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2024-2025学年开远市第一中学校高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“过点有两条直线与圆相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.双曲线的一条渐近线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.设，则，，，的极差是( )
A. B. C. D.
6.记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
8.已知，是抛物线：上关于轴对称的两点，是抛物线的准线与轴的交点，若直线与抛物线的另一个交点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，若，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.四棱锥的底面为正方形，，，，，动点在线段上，则( )
A. 直线与直线为异面直线
B. 四棱锥的体积为
C. 在中，当时，
D. 四棱锥的外接球表面积为
11.已知函数，则( )
A. 在上是增函数
B. 的极大值点为，
C. 有唯一的零点
D. 的图象与直线相切的点的横坐标为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为 ．
13.若实数，且，则的最小值为 ．
14.对给定的数列，记，则称数列为数列的一阶商数列；记，则称数列为数列的二阶商数列；以此类推，可得数列的阶商数列，已知数列的二阶商数列的各项均为，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角的对边分别为的面积为．
求；
若，且的周长为，设为边中点，求．
16.本小题分
某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响该机构共在某高校发放份问卷调查，有名男同学，名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：

完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
玩过网游 没玩过网游 总计
男生
女生
总计
视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查名学生，记其中玩过网游的人数为，求和．
附：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点．
证明：；
若，求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，定义域为．
讨论的单调性；
求当函数有且只有一个零点时，的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的右顶点和上顶点为关于直线对称．
求椭圆的标准方程；
点，为椭圆上两个动点，直线，的斜率之积为，，为垂足，求的最小值．
参考答案
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15.【详解】依题意，，
所以，
由正弦定理可得，，
由余弦定理，，解得，
因为，所以；
依题意，，
因为，解得，
因为，
所以，
所以．

16.【详解】由题意可得列联表：
玩过网游 没玩过网游 总计
男生
女生
总计
零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关，
则，
根据的独立性检验可知：假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关．
用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为，
由题意可知：玩过网游的人数，
所以，．

17.【详解】由于是等边三角形，为的中点．
故是等边的中线，则，
又因为平面，平面内，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，所以．
取的中点，连接，
因为是的中点，可知是三角形的中位线，故．
因为平面，，
所以平面，即三线两两垂直．
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则由，，，，
则，
可得，，，
则，．
设平面的法向量为，则
令，则，，故．
由题意可知：平面的一个法向量为．
可得，
所以平面与平面夹角的余弦值为．

18.【详解】因为，
(ⅰ)当，即时，则在内恒成立，
可知在内单调递增；
(ⅱ)当，即或时，可知有两个不相等的根，
不妨令，可知，
若，因为，可知，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
若，因为，可知，
令，解得或；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增；
综上所述：当时，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增；
当时，在内单调递减，在内单调递增．
若，可知在内无零点，不合题意，可知
令，整理得，
构建，
原题意等价于与的图象有且仅有一个交点，
因为，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递增，在内单调递减，
则，即在内恒成立，
可知在内单调递减，
且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于且；
的大致图象如图所示，

可得，即，所以的取值范围为．

19.【详解】由点和关于直线对称，
由直线的斜率为，可得直线的斜率为，有，
又由线段的中点在直线上，有，
联立方程解得，，
故椭圆的标准方程为；
设，，由题意得直线斜率不为零，设，
由，得，即，
所以，且，
故，
由，得，即，
所以，
所以，
所以，化简得，
所以或，
若，则直线过椭圆的右顶点，不符合题意，所以，
所以过定点，因为，为垂足，
所以在以为直径的圆上，，的中点为，又，
所以．
所以的最小值为，
即的最小值为．

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