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广东省珠海市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
1．（2025八下·珠海期末） 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、，故A不符合题意；
B、 不能再化简，是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据最简二次根式的定义：指被开方数中不含有分母且被开方数的因数是整数；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；由此逐一判断即可解答.
2．（2025八下·珠海期末） 把直线 向上平移 3 个单位长度得到的直线为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 直线 向上平移 3 个单位长度得到
故答案为：A .
【分析】根据函数的平移规律： 向上平移 3 个单位即+3，由此即可解答.
3．（2025八下·珠海期末） 二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： ∵二次根式 有意义
∴，解得
故答案为：A .
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，计算即可解答.
4．（2025八下·珠海期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故选项A不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，故选项B能构成直角三角形，符合题意；
C、42+52=41≠36=62，故选项C不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，故选项D不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理：若a，b，c，满足a2+b2=c2，以a，b，c为边的三角形是直角三角形.据此判断即可.
5．（2025八下·珠海期末） 为了解甲、乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（　　）
A．甲种甜玉米产量稳定
B．乙种甜玉米产量稳定
C．两种甜玉米的产量一样稳定
D．无法确定哪一种品种的产量更稳定
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图中看到，甲的波动比乙的波动大，
∴乙种甜玉米产量稳定
故答案为： B.
【分析】根据方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，由此判断即可解答.
6．（2025八下·珠海期末） 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若，则点B距离地面的高度为（　　）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=，
∵，
∴BC= 60cm
故答案为：C .
【分析】根据三角形中位线定理可得：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可解答.
7．（2025八下·珠海期末） 下列命题的逆命题正确的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的周长相等
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．如果，那么
【答案】C
【知识点】三角形的面积；逆命题；举反例判断命题真假；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
A、选项的逆命题：如果两个三角形的面积相等，则它们全等；
反例：底为4、高为3的三角形与底为6、高为2的三角形面积均为6，但不全等，故A选项的逆命题错误；
B、选项的逆命题：如果两个三角形的周长相等，则它们全等；
反例：边长为3、4、5的三角形与边长为4、4、4的三角形周长均为12，但不全等，故B选项的逆命题错误；
C、选项的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余；
反例：直角三角形中，两锐角和为180°- 90°=90°，即互余，故B选项的逆命题正确；
D、选项的逆命题：如果a2=b2 ，则a=b ；
反例： a=2，b=- 2时，a2=b2=4，但a≠b，故D选项的逆命题错误；
故答案为：C .
【分析】首先写出每一个选项的逆命题，如果命题不正确只需举出反例即可，由此逐一判断即可解答.
8．（2025八下·珠海期末） 如图， 在 中， ， ， ， GA在数轴上， 以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧， 交数轴于点 P ，则点 P 表示的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵， ，
∴AB=
要以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧，则PA=OA=
∴ 点 P 表示的数是
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理计算出AB，再根据画图方法得到PA=OA=，由此可以表示出点 P 表示的数；解答即可.
9．（2025八下·珠海期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm)与流水时间t(min)的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　）

A．甲容器的初始水面高度为30cm
B．15：00甲容器的水流光
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为
D．12：00时甲容器的水面高度为12cm
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：A、由图3可知，甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
B、水面每小时下降的高度为6cm，30+6=5 (h)，10+5=15 (h)，
即15： 00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
C、设h=kt+b，
∵点(0， 30)和点(60， 24)在该函数图象上，
∴
∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
D、∴12： 00时甲容器的水面高度为： -0.1x (12-10)x60+30=18cm，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D .
【分析】观察图象可判断A；通过图象获取信息，计算即可判断B；利用待定系数法求出甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，可判断C；代入数据t到函数解析式中，计算可判断D；逐一判断即可解答.
10．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
11．（2025八下·珠海期末） + =　 　．
【答案】3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= +2 =3 ．
故答案为：3
【分析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
12．（2025八下·珠海期末） 珠海市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得80分(综合荣誉)和90分(现场演讲)的成绩，则小明的最终成绩为　 　.
【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 小明的最终成绩 =
故答案为：88 .
【分析】根据加权平均数的计算公式：加权平均数=(各数值×相应的权重然后求和)除以权重的和，计算即可解答.
13．（2025八下·珠海期末） 已知直角三角形的两直角边的长分别是6和8，则斜边上的中线长为　 　.
