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浙江省衢州、丽水、湖州三地市2025届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题
1．（2025·湖州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合，，再根据集合的交集定义求解即可.
2．（2025·湖州模拟）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（　　）
A．或 B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：D.
【分析】根据纯虚数的概念，列方程组求解的值即可.
3．（2025·湖州模拟）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算计算即可.
4．（2025·湖州模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：，
令，，
令，①，
令，②，
①+②=，则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法求解即可.
5．（2025·湖州模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
则，，即，
当时，，即充分性不成立；
由，可得，，
则，，此时，即必要性成立，
则 “”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解不等式与，求得的取值范围，再利用充分、必要条件的定义判断即可.
6．（2025·湖州模拟）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体边长为1，则，
，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线所成角余弦值即可.
7．（2025·湖州模拟）在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，因为成等差数列，所以，
又因为，所以，
又因为成等比数列，设其公比为，所以，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又因为，所以，
整理可得，解得，
则，即，故.
故答案为：D.
【分析】由成等差数列可得，再由成等比数列，设公比为，可得，，由正弦定理可得，，结合三角函数的平方关系求得，代入求得角A，即可得的值.
8．（2025·湖州模拟）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，如图所示：
设，
由题意，设直线方程为，联立，
消元整理可得，由韦达定理可得，，
则，
设在点处的切线方程为，
联立，消元整理可得，
由，解得，
则在点处得切线方程为，即，
令，求得，则，则，
过点作直线的平行线，易知，直线的方程为，
令，则，即，
，
则，
当且仅当时等号成立，故取到最小值9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点，设，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，求得，设在点处的切线方程为，联立切线与抛物线方程，由于，解得的值，从而求得点M的坐标，过点作直线的平行线，故，可得直线的方程为，从而求得点N的坐标，故而求得，再利用基本不等式求最小值即可.
9．（2025·湖州模拟）已知函数，则（　　）
A．的最大值是 B．在上单调递增
C． D．在上有两个零点
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】函数，
A、易知的最大值为，故A正确；
B、当时，，函数先增后减，即函数在上不是单调递增的，故B错误；
C
满足，故C正确；
D、令，则，即，解得，，即得，，则在上恰有个零点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质及诱导公式逐项判断即可.
10．（2025·湖州模拟）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以函数需满足在定义域上单调；
A、函数定义域为，且单调递增，故A正确；
B、函数定义域为，且单调递增，故B正确；
C、函数定义域为，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，故C错误；
D、函数定义域为R，，
易知，则函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知：函数在定义域上单调，再逐项求定义域，判断单调性即可.
11．（2025·湖州模拟）如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设蚂蚁次爬行后，落在点的概率为，
由题意可得：，其中，
易得，故A、C正确，B错误；
由原方程组可得，
则，所以为常数列，且①，
同理，且，则②，
由①②可知，=，则，故D正确.
故答案为：.
【分析】蚂蚁从点 P 出发，第一次爬行后只能到达中的一个，从而可确定，从中的任一点出发，均有从该点出发的四条棱，到达点或的概率为；设蚂蚁次爬行后，落在点的概率为，只能从中的任一点出发到达点或，则可确定、与的关系；到达中任一点，可能是从其它两点中的其一，或者从点或到达，从而可以表达，代值化简即可.
12．（2025·湖州模拟）已知等差数列的前项和为，，，则　 　．
【答案】110
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列的前项和为，，，
则.
故答案为：110.
【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可.
13．（2025·湖州模拟）已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线方程为，，点，易知，
联立，消元整理可得，
，解得，
由韦达定理可得：，，则，
直线中，令，得，则，
令，得，则，
则的中点坐标为，
因为是线段的三等分点，所以线段的中点为线段的中点，
则，解得.
故答案为：.
【分析】设直线为，，点，易知，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，直线中，令，分别求出思点的坐标，线段的中点为线段的中点，列方程求解即可.
14．（2025·湖州模拟）若定义在上的函数满足，则的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】函数的周期性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，可得，
即，
原式两边平方得①，
又②，
②-①可得，
即，
即
又，
则
，
所以
所以，即，即，
则函数时周期为2的周期函数，即，
又因为，
设，
则，
故最大值为.
