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第21章 一元二次方程 授课：骆老师
21.2.1
直接开平方法
第21章 一元二次方程
21.2.1
配方法
授课：
时间：
问题探索
在设计人体雕像时, 若使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度的比等于下部与全部(全身)的高度比, 则可以增加视觉美感.按此比例, 如果雕像的高为2m, 那么它的下部应设计为多高
x
2－x
解: 设雕像下部高x m.
x2＋2x－4＝0
A
B
D
如何解这个方程呢？
问题探索
例1.解方程 x2＋2x－4＝0.
思考方程x2＋2x＋1＝4的解;
因式分解可得(x＋1)2＝4.
(x＋n)2＝p
小雯: 等号左边不能直接用完全平方公式进行因式分解.
能否将x2＋2x－4＝0变形成为(x＋n)2＝p的形式
(1) x2＋6x＋___＝(x＋___)2; (2) x2－4x＋___＝(x－___)2;
(3) x2＋x＋___＝(x＋___)2; (4) x2－5x＋___＝(x－___)2;
(5) x2＋bx＋___＝(x＋___)2.
问题探索
根据因式分解·完全平方公式法: a2±2ab＋b2＝(a±b)2填空:
32
3
22
2
能否将x2＋2x－4＝0变形成为(x＋n)2＝p的形式
解: 移项可得：x2＋2x＝4,
等式左右两边＋1: x2＋2x＋1＝4＋1,
常数项等于一次项系数一半的平方.
问题探索
能否将x2＋2x－4＝0变形成为(x＋n)2＝p的形式
解: 移项可得：x2＋2x＝4,
等式左右两边＋1: x2＋2x＋1＝4＋1,
配成完全平方形式: (x＋1)2＝5,
根据平方根的意义降次: x＋1＝±,
解得x1＝－1, x2＝－1.
如何检验±－1是否为x2＋2x－4＝0的解
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.
典例精析
例1.解下列方程.
(1) x2＋2x－4＝0;
(2) x2－6x＋5＝0.
解： x2＋2x＝4
x2＋2x＋1＝4＋1
(x＋1)2＝5
x＋1＝±
∴x1＝－1, x2＝－1.
解: x2－6x＝－5
x2－6x＋9＝－5＋9
(x－3)2＝4
x－3＝±2
∴x1＝5, x2＝1.
小试锋芒
练习1.解下列方程.
(1) x2－8x＋1＝0;
(2) x2＋10x＋9＝0;
(3) x2－x－＝0;
, .
解得: x1＝－1, x2＝－9.
.
问题思考
如何解方程: 3x2－6x－9＝0.
解: 移项可得: 3x2－6x＝9,
方程两边同除3, 二次项系数化为1: x2－2x＝3,
方程左右两边＋1: x2－2x＋1＝3＋1,
配成完全平方形式: (x－1)2＝4.
1.二次项系数化为1的意义是什么
2.移项和二次项系数化为1能否交换位置
典例精析
例2.解下列方程.
(1) 3x2－6x－9＝0;
(2) 2x2＋2＝3x.
解: 3x2－6x＝9
x2－2x＋1＝3＋1
(x－1)2＝4
x－1＝±2
∴x1＝3, x2＝－1.
解: 2x2－3x＝－2
(x－)2＝
∴该方程无实数根.
x2－2x＝3
x2－x＋＝－1＋
x2－x＝－1
小试锋芒
练习2.解下列方程.
(1) 2x2－10x＋1＝0;
(2) 4x2＋1＝4x.
, .
解得: x＝ .
如何解(x＋n)2＝p
①当p>0时, 方程有两个不相等的实数根, x1＝, x2＝;
②当p＝0时, 方程有两个相等的实数根, x1＝x2＝－n;
③当p<0时, 方程无实数根.
归纳总结
一般地, 如果一个一元二次方程通过配方转换成
的形式,那么就有:
(x＋n)2＝p
①当p>0时, 方程有两个不相等的实数根, x1＝, x2＝;
②当p＝0时, 方程有两个相等的实数根, x1＝x2＝－n;
③当p<0时, 方程无实数根.
配方法解一元二次方程的步骤是什么？
移项→二次项系数化为1 →配成完全平方 →降次求解.
问题探索
根据平方的意义填空.
∵x2≥0, ∴ 当x＝0时, x2有最小值0.
(1) 当x＝____时, x2＋4有最____值____;
(2) 当x＝____时, －x2＋1有最____值____;
(3) 当x＝____时, (x＋1)2－2有最____值____;
(4) 当x＝____时, －(x－3)2＋7有最____值____.
0
0
－1
3
4
1
－2
7
小
小
大
大
思考: 当x取何值时, x2＋2x＋5有最值
典例精析
例3: 当x取何值时, x2＋2x＋5有最值
解: 原式＝(x2＋2x＋1－1)＋5
＝(x＋1)2＋4
∵ (x＋1)2≥0,
∴ 当x＝－1时, x2＋2x＋5有最小值4.
练习3: (1)当x取何值时, －x2＋6x－1有最值
(2)当x取何值时, 2x2＋8x＋3有最值
解: (1)原式＝－(x－3)2＋8,当x＝3时, －x2＋6x－1有最大值8.
(2)原式＝2(x＋2)2－5,当x＝－2时, 2x2＋8x＋3有最小值－5.
典例精析
例4.求证: 无论x取任何实数, 代数式x2＋8x＋18的值恒大于0.
解: 原式＝(x2＋8x＋16－16)＋18
＝(x＋4)2＋2
∵ (x＋4)2≥0, ∴ (x＋4)2＋2≥2,
即代数式x2＋8x＋18的值恒大于0.
练习4.求证: 无论x取任何实数, 代数式－x2－6x－11的值一定是负数.
解: 原式＝－(x2＋6x＋9－9)－11
∵ －(x＋3)2≤0, ∴ －(x＋3)2－2≤－2,
即代数式－x2－6x－11的值一定是负数.
＝－(x＋3)2－2
典例精析
例5. △ABC中的边分别为a, b, c, 已知a2 6a＋b2 8b＋25＝0, 且c＝5, 判断△ABC的形状.
解: △ABC是直角三角形.
∵(a2 6a＋9－9)＋(b2 8b＋16－16)＋25＝0,
即(a－3)2＋(b－4)2＝0,
(a－3)2≥0, (b－4)2 ≥0,
∴a－3＝0,b－4＝0,
解得a＝3,b＝4,
∵32＋42＝52∴△ABC是直角三角形.
小试锋芒
练习5.已知a, b, c是△ABC的三边长, 且a2＋b2＋c2 6a 8b 10c＋50＝0.
(1)求a, b, c的值;
(2)判断△ABC的形状.
解: (1) a＝3,b＝4,c＝5;
(2) △ABC是直角三角形.
练习6.已知方程x2 4x＋y2＋6y＋＋13＝0, 求(xy)z的值．
解: .
问题回顾
在设计人体雕像时, 若使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度的比等于下部与全部(全身)的高度比, 则可以增加视觉美感.按此比例, 如果雕像的高为2m, 那么它的下部应设计为多高
x
2－x
解: 设雕像下部高x m.
x2＋2x－4＝0
A
B
D
解得x1＝－1, x2＝－1(舍去).
∴雕像下部高m.
谢 谢 观 看

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