【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角 三角形的两直角边的长分别是6和8，
∴斜边的长=，
则斜边上的中线长为 5，
故答案为：5 .
【分析】现根据勾股定理计算斜边长为5；再利用斜边的中线等于斜边的一半计算即可解答.
14．（2025八下·珠海期末） 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵图中两个正方形的面积分别为18和50，
∴图中两个正方形的边长分别为：和，
∴图中最大长方形的长为，宽为，
∴图中阴影部分面积为：，
故答案为：12 .
【分析】先利用面积公式算出两个正方形的边长，再利用“阴影面积=长方形的面积-两个正方形的面积"，计算即可解答.
15．（2025八下·珠海期末） 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， 都在 x 轴上，点 ， ， ， 都在直线 上，，且 ， ， ， ， ， 分别是以 ， ， ， ， ， 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积是　 　.
【答案】217
【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-函数上点的规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：
∵OA1=1，
∴点A1的坐标为(1 ，0)，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，∴B1(1，1)
∵△A1B1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴B2A2 =2，
∴B2(2，2)，
同理可得，B3(22 ，22)，B4(23 ，23)，..，Bn(2n-1 ，2n-1)，
∴点B10的坐标是(29 ，29 )，
∴△B10A10A11的面积是x29x29 =217，
故答案为：217 .
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别算出B1(1，1)，B2(2，2)，B3(22 ，22)，B4(23 ，23)，..，从而发现规律，再计算得到点B10的坐标是(29 ，29 )，最后利用三角形的面积公式计算即可解答.
16．（2025八下·珠海期末）计算： ．
【答案】解：原式=
=4﹣ +2
=4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式= ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
17．（2025八下·珠海期末） 如图，直线与交于点A.
（1） 求点A的坐标；
（2） 根据图象，直接写出的解集.
【答案】（1）解：联立方程组
解得
∴
（2）
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】
解：（2）
得到可得 的图象在 图象下方
∴
∵
∴ 的图象在x轴下方
∴
∴x的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）解两条直线构成的方程组即可得A的坐标；
（2）根据函数与不等式组得关系：要求 的解集 ，只需找到对应图象 在 下方且都在x轴下方的图象部分，即可写出x的范围。
18．（2025八下·珠海期末） 如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且，DF=BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF. 求证：四边形AECF是正方形.
【答案】证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴EF 与 AC 互相垂直平分.
∴四边形 AECF 是菱形，
∴，
又∵，
∴.
∴菱形 AECF是正方形.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得，，，再计算线段的和差可得，即可判定四边形 AECF 是菱形，结合，即可判定菱形 AECF是正方形，解答即可.
19．（2025八下·珠海期末） 为了解某校八年级学生每周参加课外阅读的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生每周参加课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生每周参加课外阅读的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加课外阅读的时间不低于9h的人数约为多少？
【答案】（1）50；34；8；8
（2）解： ，
∴这组数据的平均数是8.36.
（3）解：根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加课外阅读的时间不低于9h的学生占46%，有(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1） a =630%=50，
9小时占的百分比为：
∴m %=1-16%-6%-14%-30%=34%
∴m=34
参加课外阅读的时间 8小时人数最多，因此众数为8；
人数50为偶数，因此中位数为25与26人次的平均数即为 8；
故答案为：50；34；8；8；
【分析】（1）利用参加课外阅读的时间3小时小时的数量3除以所占百分可得a的值；先求的9小时占的百分比，即可计算得到m的值；根据出现次数最多的为众数；将一组数据由小到大排列后，偶数的中位数处于排列在最中间两个数的平均数，计算即可解答；
（2）根据平均数公式计算即可解答；
（3）利用总体的人数500乘以所占的百分比46%，计算即可解答.
20．（2025八下·珠海期末） 如图①，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为FA、PB、PC，若有，则称点P为关于点C的勾股点.
（1） 如图②，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则，，，，这五个点中是关于点A的勾股点的有　 　 (填“，，，，”)；
（2） 如图③，为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角(点A、P、D顺时针排列)，，连接DC，DB，求证：点P为关于点D的勾股点.
【答案】（1），
（2）证明：∵和为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点P为关于点D的勾股点.
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1） 是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P3A2=12+32=10， P3B2=12+22=5， P3C2= PB2=5
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P5A2= 32+32=18，P5B2=12+42=17， P5C2=1，
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
故答案为：，.