故答案为：.
【分析】由，求得，推得，函数时周期为2的周期函数，求得，再由，设，则，从而求得的最大值.
15．（2025·湖州模拟）如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）点是的中点，连接、，若，
（i）求二面角的正切值；
（ii）求三棱锥的外接球体积．
【答案】（1）证明： 在直角梯形中， 因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
则，
由图可知：二面角平面角是锐角，
设二面角平面角为，则，即，
故二面角的正切值为；
（ii）因为，所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，
故三棱锥的外接球体积为.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判断定理证明平面，即可证得平面；
（2）（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值，再求正切值即可；
（ii）由题意可知，为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，根据球的体积公式求解即可.
（1）因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以
又因为，，平面，
所以平面.
（2）（i）以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，
，设平面的一个法向量为，则，
取，则，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角平面角是锐角，记为，则，所以，
故二面角的正切值为.
（ii）因为，
所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，
故三棱锥的外接球体积为.
16．（2025·湖州模拟）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立．
（1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表：
　 得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
（2）小明在点投中的概率为，在点投中的概率为．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：零假设为：投篮得分与第一投篮点选择无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01；
（2）解：设事件A为第次选择在点A投篮；记事件为在点B投篮；记事件为投中，
由题意可得：，，，，
（i），则小明第一次投篮命中的概率为0.5；
（ii）由题意可知：小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，
，
，
，
，
，
的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算的值，与临界值比较判断即可；
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
（i）根据题意结合全概率公式计算小明第一次投中的概率即可；
（ii）由题意可得的所有可能取值，计算出对应的概率，列分布列，求期望即可.
（1）零假设为：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
则，，，.
（i）P(E)=，
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.
（ii）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则
，
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
∴.
17．（2025·湖州模拟）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得：，解得，易知双曲线的渐近线为，
因为圆与的渐近线相切，所以，解得，
又因为，所以，则双曲线方程为：；
（2）解：由，可得同向，直线、与均有两个交点，
设直线，它与的另一个交点记为，
由双曲线的对称性可知：，则三角形面积等于三角形面积，
四边形面积等于三角形面积，设，
联立方程：，消元整理可得，易知，
由韦达定理可得，
面积为：，
整理得，解得或，
经检验时，，即均在轴上方或下方，
不妨令，此时，解得或，
作出图象，如图所示：
此时反向，舍去；
同理可得也不满足要求，当时，可验证得同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，，
故，
若，同理可得，
综上，.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据点到直线距离公式列方程，求得，最后根据双曲线中的关系求得，即可得双曲线方程；
（2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，即可得到的值.
（1）由题意得，解得，
∵双曲线的渐近线为，
∴，解得，所以，故双曲线方程为：；
（2）由同向可知，直线、与E均有两个交点.
设直线，它与E的另一个交点记为C.
由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积，
所以四边形面积等于三角形面积.
设，
联立方程：，得，
，
三角形面积，
整理得，解得或，
经检验时，，故均在轴上方或下方，
不妨令，此时，
解得或，
画出图象如下：
此时反向，故舍去；
同理可得也不满足要求，
当时，可验证得同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，，
故，
若，同理可得，
综上，.
18．（2025·湖州模拟）已知函数（），为坐标原点．
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若点是函数图象上一点，求的最小值；
（2）若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围．
【答案】（1）解： （i） 当时，函数定义域为，，且，，
则切线方程为；
（ii）设点，由题意可得，
记，，易知单调递增且，
当单调递减；当单调递增，
则最小值为，得的最小值；
（2）解：记函数定义域为，，
易知单调递增，且存在负实数，使得，则，，
当单调递减；当单调递增，
则函数最小值为，
，且，
为使有两个不等实数解，则，
即，
函数单调递减，且，，
故该函数存在唯一零点满足，则，
①若，即，则，
由化简得，
记，注意到在区间的减函数，
所以，
故时，恒成立，即满足，
②若，即，则.由化简得，
记，则，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，且，，
由，解得，
而，故满足，
综上所述.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）（i）将代入，求函数的定义域，再求的导数，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（ii）设点，根据两点间距离公式可得，
记函数，求导，利用导数判断函数单调性，求的最小值即可；
（2）记，结合导数判断函数单调性，可得存在负实数使得，为使有两个不等实数解，则有，推导可得有，分析可知函数存在唯一零点满足，分类讨论和时，使得恒成立时的取值范围即可.
