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2024-2025 学年四川省雅安市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = 1 2 ，则 的虚部是( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2
2.函数 = 4 的最小正周期为( )
A. 2 B. C. 2 D. 4
3.样本数据 16，24，14，10，20，30，12，14，40 的第 20 百分位数是( )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 24
4.在正方体 1 1 1 1中， 与 1所成的角为( )
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
5.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 30°， = 2， = 2，则角 =( )
A. 45° B. 135° C. 45°或 135° D. 30°
6.设 ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题为真命题的是( )
A.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥
B.若 // ， ， ，则 //
C.若 ∩ = ， // ， // ，则 //
D.若 ⊥ ， ⊥ ， // ，则 ⊥
7 2 4.已知 cos( + ) = 5，cos( ) = 5，则 =( )
A. 3 B. 3 C. 13 D.
1
3
8.菱形 的边长是 2，且 在 1方向上的投影向量为 ，若 = 2
，则 =( )
A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校有高中学生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，
采用分层抽样的方法，从 500 个学生中抽取一个容量为 50 的样本，并观测样本的指标值(单位： )，计
算得男生样本的均值为 175，方差为 17，女生样本的均值为 165，方差为 30，则下列说法正确的是( )(注：

总体划分为 2 层，通过分层抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 1， ， 21， 2， ，
2 2 2 2
2

. 2 2 = 1[ 1+( ) ]+ [ +( ) ]2 记总的样本平均数为 ，样本方差为 ，则
2 2
1+ 2
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A.抽取的男生人数为 30
B.抽取的女生人数为 20
C.估计该校高中学生身高的总体均值约为 170
D.估计该校高中学生身高的总体方差约为 46.2
10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0,0 < < ) 的部分图象如图所示，其中点 ( 12 , 1)， ( 3 , 0)，则下列
说法正确的是( )
A. = 2
B. 函数 = ( + 12 )是奇函数
C. ( )的图象可由函数 ( ) = 2 的图象向右平移12个单位得到
D. ( ) 5 13 在区间( 12 , 12 )上单调递增
11.如图，在圆柱 1 2中，轴截面 是边长为 2 的正方形， 是以 2为直径的圆上一动点(异于 ， 2)，
与圆柱的底面圆交于点 ，若平面 1 2 ∩平面 1 = ，则( )
A. // 2
B.直线 与直线 1有可能垂直
C. 2 51与平面 1 2所成角的余弦值的取值范围为( 5 , 1)
D.三棱锥 1 2的外接球的表面积为定值 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = ( , 4)， = (1, 2)，若 // ，则 = ______．
13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4，侧棱长是 6，则它的体积是______．
14.在△ 中， 为坐标原点， ( , 3)， ( , 1)， ∈ [0, 2 ]，则△ 面积的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知复数 = 1 + ( ∈ )．

(1) 当 = 1 时，求| |；
(2)设 2， 在复平面 内对应的点分别为 ， ，若 ⊥ ，求 的值．
16.(本小题 12 分)
从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：
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质量指标值分组 [75,85) [85,95) (95,105] [105,115) [115,125]
频数 4 22 38 28 8
(1)在答题卡上按照示例补全这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 90 的产品至少要占
全部产品的 80%”的规定？
17.(本小题 12 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 + 2 + = 2， = 2 ．
(1)求角 的大小；
(2)若△ 的周长为 4 + 2 3，求 边上的中线的长度．
18.(本小题 12 分)
如图，四棱锥 中，底面 是直角梯形， // ，∠ = 90°，侧棱 ⊥底面 ，且 =
2 = 2 = 4，点 是 的中点，连接 ．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = ，证明： ⊥平面 ；
(3)若二面角 3的正弦值为5，求 的长．
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19.(本小题 12 分)
已知函数 ( ) = cos4 + 4 + ．
(1)当 = 1， = 2 时，求 ( )在[0, 2 ]上的最小值；
(2)当 = = 1 时，方程 ( ) = 在(0, 4 )内有两个不相等的实数根 1， 2．
( )求实数 的取值范围；
( ) 证明： 1 + 2 < 4．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.563
14. 32
15. (1)当 = 1 时， = 1 + ，则 = 1 ，
2
∴ | | = 1 1+ =
(1 )
(1+ )(1 ) = ，

∴ | | = 1；
(2)由 2， 在复平面 内对应的点分别为 ， ，可得 2 = 1 + ，所以 ( 1, )， (1, )，
则 = ( 1, ), = (1, )，
由 ⊥ ，则 1+ 2 = 0，解得 = 1 或 1．
16.(1)由频数分布表中对应频数，可得频率分布直方图中各个小长方形的高，
补全直方图如图所示：
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(2)根据频率分布直方图，可得这种产品质量指标值的平均数为：