【分析】(1)根据定义分别利用勾股定理计算即可解答；
（2）利用等腰直角三角形的性质可得，，，，计算可得，从而可利用SAS判定；利用全等三角形的性质计算即可解答.
21．（2025八下·珠海期末） 如图，做如下操作：对折矩形 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 P 处，得到折痕 BM，BM 与 EF 交于点 N，若直线 BP 交直线 CD 于点 Q.
（1） 猜想 的度数，并说明理由；
（2） 若 ，，求线段 QD 的长.
【答案】（1）解：，理由如下：
连接 AP，由对折矩形 ABCD 可知：
，
由第二次折叠可知：
，
为等边三角形，
（2）解：在 中，
，
∵ -
∴
∵
∴
在中，，设
∴
∴，解得(舍去负值)
即，故.
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由第一次折叠的性质可知，；由第二次折叠可知，，结合两次折叠的结论可判定为等边三角形，由此计算即可解答；
（2）利用30直角三角形的性质可得BN，结合勾股定理可得BE，再计算线段的和差可得PF的值，设得到 ，利用勾股定理计算求得x的值，即可解答.
22．（2025八下·珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损运营状态.
问题探究 ⑴公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图① 所示），写出图①中点A（0，-1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系. ⑵汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨亏方案，在讨论中，有乘客代 表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本， 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能亏，你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是▲，反映客运公司行政代表意 见的是▲.（填序号） |
问题解决 ⑶汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人， 经过讨论，得到三种亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收入差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收入差额提高到0.75万 元，你认为哪种方案更有利于汽车客运公司招转亏损？请说明理由.
【答案】解：⑴ 点A的实际意义是：客运公司的运营成本为1万元，
点B的实际意义是：当乘客数量为1.5万人时，客运公司的收支差额为0元；
设y与x的函数关系式为，把代入得
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
⑵图③，图②；
⑶方案1，理由如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元，此时y与x的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.1万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元，此时，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.08万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均的收支差额为0.05万元；
，
方案1.更有利于汽车客运公司扭转亏损.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据图象可得A，B的实际意义；利用待定系数法设y与x的函数关系式为把代入计算即可解答；
(2)根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象即可解答；
(3)结合收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系分别求出3中方案的利润，再比较即可解答.
23．（2025八下·珠海期末） 如图①，将矩形 GABC 放在直角坐标系中，O 为原点，点 C 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，GA、OC 的长 a、c 满足 ，把矩形 GABC 沿对角线 OB 所在直线翻折，点 C落到点 D 处，OD 交 AB 于点 E.
（1） a=　 　， c=　 　；
（2） 如图②，过点 D 作DG//BC，交 OB 于点 G，交 AB 于点 H，连接 CG，判断四边形 BCGD 的形状，并说明理由；
（3） 在(2)的条件下，点 M 为坐标轴上一点，直线 OB 上是否存在一点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 N 坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）6；12
（2）解：如图2中，四边形BCGD是菱形.
，，
由翻折的性质可知，，.
，
，
，
四边形BCGD是平行四边形.
，四边形BCGD是菱形.
（3）解：∵四边形OABC是矩形，
，
，
∴，
由翻折可知，，
，
，
设，则.
在中，.
，，
，.
，
.
点C的坐标为
，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，.
综上所述，满足条件的点N的坐标为，，，.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的不稳定性
【解析】【解答】
解：∵
∴a-6=0，c-12=0
∴a=6，c=12
故答案为：6，12.
【分析】
(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，列方程a-6=0，c-12=0计算即可解答；
（2）根据平行线的性质得到，由翻折的性质可得，替换后可得，即可判定四边形BCGD是平行四边形，再由，即可证明得到结论，解答即可；
（3）由矩形的性质结合翻折的性质可得，设，则利用勾股定理建立方程得到计算即可得到，在用勾股定理求出DE，DH可得C的坐标在分论讨论即可解答.