（1）当，，
（i）因为，则，，故切线方程为
（ii）设，则，记
则，易知是关于的增函数且
所以当；当
故最小值为，得的最小值.
（2）记，则，易知是关于的增函数且存在负实数使得，则，.
所以当单调递减，当
故最小值为，
注意到，，且，
为使有两个不等实数解，则有.
即.
考虑到函数是关于的减函数，且，，
故该函数存在唯一零点满足，则
（此处只需给出零点的一个合理估计即可.）
①若，即，则.
由化简得，
记，注意到在区间的减函数，
所以，
故时，恒成立，即满足.
（几何法：由时，经过点，且，而两点在以原点为圆心，为半径的圆上，且，因此点在圆内，结合图像，知函数图象与圆的图象必有两个不同交点，故满足）
②若，即，则.由化简得，
记，则，
所以单调递减，在区间单调递增且，，
故由解得，
而，故满足.
综上所述.
19．（2025·湖州模拟）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即．
（1）找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列；
（2）是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）．
（3）当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得：，三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数；
（2）解：存在，，
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列.
（3）解：不存在，理由如下：假设存在次变换，能使得经过这次变换后，
成为常数列，其中.
注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2，
偶数项的和增加2，
因此次变换后有，
由知，
所以，（*）
而为递增数列，故，，…，
从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）根据题意中定义的变换求解即可；
（2）根据题意中定义的变换，可知存在一系列的变换使得成为常数列，同时当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列；
（3）通过反证法证明，假设存在次变换，能使得经过这次变换后，成为常数列，由次变换后有，进而由知，（*），而为递增数列，可得，这与（*）矛盾，故而得证.
（1）此处三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数.
（2）存在，
，
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列.
（3）不存在，理由如下：
假设存在次变换，能使得经过这次变换后，
成为常数列，其中.
注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2，
偶数项的和增加2，
因此次变换后有，
由知，
所以，（*）
而为递增数列，故，，…，
从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列.
1 / 1浙江省衢州、丽水、湖州三地市2025届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题
1．（2025·湖州模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·湖州模拟）已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则（　　）
A．或 B． C． D．
3．（2025·湖州模拟）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·湖州模拟）若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·湖州模拟）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
6．（2025·湖州模拟）正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湖州模拟）在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·湖州模拟）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，过点作的切线，交轴于点，过点作直线的平行线交轴于点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·湖州模拟）已知函数，则（　　）
A．的最大值是 B．在上单调递增
C． D．在上有两个零点
10．（2025·湖州模拟）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·湖州模拟）如图，多面体由正四面体和正四面体拼接而成，一只蚂蚁从顶点出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记次爬行后，该蚂蚁落在点的概率为，落在点的概率为，则（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·湖州模拟）已知等差数列的前项和为，，，则　 　．
13．（2025·湖州模拟）已知斜率大于零的直线交椭圆于两点，交轴分别于两点，且是线段的三等分点，则直线的斜率为　 　．
14．（2025·湖州模拟）若定义在上的函数满足，则的最大值是　 　．
15．（2025·湖州模拟）如图，在直角梯形中，，，．将沿折起，使，连接，得到三棱锥．
（1）求证：平面；
（2）点是的中点，连接、，若，
（i）求二面角的正切值；
（ii）求三棱锥的外接球体积．
16．（2025·湖州模拟）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次．第一次投篮点可在两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点．在点投中得分，在点投中得分，未投中均得分，各次投中与否相互独立．
（1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下列联表：
　 得分分 得分分 合计
先在点投篮 20 5 25
先在点投篮 10 15 25
合计 30 20 50
是否有的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？
（2）小明在点投中的概率为，在点投中的概率为．
（i）求小明第一次投中的概率；
（ii）记小明投篮总得分为，求的分布列及数学期望．
参考公式：
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
17．（2025·湖州模拟）已知双曲线（）的左，右焦点分别为，且，圆与的渐近线相切．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若上两点满足（），且四边形的面积为，求的值．
18．（2025·湖州模拟）已知函数（），为坐标原点．
（1）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）若点是函数图象上一点，求的最小值；
（2）若函数图象上存在不同两点满足，求的取值范围．
19．（2025·湖州模拟）对于给定的项整数数列：（），定义变换：①若，则加，均加，其余项不变；②若，则加，均加，其余项不变；③若，则加，均加，其余项不变．例如，对数列：做变换得到，即；而对数列：先后做变换，可得到，即．
（1）找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列；
（2）是否能找出一系列变换，使得数列：经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当为奇数时，对于任意数列，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）．
（3）当为偶数且数列是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
集合，则.
