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【单元学习指导与练习】知识巩固 第40讲 分类讨论思想（同步练习）
1．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
2． 数据2，3，2，3，x，3的众数是3，其中x是正整数，那么这组数据的中位数是（　　）
A．2.5 B．3 C．2.5 或3 D．2或3
3． 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过点 P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD的边于M，N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4． △ABC 是圆O 的内接三角形，若∠AOC =160°，则∠ABC 的度数为　 　.
5． 如图所示，∠ABC=70°，O为射线BC 上一点，以点O 为圆心、 OB 长为半径作⊙O，要使射线 BA 与⊙O 相切，应将射线绕点 B 按顺时针方向旋转（　　）
A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°
6．若AB 是⊙O 中的一条弦，AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角的度数是　 　.
7． 已知点 A 在反比例函数 的图象上，点B 在x轴正半轴上，若△OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为　 　.
8．某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价 p（元/kg）与时间t（天）之间的函数表达式为 且其日销售量y（kg）与时间t（天）的
关系如表：
时间t（天） 1 3 6 10 20 40 　
日销售量y（kg） 118 114 108 100 80 40 　
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少.
（2）哪一天的销售利润最大 最大日销售利润为多少
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n（n<9）元利润用于公益事业，现发现在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围.
9． 如图所示，在菱形ABCD 中， 点 E 从点 B 出发沿 B→C→D 向终点D 运动.过点E 作点E 所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其他的边于点 F，在EF 的右侧作矩形EFGH.
（1）如图所示，点G 在AC 上.求证：
（2）若 ，当EF 过AC 中点时，求AG 的长.
（3）已知 ，设点 E 的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似（包括全等） 请直接写出s 的值或取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
2．【答案】C
【知识点】中位数；众数；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵2，3，2，3，x，3的众数是3，
∴x=3，
∴中位数是(3+3)÷2=3，
②∵2，3，2，3，x，3的众数是3，
∴x≠2，
∴中位数是(2+3)÷2=2.5，
故答案为：C.
【分析】将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：当0在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，
∴AO=CO=1，且AC⊥BD，
∵MN⊥AC，
∴MN//BD，
∴△AMN~△ABD，
∴，即
∴MN=x，
∴(0∵，
∴函数图象开口向上；
当1同理证得△CNM~△CDB，
∴，即，
∴MN=2-x，
∴，
∵，
∴函数图象开口向下.
综上所述，C的图象大致符合，
故答案为：C.
【分析】△AMN的面积，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答.
4．【答案】80°或100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵∠AOC=160°，
∴，
∵∠ABC+∠AB'C=180°，
∴∠AB'C=180°-∠ABC=180°-80°=100°，
故答案为：80°或100°.
【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABO的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠AB'C的度数.
5．【答案】B
【知识点】切线的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设旋转后与☉O相切于点D，连接OD，
∵
∴∠OBD=30°，
∴当点D在射线BC上方时，∠ABD=∠ABC-∠OBD=70°-30°=40°，
当点D在射线BC下方时，∠ABD=∠ABC+∠OBD=70°+30°=100°，
故答案为：B.
【分析】设旋转后与☉O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO=30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数.
6．【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：连接OA、OB，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴，
∵∠ADB+∠ACB=180°
∴∠ADB=180°-30°=150°
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°
故答案为：30°或150°.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°，利用圆周角定理得到∠ACB=30°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数.
7．【答案】5或或
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：当AB=BO时，AB=5；
当OA=OB时，设(a>0)，B(5，0)，
∵OA=5，
∴，
解得：a1=3，a2=4
∴A(3，4)或(4，3)，
∴
当OA=AB时，
，
故答案为：5或或.
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可.
8．【答案】（1）解：设y=kt+b，把(40，40)，(20，80)代入，求得k=-2，b=120，∴y=-2t+120，令t=30，y=60，∴日销售量为60kg
（2）解：设销售利润为ω，①当1≤t≤24时，当t=10时，元；②当25≤t≤48时，当t=25时，元.综上所述，第10天利润最大，最大利润为1250元
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，
∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴10+2n≥24，求得n的取值范围是7≤n<9
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)设日销售利润为w元，根据函数的性质即可求解；
(3)设日销售利润为m元，则，根据函数的性质即可求解.