1 / 1广东省珠海市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
1．（2025八下·珠海期末） 下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·珠海期末） 把直线 向上平移 3 个单位长度得到的直线为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·珠海期末） 二次根式中字母x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·珠海期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是(　　)
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．（2025八下·珠海期末） 为了解甲、乙两种甜玉米产量的情况，农科院各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到的各试验田每公顷的产量绘制统计图如图，下列判断正确的是（　　）
A．甲种甜玉米产量稳定
B．乙种甜玉米产量稳定
C．两种甜玉米的产量一样稳定
D．无法确定哪一种品种的产量更稳定
6．（2025八下·珠海期末） 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若，则点B距离地面的高度为（　　）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
7．（2025八下·珠海期末） 下列命题的逆命题正确的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．全等三角形的周长相等
C．两个锐角互余的三角形是直角三角形
D．如果，那么
8．（2025八下·珠海期末） 如图， 在 中， ， ， ， GA在数轴上， 以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧， 交数轴于点 P ，则点 P 表示的数是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·珠海期末）“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图①），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图②）.上午10：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h(cm)与流水时间t(min)的关系如图③所示，下列说法错误的是（　　）

A．甲容器的初始水面高度为30cm
B．15：00甲容器的水流光
C．甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为
D．12：00时甲容器的水面高度为12cm
10．（2025八下·珠海期末） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论错误的是（　　）

A． B． C． D．
11．（2025八下·珠海期末） + =　 　．
12．（2025八下·珠海期末） 珠海市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占，现场演讲分占，小明参加并在这两项中分别取得80分(综合荣誉)和90分(现场演讲)的成绩，则小明的最终成绩为　 　.
13．（2025八下·珠海期末） 已知直角三角形的两直角边的长分别是6和8，则斜边上的中线长为　 　.
14．（2025八下·珠海期末） 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为18和50，则图中阴影部分的面积为　 　.
15．（2025八下·珠海期末） 如图，在平面直角坐标系中，点 ， ， ， 都在 x 轴上，点 ， ， ， 都在直线 上，，且 ， ， ， ， ， 分别是以 ， ， ， ， ， 为直角顶点的等腰直角三角形，则 的面积是　 　.
16．（2025八下·珠海期末）计算： ．
17．（2025八下·珠海期末） 如图，直线与交于点A.
（1） 求点A的坐标；
（2） 根据图象，直接写出的解集.
18．（2025八下·珠海期末） 如图，已知菱形ABCD的对角线交于点O，E、F是对角线BD所在直线上的两点，且，DF=BE，连接AE、CE、AF、CF，得四边形AECF. 求证：四边形AECF是正方形.
19．（2025八下·珠海期末） 为了解某校八年级学生每周参加课外阅读的时间（单位：h），随机调查了该校八年级a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：a的值为　 　，图①中m的值为　 　，统计的这组学生每周参加课外阅读的时间数据的众数和中位数分别为　 　和　 　；
（2）求统计的这组学生每周参加课外阅读的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加课外阅读的时间不低于9h的人数约为多少？
20．（2025八下·珠海期末） 如图①，平面内有一点P到的三个顶点的距离分别为FA、PB、PC，若有，则称点P为关于点C的勾股点.
（1） 如图②，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则，，，，这五个点中是关于点A的勾股点的有　 　 (填“，，，，”)；
（2） 如图③，为等腰直角三角形，P是斜边BC延长线上一点，连接AP，以AP为直角边作等腰直角(点A、P、D顺时针排列)，，连接DC，DB，求证：点P为关于点D的勾股点.
21．（2025八下·珠海期末） 如图，做如下操作：对折矩形 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上的点 P 处，得到折痕 BM，BM 与 EF 交于点 N，若直线 BP 交直线 CD 于点 Q.
（1） 猜想 的度数，并说明理由；
（2） 若 ，，求线段 QD 的长.
22．（2025八下·珠海期末）综合实践：
主题 关于如何扭转汽车客运线路亏损的问题
问题情境 随着轨道交通的便利，私家车的普及，网约车的流行，某汽车客运公司的乘客量比以往减少，近期有一条运营线路处于亏损运营状态.