故答案为：A.
【分析】先解不等式求得集合，，再根据集合的交集定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得.
故答案为：D.
【分析】根据纯虚数的概念，列方程组求解的值即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由向量，，可得，，
则向量在向量上的投影向量为.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算计算即可.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式
【解析】【解答】解：，
令，，
令，①，
令，②，
①+②=，则，
因为，所以.
故答案为：C.
【分析】利用赋值法求解即可.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由，可得，，
则，，即，
当时，，即充分性不成立；
由，可得，，
则，，此时，即必要性成立，
则 “”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】解不等式与，求得的取值范围，再利用充分、必要条件的定义判断即可.
6．【答案】C
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体边长为1，则，
，
则，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：C.
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解异面直线所成角余弦值即可.
7．【答案】D
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，因为成等差数列，所以，
又因为，所以，
又因为成等比数列，设其公比为，所以，，
由正弦定理可得，
整理可得，，
又因为，所以，
整理可得，解得，
则，即，故.
故答案为：D.
【分析】由成等差数列可得，再由成等比数列，设公比为，可得，，由正弦定理可得，，结合三角函数的平方关系求得，代入求得角A，即可得的值.
8．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知抛物线的焦点，如图所示：
设，
由题意，设直线方程为，联立，
消元整理可得，由韦达定理可得，，
则，
设在点处的切线方程为，
联立，消元整理可得，
由，解得，
则在点处得切线方程为，即，
令，求得，则，则，
过点作直线的平行线，易知，直线的方程为，
令，则，即，
，
则，
当且仅当时等号成立，故取到最小值9.
故答案为：C.
【分析】易知抛物线的焦点，设，设直线方程为，联立直线与抛物线方程，求得，设在点处的切线方程为，联立切线与抛物线方程，由于，解得的值，从而求得点M的坐标，过点作直线的平行线，故，可得直线的方程为，从而求得点N的坐标，故而求得，再利用基本不等式求最小值即可.
9．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】函数，
A、易知的最大值为，故A正确；
B、当时，，函数先增后减，即函数在上不是单调递增的，故B错误；
C
满足，故C正确；
D、令，则，即，解得，，即得，，则在上恰有个零点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先利用辅助角公式化简函数，再利用三角函数的性质及诱导公式逐项判断即可.
10．【答案】A,B,D
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为函数与函数的图象关于直线对称，
所以函数需满足在定义域上单调；
A、函数定义域为，且单调递增，故A正确；
B、函数定义域为，且单调递增，故B正确；
C、函数定义域为，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，故C错误；
D、函数定义域为R，，
易知，则函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意可知：函数在定义域上单调，再逐项求定义域，判断单调性即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】数列的递推公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：设蚂蚁次爬行后，落在点的概率为，
由题意可得：，其中，
易得，故A、C正确，B错误；
由原方程组可得，
则，所以为常数列，且①，
同理，且，则②，
由①②可知，=，则，故D正确.
故答案为：.