9．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵FG//BC
∴∠AGF=∠ACB
∴∠AGF=∠FAG
∴FA=FG；
（2）解：设AC的中点为O，
①如图中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M，
在Rt△ABM中，，
∴，
∴FG=EF=AM=6，CM=BC-BM=2，
∵OA=OC，OE//AM，
∴，
∴AF=EM=1，
∴AG=AF+FG=7.
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N，
同法FG=EF=AN=6，CN=2，，
∴AG=FG-AF=6-1=5，
综上所述，满足条件的AG的长为5或7.
（3）解：过点A作AM⊥BC手点M，AN⊥CD于点N.
①当点E在线段BM上时，0若点H点C的左侧，s+8<10，即0CH=BC-BH=10-(4x+8)=2-4x，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，，
经检验是分式方程的解，
∴s=4x=1，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得，
∴
若点H在点C的右侧，s+8>10，即2CH=BH-BC=(4+8)-10=4x-2，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得，
∴
②当点E在线段MC上时，8EF=6，EH=8，BE=s，
∴BH=BE+EH=s+8，CH=BH-BC=s-2，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得(舍弃)，
③当点E在线段CN上时，10如图，过点O作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=10，CJ=6，BJ=8，
∵EH=BJ=8，JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时10④当点E在线段DN上时，12∵∠EEB>90°，
∴△GHC与△BEF不相似.
综上所述.满足条件的s的值为1或或或10≤s≤12.
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【分析】(1)欲证明FA=FG，只要证明∠FAG=∠FGA即可；
(2)设AO的中点为O.分两种情形：，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M；当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD干N，分别求解即可；
(3)过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N.分四种情形：①当点E在线段BM上时，010，即21 / 1【单元学习指导与练习】知识巩固 第40讲 分类讨论思想（同步练习）
1．（2020八上·长春月考）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．13 B．17 C．13或17 D．13或10
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰为3，底边为7时，由于3+3＜7，不能构成三角形，故此种情况须舍去；
当腰为7，底边为3时，能构成三角形，此时三角形的周长=7+7+3=17．
故答案为：B．
【分析】分腰为3和腰为7两种情况并结合三角形的三边关系解答即可．
2． 数据2，3，2，3，x，3的众数是3，其中x是正整数，那么这组数据的中位数是（　　）
A．2.5 B．3 C．2.5 或3 D．2或3
【答案】C
【知识点】中位数；众数；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵2，3，2，3，x，3的众数是3，
∴x=3，
∴中位数是(3+3)÷2=3，
②∵2，3，2，3，x，3的众数是3，
∴x≠2，
∴中位数是(2+3)÷2=2.5，
故答案为：C.
【分析】将一组数据从小到大依次排列，把中间数据(或中间两数据的平均数)叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
3． 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过点 P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD的边于M，N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；动点问题的函数图象；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解：当0在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，
∴AO=CO=1，且AC⊥BD，
∵MN⊥AC，
∴MN//BD，
∴△AMN~△ABD，
∴，即
∴MN=x，
∴(0∵，
∴函数图象开口向上；
当1同理证得△CNM~△CDB，
∴，即，
∴MN=2-x，
∴，
∵，
∴函数图象开口向下.
综上所述，C的图象大致符合，
故答案为：C.
【分析】△AMN的面积，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答.
4． △ABC 是圆O 的内接三角形，若∠AOC =160°，则∠ABC 的度数为　 　.
【答案】80°或100°
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：∵∠AOC=160°，
∴，
∵∠ABC+∠AB'C=180°，
∴∠AB'C=180°-∠ABC=180°-80°=100°，
故答案为：80°或100°.
【分析】根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABO的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得∠AB'C的度数.
5． 如图所示，∠ABC=70°，O为射线BC 上一点，以点O 为圆心、 OB 长为半径作⊙O，要使射线 BA 与⊙O 相切，应将射线绕点 B 按顺时针方向旋转（　　）
A．35°或70° B．40°或100° C．40°或90° D．50°或110°
【答案】B
【知识点】切线的性质；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设旋转后与☉O相切于点D，连接OD，
∵
∴∠OBD=30°，
∴当点D在射线BC上方时，∠ABD=∠ABC-∠OBD=70°-30°=40°，
当点D在射线BC下方时，∠ABD=∠ABC+∠OBD=70°+30°=100°，
故答案为：B.
【分析】设旋转后与☉O相切于点D，连接OD，则可求得∠DBO=30°，再利用角的和差可求得∠ABD的度数.
