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第21章 一元二次方程
21.1
一元二次方程
授课：
时间：
回顾历史
一条线分为两段, 其中一部分对于全部之比等于另一部分对于该部分之比, 这就是黄金分割.
A
B
D
BD : AD ＝ AB : BD
这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程
设计等方面也有着不可忽视
的作用.
回顾历史
黄金分割是由古希腊哲学家毕达哥拉斯发现的.经过反复比较, 他最后确定1:0.618的比例最完美.
A
B
D
BD : AD ＝ AB : BD
问题探索
思考1.在设计人体雕像时, 若使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度的比等于下部与全部(全身)的高度比, 则可以增加视觉美感.按此比例, 如果雕像的高为2m, 那么它的下部应设计为多高
x
2－x
解: 设雕像下部高x m.
x : 2＝(2－x) : x
x2＝2(2－x)
x2＝4－2x
x2＋2x－4＝0
A
B
D
问题探索
思考2.将一块矩形铁皮, 制成无盖方盒.
3600cm2
50cm
100cm
铁皮各角应切去多大的正方形？
解: 设切下的正方形边长为x cm.
(100－2x)(50－2x)＝3600,
化简得x2－75x＋350＝0
x cm
问题思考
x2＋2x－4＝0
x2－75x＋350＝0
1.观察上面两个等式，它们是方程吗？
2.两个等式含有几个未知数？未知数的最高次数是几次？
它们是含有未知数的等式, 是方程.
它们含有1个未知数, 未知数的最高次数是2次.
方程的两边都是整式, 方程中只含有一个未知数, 并且未知数的最高次数是2的方程, 叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式: ax2＋bx＋c＝0
(a≠0).
进一步探索
一元二次方程的一般形式:
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 (a≠0)
二次项
一次项
常数项
a是二次项系数
b是一次项系数
c是常数项
当二次项系数, 一次项系数或常数项等于0时, 它还是一元二次方程吗
进一步探索
当二次项系数, 一次项系数或常数项等于0时, 它还是一元二次方程吗
ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 (a≠0)
a＝0
bx＋c＝0
b＝0
ax2＋c＝0
c＝0
ax2＋bx＝0
b＝0,
c＝0
ax2＝0
归纳: 只要满足二次项系数不为0, 一次项系数和常数项可以取任意实数.
明察秋毫
练习1.判断下列式子是否为一元二次方程.
,
,
,
,
,
.
,
,
如何判断一个式子是否为一元二次方程呢
1个未知数
未知数最高次数为2
方程两边都是整式
问题思考
一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程有什么异同
名称 一元二次方程 一元一次方程 二元一次方程
一般形式
未知数个数
未知数最高次数
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
ax＋b＝0(a≠0)
ax＋by＋c＝0(a,b≠0)
1
2
1
1
2
1
相同点: 都是方程(即含有未知数的等式), 且方程两边都是整式.
典例精析
例1.已知关于x的方程(2k＋1)x2 4kx＋k 1＝0.
(1)当k满足什么条件时, 该方程是一元一次方程
解: 由题意得2k＋1＝0,
解得k＝－0.5.
∵ －4k≠0, ∴当k＝－0.5时, 该方程是一元一次方程.
(2)当k满足什么条件时, 该方程是一元二次方程
其中二次项系数是______,一次项是______,常数项是______.
解: 由题意得2k＋1≠0,
解得k≠－0.5.
∴当k≠－0.5时, 该方程是一元二次方程.
2k＋1
－4kx
k－1
小试锋芒
练习2.已知方程(m＋4)x|m| 2＋8x＋1＝0是关于x的一元二次方程, 则m＝____.
4
练习3.若关于x的一元二次方程(m 1)x2＋2x＋m2 1＝0的常数项为0, 则m的值为_____.
练习4.关于x的方程(m2 4)x2＋(m 2)x 4＝0.
(1)当m满足什么条件时, 方程为一元二次方程
(2)当m满足什么条件时, 方程为一元一次方程 求出这个方程的根.
－1
答案: (1)m≠±2; (2) m＝－2,根为x＝－1.
问题探索
将一块矩形铁皮, 制成无盖方盒, 铁皮各角应切去多大的正方形
3600cm2
50cm
100cm
解: 设切下的正方形边长为x cm.
(100－2x)(50－2x)＝3600,
化简得x2－75x＋350＝0
x cm
小雯: 我发现下列有些值可以使等式成立，你能找找看吗？
x＝4, x＝5,x＝60,x＝70.
问题探索
已知一元二次方程:x2－75x＋350＝0.
小雯: 我发现下列有些值可以使等式成立，你能找找看吗？
x＝4, x＝5,x＝60,x＝70.
解: 当x＝4时, 42－75×4＋350≠0, ∴x＝4不能使等式成立;
当x＝5时, 52－75×5＋350＝0, ∴x＝5使等式成立;
当x＝60时, 602－75×60＋350≠0, ∴x＝60不能使等式成立;
当x＝70时, 702－75×70＋350＝0, ∴x＝70使等式成立.
使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
小试锋芒
练习5.一元二次方程x2－3x－10＝0的根是( ).
A.x＝2 B.x＝3 C.x＝4 D.x＝5
D
练习6.思考1中, 设人体雕像下半部分的高度为x,根据“黄金分割”列出一元二次方程x2＋2x－4＝0,求得x的值为( ).
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
D
典例精析
例2.已知－2是一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的一个根.
(1)如何求m的值
解:把x＝－2代入得－(－2)2＋2×(－2)＋m＝0,
解得m＝8.
(2)若k是这个一元二次方程的另一个根, 求2k2－4k＋2008的值.
把x＝k代入得－k2＋2k＋8＝0,
得k2－2k＝8,
∴原式＝2(k2－2k)＋2008＝2024.
小试锋芒
练习7.关于x的一元二次方程(k 1)x2＋6x＋k2 k＝0的一个根是0, 则k＝____.
0
练习8.若a是方程3x2＋2x 1＝0的解, 则代数式3a2＋2a 2019的值为_______.
－2018
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