【分析】蚂蚁从点 P 出发，第一次爬行后只能到达中的一个，从而可确定，从中的任一点出发，均有从该点出发的四条棱，到达点或的概率为；设蚂蚁次爬行后，落在点的概率为，只能从中的任一点出发到达点或，则可确定、与的关系；到达中任一点，可能是从其它两点中的其一，或者从点或到达，从而可以表达，代值化简即可.
12．【答案】110
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：等差数列的前项和为，，，
则.
故答案为：110.
【分析】根据等差数列的前项和公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设直线方程为，，点，易知，
联立，消元整理可得，
，解得，
由韦达定理可得：，，则，
直线中，令，得，则，
令，得，则，
则的中点坐标为，
因为是线段的三等分点，所以线段的中点为线段的中点，
则，解得.
故答案为：.
【分析】设直线为，，点，易知，联立直线与椭圆方程，由韦达定理可得，直线中，令，分别求出思点的坐标，线段的中点为线段的中点，列方程求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的周期性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，可得，
即，
原式两边平方得①，
又②，
②-①可得，
即，
即
又，
则
，
所以
所以，即，即，
则函数时周期为2的周期函数，即，
又因为，
设，
则，
故最大值为.
故答案为：.
【分析】由，求得，推得，函数时周期为2的周期函数，求得，再由，设，则，从而求得的最大值.
15．【答案】（1）证明： 在直角梯形中， 因为，，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
又因为，，平面，所以平面；
（2）解：（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
设平面的一个法向量为，则，取，则，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
则，
由图可知：二面角平面角是锐角，
设二面角平面角为，则，即，
故二面角的正切值为；
（ii）因为，所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，
故三棱锥的外接球体积为.
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判断定理证明平面，即可证得平面；
（2）（i）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用空间向量法求二面角的余弦值，再求正切值即可；
（ii）由题意可知，为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，根据球的体积公式求解即可.
（1）因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以
又因为，，平面，
所以平面.
（2）（i）以为坐标原点，以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，所以，
，设平面的一个法向量为，则，
取，则，
由（1）可知，平面的一个法向量为，
所以.
由图可知二面角平面角是锐角，记为，则，所以，
故二面角的正切值为.
（ii）因为，
所以为三棱锥的外接球的球心，且球半径为，
故三棱锥的外接球体积为.
16．【答案】（1）解：零假设为：投篮得分与第一投篮点选择无关，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01；
（2）解：设事件A为第次选择在点A投篮；记事件为在点B投篮；记事件为投中，
由题意可得：，，，，
（i），则小明第一次投篮命中的概率为0.5；
（ii）由题意可知：小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，
，
，
，
，
，
的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先进行零假设，再计算的值，与临界值比较判断即可；
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
（i）根据题意结合全概率公式计算小明第一次投中的概率即可；
（ii）由题意可得的所有可能取值，计算出对应的概率，列分布列，求期望即可.
（1）零假设为：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01
（2）设第次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件，投中记为事件，
则，，，.
（i）P(E)=，
所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.
（ii）小明投篮总得分可取0，2，3，4，6，则
，
，
，
，
.
∴X的分布列为
X 0 2 3 4 6
P
∴.
17．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，易知双曲线的渐近线为，
因为圆与的渐近线相切，所以，解得，
又因为，所以，则双曲线方程为：；
（2）解：由，可得同向，直线、与均有两个交点，
设直线，它与的另一个交点记为，
由双曲线的对称性可知：，则三角形面积等于三角形面积，
四边形面积等于三角形面积，设，
联立方程：，消元整理可得，易知，
由韦达定理可得，
面积为：，
整理得，解得或，
经检验时，，即均在轴上方或下方，
不妨令，此时，解得或，
作出图象，如图所示：
此时反向，舍去；
同理可得也不满足要求，当时，可验证得同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，，
故，
若，同理可得，
综上，.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据点到直线距离公式列方程，求得，最后根据双曲线中的关系求得，即可得双曲线方程；
（2）设直线，它与E的另一个交点记为C，由对称性可知，四边形面积等于三角形面积，设，联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据三角形面积得到方程，求出或，经检验不合要求，时，求出交点纵坐标，即可得到的值.