问题探究 ⑴公司做了大量的市场调研，将有关数据进行分析整理，发现收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系可近似看作一次函数（图象如图① 所示），写出图①中点A（0，-1）和点B（1.5，0）的实际意义，并求出y与x的函数关系. ⑵汽车客运公司在调研后邀请了一些乘客代表来研讨亏方案，在讨论中，有乘客代 表认为，市民出行选择方式增多，客运公司应该改变观念，改善管理，降低运营成本， 客运公司行政代表认为，运营成本难以下降，提高票价才能亏，你认为图②和图③两个图示中，反映乘客代表意见的是▲，反映客运公司行政代表意 见的是▲.（填序号） |
问题解决 ⑶汽车客运公司通过市场调研，发现该线路一周内平均每天的乘客数量为1.2万人， 经过讨论，得到三种亏方案，具体如下： 方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元； 方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收入差额提高到0.9万元； 方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收入差额提高到0.75万 元，你认为哪种方案更有利于汽车客运公司招转亏损？请说明理由.
23．（2025八下·珠海期末） 如图①，将矩形 GABC 放在直角坐标系中，O 为原点，点 C 在 x 轴上，点 A 在 y 轴上，GA、OC 的长 a、c 满足 ，把矩形 GABC 沿对角线 OB 所在直线翻折，点 C落到点 D 处，OD 交 AB 于点 E.
（1） a=　 　， c=　 　；
（2） 如图②，过点 D 作DG//BC，交 OB 于点 G，交 AB 于点 H，连接 CG，判断四边形 BCGD 的形状，并说明理由；
（3） 在(2)的条件下，点 M 为坐标轴上一点，直线 OB 上是否存在一点 N，使以 O、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 N 坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：
A、，故A不符合题意；
B、 不能再化简，是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据最简二次根式的定义：指被开方数中不含有分母且被开方数的因数是整数；被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式；由此逐一判断即可解答.
2．【答案】A
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 直线 向上平移 3 个单位长度得到
故答案为：A .
【分析】根据函数的平移规律： 向上平移 3 个单位即+3，由此即可解答.
3．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解： ∵二次根式 有意义
∴，解得
故答案为：A .
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，计算即可解答.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故选项A不能构成直角三角形，不符合题意；
B、，故选项B能构成直角三角形，符合题意；
C、42+52=41≠36=62，故选项C不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，故选项D不能构成直角三角形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理：若a，b，c，满足a2+b2=c2，以a，b，c为边的三角形是直角三角形.据此判断即可.
5．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图中看到，甲的波动比乙的波动大，
∴乙种甜玉米产量稳定
故答案为： B.
【分析】根据方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，由此判断即可解答.
6．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=，
∵，
∴BC= 60cm
故答案为：C .
【分析】根据三角形中位线定理可得：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可解答.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；逆命题；举反例判断命题真假；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：
A、选项的逆命题：如果两个三角形的面积相等，则它们全等；
反例：底为4、高为3的三角形与底为6、高为2的三角形面积均为6，但不全等，故A选项的逆命题错误；
B、选项的逆命题：如果两个三角形的周长相等，则它们全等；
反例：边长为3、4、5的三角形与边长为4、4、4的三角形周长均为12，但不全等，故B选项的逆命题错误；
C、选项的逆命题：如果一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余；
反例：直角三角形中，两锐角和为180°- 90°=90°，即互余，故B选项的逆命题正确；
D、选项的逆命题：如果a2=b2 ，则a=b ；
反例： a=2，b=- 2时，a2=b2=4，但a≠b，故D选项的逆命题错误；
故答案为：C .
【分析】首先写出每一个选项的逆命题，如果命题不正确只需举出反例即可，由此逐一判断即可解答.
8．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：∵， ，
∴AB=
要以点 A 为圆心， AB 的长为半径画弧，则PA=OA=
∴ 点 P 表示的数是
故答案为：A .
【分析】根据勾股定理计算出AB，再根据画图方法得到PA=OA=，由此可以表示出点 P 表示的数；解答即可.
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：A、由图3可知，甲容器的初始水面高度为30cm，故选项A正确，不符合题意；
B、水面每小时下降的高度为6cm，30+6=5 (h)，10+5=15 (h)，
即15： 00甲容器的水流光，故选项B正确，不符合题意；
C、设h=kt+b，
∵点(0， 30)和点(60， 24)在该函数图象上，
∴
∴甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，故选项C正确，符合题意；
D、∴12： 00时甲容器的水面高度为： -0.1x (12-10)x60+30=18cm，故选项D错误，符合题意.
故答案为：D .
【分析】观察图象可判断A；通过图象获取信息，计算即可判断B；利用待定系数法求出甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为h=-0.1t+30，可判断C；代入数据t到函数解析式中，计算可判断D；逐一判断即可解答.