6．若AB 是⊙O 中的一条弦，AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角的度数是　 　.
【答案】30°或150°
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：连接OA、OB，∠ACB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴，
∵∠ADB+∠ACB=180°
∴∠ADB=180°-30°=150°
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°
故答案为：30°或150°.
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△OAB为等边三角形得到∠AOB=60°，利用圆周角定理得到∠ACB=30°，然后根据圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数.
7． 已知点 A 在反比例函数 的图象上，点B 在x轴正半轴上，若△OAB 为等腰三角形，且腰长为5，则AB 的长为　 　.
【答案】5或或
【知识点】等腰三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【解答】解：当AB=BO时，AB=5；
当OA=OB时，设(a>0)，B(5，0)，
∵OA=5，
∴，
解得：a1=3，a2=4
∴A(3，4)或(4，3)，
∴
当OA=AB时，
，
故答案为：5或或.
【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可.
8．某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价 p（元/kg）与时间t（天）之间的函数表达式为 且其日销售量y（kg）与时间t（天）的
关系如表：
时间t（天） 1 3 6 10 20 40 　
日销售量y（kg） 118 114 108 100 80 40 　
（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少.
（2）哪一天的销售利润最大 最大日销售利润为多少
（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n（n<9）元利润用于公益事业，现发现在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围.
【答案】（1）解：设y=kt+b，把(40，40)，(20，80)代入，求得k=-2，b=120，∴y=-2t+120，令t=30，y=60，∴日销售量为60kg
（2）解：设销售利润为ω，①当1≤t≤24时，当t=10时，元；②当25≤t≤48时，当t=25时，元.综上所述，第10天利润最大，最大利润为1250元
（3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为m元，
∵在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，
∴10+2n≥24，求得n的取值范围是7≤n<9
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)设日销售利润为w元，根据函数的性质即可求解；
(3)设日销售利润为m元，则，根据函数的性质即可求解.
9． 如图所示，在菱形ABCD 中， 点 E 从点 B 出发沿 B→C→D 向终点D 运动.过点E 作点E 所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其他的边于点 F，在EF 的右侧作矩形EFGH.
（1）如图所示，点G 在AC 上.求证：
（2）若 ，当EF 过AC 中点时，求AG 的长.
（3）已知 ，设点 E 的运动路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与 相似（包括全等） 请直接写出s 的值或取值范围.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵FG//BC
∴∠AGF=∠ACB
∴∠AGF=∠FAG
∴FA=FG；
（2）解：设AC的中点为O，
①如图中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M，
在Rt△ABM中，，
∴，
∴FG=EF=AM=6，CM=BC-BM=2，
∵OA=OC，OE//AM，
∴，
∴AF=EM=1，
∴AG=AF+FG=7.
②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N，
同法FG=EF=AN=6，CN=2，，
∴AG=FG-AF=6-1=5，
综上所述，满足条件的AG的长为5或7.
（3）解：过点A作AM⊥BC手点M，AN⊥CD于点N.
①当点E在线段BM上时，0若点H点C的左侧，s+8<10，即0CH=BC-BH=10-(4x+8)=2-4x，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，，
经检验是分式方程的解，
∴s=4x=1，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得，
∴
若点H在点C的右侧，s+8>10，即2CH=BH-BC=(4+8)-10=4x-2，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得，
∴
②当点E在线段MC上时，8EF=6，EH=8，BE=s，
∴BH=BE+EH=s+8，CH=BH-BC=s-2，
由△GHC∽△FEB，可得，即，
∴，方程无解，
由△GHC∽△BEF，可得，即，
∴，解得(舍弃)，
③当点E在线段CN上时，10如图，过点O作CJ⊥AB于点J，
在Rt△BJC中，BC=10，CJ=6，BJ=8，
∵EH=BJ=8，JF=CE，
∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，
∴△GHC≌△EFB，符合题意，此时10④当点E在线段DN上时，12∵∠EEB>90°，
∴△GHC与△BEF不相似.
综上所述.满足条件的s的值为1或或或10≤s≤12.
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—边角关系；分类讨论
【解析】【分析】(1)欲证明FA=FG，只要证明∠FAG=∠FGA即可；
(2)设AO的中点为O.分两种情形：，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M；当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD干N，分别求解即可；
(3)过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N.分四种情形：①当点E在线段BM上时，010，即21 / 1

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