（1）由题意得，解得，
∵双曲线的渐近线为，
∴，解得，所以，故双曲线方程为：；
（2）由同向可知，直线、与E均有两个交点.
设直线，它与E的另一个交点记为C.
由双曲线的对称性可知，，故三角形面积等于三角形面积，
所以四边形面积等于三角形面积.
设，
联立方程：，得，
，
三角形面积，
整理得，解得或，
经检验时，，故均在轴上方或下方，
不妨令，此时，
解得或，
画出图象如下：
此时反向，故舍去；
同理可得也不满足要求，
当时，可验证得同向，符合题意，
若，由，解得或，
由于，所以，，
故，
若，同理可得，
综上，.
18．【答案】（1）解： （i） 当时，函数定义域为，，且，，
则切线方程为；
（ii）设点，由题意可得，
记，，易知单调递增且，
当单调递减；当单调递增，
则最小值为，得的最小值；
（2）解：记函数定义域为，，
易知单调递增，且存在负实数，使得，则，，
当单调递减；当单调递增，
则函数最小值为，
，且，
为使有两个不等实数解，则，
即，
函数单调递减，且，，
故该函数存在唯一零点满足，则，
①若，即，则，
由化简得，
记，注意到在区间的减函数，
所以，
故时，恒成立，即满足，
②若，即，则.由化简得，
记，则，
所以在区间单调递减，在区间单调递增，且，，
由，解得，
而，故满足，
综上所述.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）（i）将代入，求函数的定义域，再求的导数，利用导数的几何意义结合点斜式求切线方程即可；
（ii）设点，根据两点间距离公式可得，
记函数，求导，利用导数判断函数单调性，求的最小值即可；
（2）记，结合导数判断函数单调性，可得存在负实数使得，为使有两个不等实数解，则有，推导可得有，分析可知函数存在唯一零点满足，分类讨论和时，使得恒成立时的取值范围即可.
（1）当，，
（i）因为，则，，故切线方程为
（ii）设，则，记
则，易知是关于的增函数且
所以当；当
故最小值为，得的最小值.
（2）记，则，易知是关于的增函数且存在负实数使得，则，.
所以当单调递减，当
故最小值为，
注意到，，且，
为使有两个不等实数解，则有.
即.
考虑到函数是关于的减函数，且，，
故该函数存在唯一零点满足，则
（此处只需给出零点的一个合理估计即可.）
①若，即，则.
由化简得，
记，注意到在区间的减函数，
所以，
故时，恒成立，即满足.
（几何法：由时，经过点，且，而两点在以原点为圆心，为半径的圆上，且，因此点在圆内，结合图像，知函数图象与圆的图象必有两个不同交点，故满足）
②若，即，则.由化简得，
记，则，
所以单调递减，在区间单调递增且，，
故由解得，
而，故满足.
综上所述.
19．【答案】（1）解：由题意可得：，三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数；
（2）解：存在，，
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列.
（3）解：不存在，理由如下：假设存在次变换，能使得经过这次变换后，
成为常数列，其中.
注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2，
偶数项的和增加2，
因此次变换后有，
由知，
所以，（*）
而为递增数列，故，，…，
从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列.
【知识点】数列的应用
【解析】【分析】（1）根据题意中定义的变换求解即可；
（2）根据题意中定义的变换，可知存在一系列的变换使得成为常数列，同时当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列；
（3）通过反证法证明，假设存在次变换，能使得经过这次变换后，成为常数列，由次变换后有，进而由知，（*），而为递增数列，可得，这与（*）矛盾，故而得证.
（1）此处三个变换顺序可调换，也可得到其他全相等的数.
（2）存在，
，
结合上述情况，推断当为奇数时，对于任意数列，总存在一系列变换能使该数列成为常数列.
（3）不存在，理由如下：
假设存在次变换，能使得经过这次变换后，
成为常数列，其中.
注意到每作一次变换，均能使奇数项的和增加2，
偶数项的和增加2，
因此次变换后有，
由知，
所以，（*）
而为递增数列，故，，…，
从而得，这与（*）矛盾，因此假设不成立，即不存在这样的系列变换使得该数列成为常数列.
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