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴AO=CO，∠ABC=∠ADC=60°，AD//BC，AD=BC，AB=CD=2，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB=AE=BE=2，∠AEB=60°，
∵AB=BC= 2，即BC=4，
∴BE=CE=2=AE，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB= 30°，
∴∠CAD=∠EAD-∠CAE=30°，故A正确，不符合题意；
∵AO=CO，BE=CE，
∴OE=AB=AD，故C正确，不符合题意；
过A作AK⊥BC，
在Rt△ABK中，∠BAK=90°-∠ABC=30° ，∠AKB=90° ，
∴BK=BE=1
∴AK=
∴ ，故B正确，不符合题意；
过D作DH⊥BC，
DH= AK=， ，
∵∠DCH=∠ADC=60°，
∴∠CDH=30° ，
∴CH= CD= 1，则BH=BC+CH=5，
∴BD=故D错误，符合题意
故答案为：D .
【分析】
根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到△ABE是等边三角形，再进行角度的和差运算可判断A；结合已知条件可得OE=AB=AD，可判断C；过A作AK⊥BC，利用30直角三角形的性质可得BK，再利用勾股定理计算可得AK，再代入面颊公式计算可判断B；过D作DH⊥BC，通过30直角三角形的性质和勾股定理计算可判断D，逐一判断即可解答.
11．【答案】3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式= +2 =3 ．
故答案为：3
【分析】原式化为最简二次根式，合并即可得到结果．
12．【答案】88
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解： 小明的最终成绩 =
故答案为：88 .
【分析】根据加权平均数的计算公式：加权平均数=(各数值×相应的权重然后求和)除以权重的和，计算即可解答.
13．【答案】5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ 直角 三角形的两直角边的长分别是6和8，
∴斜边的长=，
则斜边上的中线长为 5，
故答案为：5 .
【分析】现根据勾股定理计算斜边长为5；再利用斜边的中线等于斜边的一半计算即可解答.
14．【答案】12
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵图中两个正方形的面积分别为18和50，
∴图中两个正方形的边长分别为：和，
∴图中最大长方形的长为，宽为，
∴图中阴影部分面积为：，
故答案为：12 .
【分析】先利用面积公式算出两个正方形的边长，再利用“阴影面积=长方形的面积-两个正方形的面积"，计算即可解答.
15．【答案】217
【知识点】点的坐标；三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；探索规律-函数上点的规律；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：
∵OA1=1，
∴点A1的坐标为(1 ，0)，
∵△OA1B1是等腰直角三角形，
∴A1B1=1，∴B1(1，1)
∵△A1B1A2是等腰直角三角形，
∴A1A2=1，B1A2=，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴B2A2 =2，
∴B2(2，2)，
同理可得，B3(22 ，22)，B4(23 ，23)，..，Bn(2n-1 ，2n-1)，
∴点B10的坐标是(29 ，29 )，
∴△B10A10A11的面积是x29x29 =217，
故答案为：217 .
【分析】根据等腰直角三角形的性质分别算出B1(1，1)，B2(2，2)，B3(22 ，22)，B4(23 ，23)，..，从而发现规律，再计算得到点B10的坐标是(29 ，29 )，最后利用三角形的面积公式计算即可解答.
16．【答案】解：原式=
=4﹣ +2
=4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式= ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
17．【答案】（1）解：联立方程组
解得
∴
（2）
【知识点】解二元一次方程组；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】
解：（2）
得到可得 的图象在 图象下方
∴
∵
∴ 的图象在x轴下方
∴
∴x的取值范围为，
故答案为：.
【分析】（1）解两条直线构成的方程组即可得A的坐标；
（2）根据函数与不等式组得关系：要求 的解集 ，只需找到对应图象 在 下方且都在x轴下方的图象部分，即可写出x的范围。
18．【答案】证明： ∵四边形ABCD是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴EF 与 AC 互相垂直平分.
∴四边形 AECF 是菱形，
∴，
又∵，
∴.
∴菱形 AECF是正方形.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】根据菱形的性质可得，，，再计算线段的和差可得，即可判定四边形 AECF 是菱形，结合，即可判定菱形 AECF是正方形，解答即可.
19．【答案】（1）50；34；8；8
（2）解： ，
∴这组数据的平均数是8.36.
