，，，若，则三棱锥外接球半径的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.过点可以作两条直线与曲线相切，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则
C. 被除的余数为
D. 已知随机变量，若，则
10.已知双曲线的渐近线方程为，左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点，则( )
A. 双曲线的离心率为
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，直线的倾斜角为，则
11.若函数为函数的导函数，且对于任意实数，函数值，，均为递增的等差数列，则( )
A. 函数可能为奇函数 B. 函数存在最大值
C. 函数存在最小值 D. 函数有且仅有一个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是虚数单位，则复数等于 ．
13.已知是首项为，公差为的等差数列，，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是
14.在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点，且的左、右顶点分别为，．
求的方程；
求以为直径的圆的标准方程；
设过点且倾斜角为的直线与交于，两点，求．
16.本小题分
如图，在六面体 中，平面 平面 ，，．
求证：平面 ；
若 平面 ，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知数列满足
证明：数列是等比数列；
求数列的通项公式；
若数列满足证明是等差数列
18.本小题分
函数，．
证明：当时，．
当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩每位游客若选择只游览海滨栈道，则记分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记分假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
从游客中随机抽取人，记这人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
参考答案
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15.【详解】因为，所以的右焦点坐标为，
所以，即，
所以的方程为．
依题意得的坐标为，
所以线段的中点坐标为．
因为以为直径的圆的半径，
所以以为直径的圆的标准方程为．
依题意可得直线的方程为．
由得．
设，，则，，，
则．

16.【详解】设，中点分别为，，连接，；
由于平面平面，平面平面，
平面平面，
所以，
又是的中点，则，
由于，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
同理，可得
又，所以
所以确定平面，又平面平面，
平面平面，
所以，
由于是的中位线，则，
所以，
而平面，平面，
所以平面．
在中，因为，，，
所以，则．
由于平面，
所以以为原点，、、分别轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
，所以
取，则，
所以为平面的一个法向量．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

17.【详解】证明：
是以为首项，为公比的等比数列．
解：由得
　　
证明：
，得
即
　
，得
即
是等差数列．

18.【详解】证明：时，要证，即．
设，则，．
，，则在上恒成立．
所以在上单调递增．
又，，则方程只有一解，设为，
且，，
当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
因为，所以，，，所以．
即，所以在上恒成立．从而原命题成立．
当时，，
当时，上式恒成立，即；
当时，．
设，
则，
设，，则在上恒成立，
即在上单调递增，
又，所以在上恒成立．
所以由，由．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，所以．
综上可知：的取值范围为．

19.【详解】依题意，随机变量的可能取值为，
则，，
所以的分布列如下表所示：

数学期望为．
由这人的合计得分为分，得其中只有人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是，令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，因此，
所以．
在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，即，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，因此，
随着的无限增大，无限趋近于，无限趋近于，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数．

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