= 80 × 0.04 + 90 × 0.22 + 100 × 0.38 + 110 × 0.28 + 120 × 0.08 = 101.4．
(3)质量指标值不低于 90 的产品所占比例的估计值为 5 × 0.022 + 0.38 + 0.28 + 0.08 = 0.85 > 0.8，
所以能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 90 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定．
17.(1)根据题意可知， 2 + 2 + = 2，得 2 + 2 2 = ，又 2 + 2 2 = 2 ，
∴ = 2 ，得 = 12，又 0 < <
2
，∴ = 3，
由 = 2 及正弦定理得 = 2 = 2 ，
2
∴ 2 = 3，又 0 < < 3，0 < 2 < ，2 3
∴ 2 = 3，得 = 6；
(2) (1) = 由 知， 6， =
2
，则 =3 6，
∴ = ，又 = 2 ，得 = 3 ，
∵△ 的周长为 4 + 2 3，∴ + + 3 = 4 + 2 3，解得 = 2，
设 1的中点为 ，则 = 2 = 1，如图所示，
在△ 中，由余弦定理，可得 2 = 2 + 2 2 = 4 + 1 2 × 2 × 1 × ( 12 ) = 7，
∴ = 7，
∴ 边上中线的长为 7．
(1) 2 已知条件结合余弦定理求得 = 3，再由正弦定理求 ；
(2)由(1)求出角 ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求 边上中线的长．
本题考查了解三角形，属于中档题．
18.(1)证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ，
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因为 为中点，所以 // 且 = 12 ，
又因为 = 2 = 2 = 4，且 // ，
所以 // 且 = ，
故四边形 为平行四边形，
故 BE// ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)证明：如图，
取 1的中点 ，连接 ，则 = 2 = 2，
1 1
因为 = 2 , = 2 ，
所以 = ，又因为 = ， / / ，
所以四边形 为正方形，所以 = = 2，
且 = 2 + 2 = 2 2，
在三角形 中， = 2 + 2 = 2 2，在三角形 中，
因为 2 = 2 + 2，故 BC⊥ ，
又因为 ⊥底面 ， 底面 ，
所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(3)如图，作 ⊥ 交 于 ，作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
由 // ，∠ = 90°，所以∠ = 90°，所以 ⊥ ，
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又因为 ⊥底面 ，且 底面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ，且 ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以二面角 的平面角为∠ ，
2
设 = ，在三角形 中，利用等面积法得 = ，
4+ 2
在三角形 中， = 4+ 2，
2 4+ 2
利用等面积法得 = ，
8+ 2
因为二面角 3的正弦值为5，
2
4+ 2 3
所以 sin∠ = = =2 4+ 2 5，
8+ 2
2
整理得 8+ 3，
4+ 2 = 5
即 16 4 + 32 2 36 = 0， 2 = 1，
故 = 1 或 1(舍)，
故 AD= 1．
19.(1)当 = 1， = 2 时， ( ) = cos4 sin4 2 = 2 2 = 2sin(2 + 4 )；
由于 ∈ [0, 2 ]，所以 2 +
5
4 ∈ [ 4 , 4 ]，
2 + 3 所以当 4 = ，即 = 8时， ( )取得最小值，最小值为 2．
(2)( )当 = = 1 时， ( ) = cos4 + sin4 + ，
所以 ( ) = (sin2 + cos2 )2 2 2 2 + 12 2
= 1 sin22 + 12 2 2 + 1，
若 ∈ (0, 4 )，则 2 ∈ (0,

2 )，令 = 2 ∈ (0,1)，则 =
1 2 1
2 + 2 + 1，
方程 ( ) = 在(0, 4 )上有两个不相等的实数根 1， 2，
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即存在两个不相等的 1， 2满足
1 2 + 12 2 + 1 = ，其中 1 = 2 1， 2 = 2 2，
因为 = 12
2 + 1 + 1 1 1 12 的对称轴为 = 2，在(0, 2 )上单调递增，在( 2 , 1)上单调递减，
当 = 0 或 1 时， = 1 1 9，当 = 2时， = 8，
9
所以 1 < < 8，且 1 + 2 = 1．
证明：( )由( )， 1 + 2 = 1，即 2 1 + 2 2 = 1，
< 1 1不妨设 1 2，则 0 < 1 < 2 < 2 < 1，即 0 < 2 1 < 2 < 2 2 < 1，
又 1, ∈ (0,
) 0 < 2 < < 2 + < 5 sin(2 + ) > 22 4 ，所以 1 6，则4 1 4 12，故 1 4 2 ，

假设 1 + 2 ≥ 4，则 2 1 + 2 2 ≥ 2，即2 > 2 2 ≥ 2 2 1 > 0，
故 2 2 ≥ sin(

2 2 1) = 2 1，
所以 2 1 + 2 2 ≥ 2 1 + 2

1 = 2sin(2 1 + 4 )，又 2 1 + 2 2 = 1，

所以 1 ≥ 2sin(2 1 + 4 )，即 sin(2

1 + 4 ) ≤
2
2 ，这与前面矛盾，故假设错误，

所以 1 + 2 < 4．
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