（3）解：根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加课外阅读的时间不低于9h的学生占46%，有(人).
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1） a =630%=50，
9小时占的百分比为：
∴m %=1-16%-6%-14%-30%=34%
∴m=34
参加课外阅读的时间 8小时人数最多，因此众数为8；
人数50为偶数，因此中位数为25与26人次的平均数即为 8；
故答案为：50；34；8；8；
【分析】（1）利用参加课外阅读的时间3小时小时的数量3除以所占百分可得a的值；先求的9小时占的百分比，即可计算得到m的值；根据出现次数最多的为众数；将一组数据由小到大排列后，偶数的中位数处于排列在最中间两个数的平均数，计算即可解答；
（2）根据平均数公式计算即可解答；
（3）利用总体的人数500乘以所占的百分比46%，计算即可解答.
20．【答案】（1），
（2）证明：∵和为等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∵
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴点P为关于点D的勾股点.
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】
（1） 是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P3A2=12+32=10， P3B2=12+22=5， P3C2= PB2=5
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
是关于点A的勾股点 ，理由如下：
∵P5A2= 32+32=18，P5B2=12+42=17， P5C2=1，
∴
∴ 是关于点A的勾股点；
故答案为：，.
【分析】(1)根据定义分别利用勾股定理计算即可解答；
（2）利用等腰直角三角形的性质可得，，，，计算可得，从而可利用SAS判定；利用全等三角形的性质计算即可解答.
21．【答案】（1）解：，理由如下：
连接 AP，由对折矩形 ABCD 可知：
，
由第二次折叠可知：
，
为等边三角形，
（2）解：在 中，
，
∵ -
∴
∵
∴
在中，，设
∴
∴，解得(舍去负值)
即，故.
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由第一次折叠的性质可知，；由第二次折叠可知，，结合两次折叠的结论可判定为等边三角形，由此计算即可解答；
（2）利用30直角三角形的性质可得BN，结合勾股定理可得BE，再计算线段的和差可得PF的值，设得到 ，利用勾股定理计算求得x的值，即可解答.
22．【答案】解：⑴ 点A的实际意义是：客运公司的运营成本为1万元，
点B的实际意义是：当乘客数量为1.5万人时，客运公司的收支差额为0元；
设y与x的函数关系式为，把代入得
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
⑵图③，图②；
⑶方案1，理由如下：
方案1：票价不变，将运营成本降低到0.7万元，此时y与x的函数关系式为，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.1万元；
方案2：运营成本不变，提高票价使每万人收支差额提高到0.9万元，此时，
令得，
客运公司平均每天的收支差额为0.08万元；
方案3：将运营成本降低到0.85万元，同时提高票价，使每万人收支差额提高到0.75万元，此时，
令得，
客运公司每天平均的收支差额为0.05万元；
，
方案1.更有利于汽车客运公司扭转亏损.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】(1)根据图象可得A，B的实际意义；利用待定系数法设y与x的函数关系式为把代入计算即可解答；
(2)根据乘客代表意见和客运公司行政代表意见，结合图象即可解答；
(3)结合收支差额y（万元）（票价总收入减去运营成本）与乘客数量x（万人）的关系分别求出3中方案的利润，再比较即可解答.
23．【答案】（1）6；12
（2）解：如图2中，四边形BCGD是菱形.
，，
由翻折的性质可知，，.
，
，
，
四边形BCGD是平行四边形.
，四边形BCGD是菱形.
（3）解：∵四边形OABC是矩形，
，
，
∴，
由翻折可知，，
，
，
设，则.
在中，.
，，
，.
，
.
点C的坐标为
，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，，
当四边形是平行四边形时，.
综上所述，满足条件的点N的坐标为，，，.
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；四边形的不稳定性
【解析】【解答】
解：∵
∴a-6=0，c-12=0
∴a=6，c=12
故答案为：6，12.
【分析】
(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，列方程a-6=0，c-12=0计算即可解答；
（2）根据平行线的性质得到，由翻折的性质可得，替换后可得，即可判定四边形BCGD是平行四边形，再由，即可证明得到结论，解答即可；
（3）由矩形的性质结合翻折的性质可得，设，则利用勾股定理建立方程得到计算即可得到，在用勾股定理求出DE，DH可得C的坐标在分论讨论即可解答.
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